2023-2024学年重庆八中高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年重庆八中高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={2,4,5}，B={3,5,7}，若集合M=A∩B，则集合M的子集个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知命题p：∀x>0，ex>x+1，则¬p为( )
A. ∀x>0，ex≤x+1B. ∃x>0，ex≤x+1
C. ∀x<0，ex≤x+1D. ∃x<0，ex≤x+1
3.函数f(x)= 1−lnxx−2的定义域为( )
A. (e,+∞)B. (2,e]C. (−∞,2)D. (0,2)∪(2,e]
4.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数y=f(x)的部分图象如图所示.则y=f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=sin(πx)2(3x+3−x)
B. f(x)=cs(πx)2(3x−3−x)
C. f(x)=(3x+3−x)sin(πx)2
D. f(x)=(3x−3−x)cs(πx)2
5.已知函数f(x)=2xx−1x<12x−ax≥1的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)
6.已知θ∈(0,π4)，且sin2θ=23，则tanθ=( )
A. 55B. 3+ 52C. 3− 52D. 55或 5
7.设a=lg0.30.7，b=lg20.7，则( )
A. a+b8.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(3)+f(4)=6，则f(133)=( )
A. −43B. 329C. 149D. 43
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设f(x)为定义在R上的偶函数，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=3x−3−xB. f(x)=|x|C. f(x)=2x+2−xD. f(x)=x3x
10.已知a>0，b>0，且a+2b=1，则( )
A. a2+4b2≥12B. 2a−2b>12
C. a+ 2b> 2D. lg2a+lg2b≤−3
11.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且f(3)=13，则下列说法正确的是( )
A. 若对任意x，y∈R，总有f(xy)=yf(x)+xf(y)，则f(x)是奇函数
B. 若对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是偶函数
C. 若对任意x，y∈R；总有f(xy)=yf(x)+xf(y)，则f(−13)=127
D. 若对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(−13)=−127
12.已知函数f(x)=|cs2x+csx|，有下列四个结论正确的是( )
A. f(x)图像关于直线x=−2π对称B. f(x)的值域为[0,98]
C. f(x)在[−5π4,−π]上单调递减D. f(x)在[−3π,3π]上恰有10个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=2sin(12x−π2)的周期是______.
14.已知函数f(x)=x2−2x，若存在x∈[2,4]，使得不等式f(x)≤a2+3a成立，则实数a的取值范围为______.
15.已知函数f(x)=2cs2x−2 3sinxcsx−1，当x∈[−π4,π6]时，关于x的方程f(x)+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围为______.
16.已知函数f(x)=|x+1x−a|+1，对任意实数x1，x2，x3∈[13,3]，使得以f(x1)，f(x2)，f(x3)数值为边长可构成三角形，则实数a的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|lg2(x2−1)<3,x∈R}，集合B={x|2x2−5x−3>0,x∈R}，集合C={x|x≥a,x∈R}.
(1)若a=−2，求A∩C；
(2)若B∪C=R，求实数a的取值范围.
18.(本小题12分)
已知f(α)=sin(α−π2)cs(3π2+α)tan(π−α)tan(α−π)sin(−α−π).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=513，f(α−β)=−35，且0<α<π，0<β<π，求f(β).
19.(本小题12分)
北京时间2023年12月15日21时41分，我国在海南文昌航天发射中心用长征五号运载火箭成功将遥感四十一号卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功.据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v1+v0⋅lnMM−m计算火箭的最大速度v(单位：米/秒)，其中v0(单位：米/秒)是喷流相对速度(即喷流相对火箭箭体喷出的速度，由火箭发动机性能决定，运动过程中视为常数)，v1是指火箭的初始速度(单级火箭初始速度视为0，二级火箭v1视为上一飞行阶段火箭的最大速度)，在每个飞行阶段中，m(单位：吨)是火箭消耗的推进剂的质量，M(单位：吨)是指火箭在该阶段的总质量(含推进剂)，MM−m称为总质比，已知A型火箭是一枚单级火箭，B型火箭是一枚二级火箭，它们的喷流相对速度均为1000米/秒.
(1)B型火箭飞行时会经历两个飞行阶段，先点燃一级助推器，一级助推器燃料耗尽后将其抛掉，再点然二级火箭进入第二阶段，B型火箭的总质量共12吨，其中一级助推器总重量7吨，装载了6吨推进剂，二级火箭总重为5吨，装载了4吨推进剂，求理想状态下B型火箭的最大速度；
(2)A型火箭只有一个飞行阶段，经过技术改进后其喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使A型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒，求在技术改进前总质比的最小整数值(参考数据：ln10≈2.3，2.71820.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−22x+1，x∈R的图像关于点(0,1)中心对称.
(1)求实数a的值；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于x的不等式f(4x)+f(2−3×2x)>2.
21.(本小题12分)
如图，正方形OABC的边长为2，M，N分别为AB，BC的中点.以O为圆心，OA为半径的圆弧AC上有一点P，T，S两点分别在线段AB，BC上，使得四边形SBTP为矩形.
(1)将点M绕O点逆时针旋转θ后使其与N点重合，求csθ；
(2)求矩形SBTP面积的最大值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+ax+14，g(x)=lnx.
(1)若函数y=g(f(x))在(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)用max{m,n}表示m，n中的最大值，设函数h(x)=max{f(x),g(x)}，x∈(0,+∞)，试讨论h(x)的图象与x轴的交点个数.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合A={2,4,5}，B={3,5,7}，
∴集合M=A∩B={5}，
∴集合M的子集个数为2.
故选：B.
先求出集合M，再利用集合的子集个数公式求解．
本题主要考查了集合的交集运算，考查了集合的子集个数公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题中的命题是一个全称量词命题，其否定是存在量词命题，依据全称量词命题的否定书写形式写出命题的否定即可.
本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，书写时注意量词的变化．
【解答】
解：命题p：∀x>0，ex>x+1，则¬p为∃x>0，ex≤x+1，
故选：B.
3.【答案】D
【解析】解：函数f(x)= 1−lnxx−2中，
令1−lnx≥0x−2≠0，解得0所以f(x)的定义域为(0,2)∪(2,e].
故选：D.
根据函数的解析式列不等式组1−lnx≥0x−2≠0，解解集即可．
本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由图可知，函数y=f(x)是R上的奇函数，且f(0)=0，f(1)<0，f(2)>0，
若f(x)=sin(πx)2(3x+3−x)，则f(0)=sin02(30+30)=0，f(1)=sinπ2(31+3−1)=0不合题意，故A错误；
若f(x)=cs(πx)2(3x−3−x)，由3x−3−x≠0得x≠0，不合题意，故B错误；
若f(x)=(3x+3−x)sin(πx)2，则f(1)=(3+3−1)sinπ2=0，不合题意，故C错误；
故排除ABC，得D正确．
故选：D.
由图可知，函数y=f(x)是R上的奇函数，且f(0)=0，f(1)<0，f(2)>0，利用排除法求解．
本题主要考查函数的图像，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：f(x)=2xx−1x<12x−ax≥1，
当x<1时，f(x)=2xx−1=2(x−1)+2x−1=2x−1+2，
∵x<1，∴x−1<0，则2x−1<0，得f(x)=2x−1+2<2；
要使f(x)=2xx−1x<12x−ax≥1的值域为R，
则f(x)=2x−a，x≥1的值域包含[2,+∞).
∴当x≥1时，需2−a≤2，得a≥0.
∴实数a的取值范围是[0,+∞).
故选：B.
首先求出函数在x<1时的函数值的范围，再把问题转化为f(x)=2x−a，x≥1的值域包含[2,+∞).然后借助于指数函数的单调性求解．
本题考查分段函数及其应用，考查函数值域的求法，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】C
【解析】解：θ∈(0,π4)，∴2θ∈(0,π2)，
∵sin2θ=23，∴cs2θ= 1−sin22θ= 53，
tanθ=sinθcsθ=2sin2θ2sinθcsθ=1−cs2θsin2θ=1− 5323=3− 52.
故选：C.
利用二倍角公式，同角函数关系即可求值．
本题考查二倍角公式，同角函数关系，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为a=，b=lg20.7=1lg0.72，
且a=lg0.30.7>lg0.31=0，b=lg20.7所以1a+1b=lg0.70.3+lg0.72=lg0.70.6>，
所以a+b故选：A.
根据对数函数的性质判断a，b的正负，并结合换底公式计算1a+1b与1的大小关系，进而得出所求的答案．
本题考查对数值的比较大小，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，由f(x+1)为奇函数，得f(−x+1)=−f(x+1)，变形可得f(x)=−f(2−x)①，
故函数f(x)的图象关于点(1,0)对称；
由f(x+2)为偶函数，得f(−x+2)=f(x+2)②，
则函数f(x)的图象关于直线x=2对称；
由①②得f(x+2)=−f(x)，
则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
故f(x)的周期为4，则有f(133)=f(4+13)=f(13)；
又由f(−x+1)=−f(x+1)，令x=0得f(1)=0，即a+b=0③，
已知f(0)+f(3)=6，
由函数f(x)的图象关于直线x=2对称，得f(3)=f(1)=0，
又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，得f(0)=−f(2)
所以f(0)+f(3)=−f(2)=6，即f(2)=−6，
所以4a+b=−6④，联立③④解得a=−2，b=2
故x∈[1,2]时，f(x)=−2x2+2，则f(53)=−2×(53)2+2=−329，
又由f(−x+1)=−f(x+1)，则f(13)=−f(53)=329，
故f(133)=f(13)=329.
故选：B.
根据题意，由已知奇偶性质得到f(x)的周期性与对称性，借助已知条件f(0)+f(3)=6与f(1)=0待定系数a，b，再利用周期性和解析式求解即得．
本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及函数值的计算，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=3x−3−x，定义域为R，有f(−x)=3−x−3x=−f(x)，f(x)为奇函数，不符合题意；
对于B，f(x)=|x|，其定义域为R，有f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，f(x)为偶函数，符合题意；
对于C，f(x)=2x+2−x，其定义域为R，f(−x)=2x+2−x=f(x)，f(x)为偶函数，符合题意；
对于D，f(x)=x3x，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)=x3x=f(x)，f(x)为偶函数，符合题意．
故选：BCD.
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的判断方法，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：因为a>0，b>0，且a+2b=1，
所以a2+4b22≥(a+2b2)2=14，当且仅当a=2b，即b=14，a=12时取等号，
所以a2+4b2≥12，A正确；
由2b=1−a>0可得0所以−1<2a−1<1，
所以2a−2b=22a−1>2−1=12，B正确；
因为( a+ 2b2)2≤a+2b2=12，当且仅当a=2b，即b=14，a=12时取等号，
所以 a+ 2b≤ 2，C错误；
ab=12×a×2b≤12×(a+2b2)2=18，当且仅当a=2b，即b=14，a=12时取等号，
所以lg2a+lg2b=lg2ab≤lg218=−3，D正确．
故选：ABD.
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用是，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为对任意x，y∈R，总有f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=0，得f(0)=0，令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，令x=y=−1，得f(1)=−f(−1)−f(−1)，所以f(−1)=0，
令y=−1，得f(−x)=−f(x)+xf(−1)，又f(−1)=0，所以f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故A正确；
因为对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，所以令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，令y=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)，即0=f(x)+f(−x)，所以f(−x)=−f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，故B不正确；
对于C选项，令x=3,y=−13，得f(−1)=−13f(3)+3f(−13)，由A选项得f(−1)=0，又f(3)=13，所以解得f(−13)=127，故C正确；
对于D选项，令x=1，y=2，则f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=13，解得f(1)=19，令x=13,y=23，则f(1)=f(12)+f(23)=f(13)+f(13)+f(13)=19，解得f(13)=127，由B选项得f(x)是奇函数，
所以f(−13)=−f(13)=−127，故D正确．
故选：ACD.
应用赋值法，结合奇偶性的定义即可求解．
本题主要考查抽象函数的性质，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，∵f(x)=|cs2x+csx|，
∴f(−4π−x)=|cs[2(−4π−x)+cs(−4π−x)|=|cs(−2x)+cs(−x)|=|cs2x+csx|=f(x),
∴f(x)图像关于直线x=−2π对称，A正确；
对于B，f(x)=|2cs2x+csx−1|=|2(csx+14)2−98|，
由−1≤csx≤1，得2(csx+14)2−98∈[−98,2]，
∴f(x)的值域为[0,2]，B错误；
对于C，∵f(x+2π)=|cs2(x+2π)+cs(x+2π)|=|cs2x+csx|=f(x)，
∴2π为f(x)的周期，
∴f(x)在[−5π4,−π]上的单调性与它在[3π4,π]上的单调性相同，
当x∈[3π4,π]时，csx∈[−1,− 22]，
又f(x)=|2(csx+14)2−98|，①
令t=csx，则t∈[−1,− 22]，
则①可化为h(t)=|2(t+14)2−98|，当t∈[−1,− 22]时，y=2(t+14)2−98∈[− 22,0]，
∴y=2(t+14)2−98在[−1,− 22]上单调递减，且y<0，
∴h(t)=|2(t+14)2−98|在[−1,− 22]上单调递增，又t=csx在[3π4,π]上单调递减，
由复合函数的单调性可知，f(x)在[3π4,π]上单调递减，即f(x)在[−5π4,−π]上单调递减，C正确；
对于D，令f(x)=|2cs2x+csx−1|=|(csx+1)(2csx−1)|=0，得csx=−1或csx=12，
又f(x)=|cs2x+csx|为偶函数，
∴当x∈[0,3π]时，由f(x)=0，得x=π3，π，5π3，7π3，3π，共5个零点，
∴f(x)在[−3π,3π]上恰有10个零点，D正确．
故选：ACD.
利用余弦函数的单调性、对称性、值域、零点等性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查余弦型函数的性质的应用，考查学生的运算能力及逻辑思维能力，属于难题．
13.【答案】4π
【解析】解：函数y=2sin(12x−π2)，
∵ω=12，∴T=2π12=4π，
则函数的最小正周期为4π.
故答案为：4π
找出函数解析式中ω的值，代入周期公式T=2π|ω|，即可求出函数的最小正周期．
此题考查了三角函数的周期性及其求法，解答此类题的思路为：首先把函数解析式化为一个角的三角函数值，由函数解析式找出ω的值，进而代入周期公式可求出函数的最小正周期．
14.【答案】(−∞,−3]∪[0,+∞)
【解析】解：因为f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，在[2,4]上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=0，
因为存在x∈[2,4]，使得不等式f(x)≤a2+3a成立，
所以只需f(x)min≤a2+3a成立即可，
即0≤a2+3a，解得a≤−3或a≥0.
故答案为：(−∞,−3]∪[0,+∞).
存在x∈[2,4]，使得不等式f(x)≤a2+3a成立，转化为f(x)min≤a2+3a成立即可，求出f(x)在[2,4]上的最小值，即可求出a的取值范围．
本题考查了不等式有解问题，考查了转化思想，属于中档题．
15.【答案】(−2,− 3]
【解析】解：f(x)=2cs2x−2 3sinxcsx−1=cs2x− 3sin2x=2cs(2x+π3)；
由于x∈[−π4,π6]，
所以2x+π3∈[−π6,2π3]，
故函数f(x)在[−π4,−π6]上单调递增，在[−π6,π6]上单调递减；
所以−a∈[ 3,2),即a∈(−2,− 3]时，关于x的方程f(x)+a=0有两个实数根．
故实数a的取值范围为(−2,− 3].
故答案为：(−2,− 3].
首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的单调性求出实数a的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】(−∞,53)∪(73,3)∪(113,+∞)
【解析】解：对任意实数x1,x2,x3∈[13,3]，使得以f(x1)，f(x2)，f(x3)数值为边长可构成三角形，
只需2f(x)min>f(x)max，设g(x)=x+1x−a，
当x∈[13,1)时，函数g(x)单调递减，当x∈(1,3]时，函数g(x)单调递增，
因为g(1)=2−a,g(3)=103−a,g(13)=103−a，
所以g(x)∈[2−a,103−a]，
当2−a≥0时，即a≤2时，f(x)=|x+1x−a|+1=g(x)+1，
此时f(x)∈[3−a,133−a]，
因此由2f(x)min>f(x)max⇒2(3−a)>133−a⇒a<53，而a≤2，所以a<53；
当103−a≤0，即a≥103时，f(x)=|x+1x−a|+1=−g(x)+1，此时f(x)∈[a−73,a−1]，
则由2f(x)min>f(x)max⇒2(a−73)>a−1⇒a>113，而a≥103，所以a>113，
若2−a<0<103−a时，即2若a−2≥103−a⇒a≥83，即当83≤a<103时，
显然此时f(x)min=1，f(x)max=a−2+1=a−1，
由2f(x)min>f(x)max⇒2×1>a−1⇒a<3，显然83≤a<3，
若a−2<103−a⇒a<83，即当2显然此时f(x)min=1,f(x)max=103−a+1=133−a，
因此由2f(x)min>f(x)max⇒2×1>133−a⇒a>73，而73综上，实数a的取值范围为(−∞,53)∪(73,3)∪(113,+∞).
故答案为：(−∞,53)∪(73,3)∪(113,+∞).
根据对勾函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质求出实数a的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性与最值，利用恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
17.【答案】解：(1)集合A={x|lg2(x2−1)<3,x∈R}
={x|0={x|−3=(−3,−1)∪(1,3)，
a=−2时，集合C={x|x≥−2,x∈R}=[−2,+∞)；
所以A∩C=(−3,+∞)；
(2)因为集合B={x|2x2−5x−3>0,x∈R}
={x|x<−12或x>3，x∈R}
=(−∞,−12)∪(3,+∞)，
若B∪C=R，则a≤−12，
所以实数a的取值范围是(−∞,−12].
【解析】(1)化简集合A，根据交集的定义计算即可；
(2)化简集合B，根据B∪C=R求出a的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)f(α)=sin(α−π2)cs(3π2+α)tan(π−α)tan(α−π)sin(−α−π)=(−csα)sinα(−tanα)tanαsinα=csα；
(2)若f(α)=513，f(α−β)=−35，
可得csα=513，cs(α−β)=−35，
因为0<α<π，所以sinα= 1−cs2α=1213，
由csα=513>0可知，0<α<π2，
又因为0<β<π，
所以−π<α−β<π2，
又因为cs(α−β)=−35<0，所以−π<α−β<−π2，
所以sin(α−β)=− 1−cs2(α−β)=−45，
所以f(β)=csβ=cs[α−(α−β)]=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)=513×(−35)+1213×(−45)=−6365.
【解析】(1)利用诱导公式化简即可；
(2)由(1)可知csα=513，cs(α−β)=−35，进而求出sinα，sin(α−β)，再利用f(β)=csβ=cs[α−(α−β)]求解即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变换，考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
19.【答案】解：(1)理想状态下B型火箭的最大速度v=1000×ln1212−6+1000×ln55−4=1000ln10≈2300米/秒；
(2)设技术改造前总质比为x，
则经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1000×32=1500(m/s)，总质比为13x，
由题有1500lnx3−1000lnx≥500，化简得：3lnx3−2lnx≥1，
解得：x≥27e，又2.718所以73.386<27e<73.413，
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.
【解析】(1)先由M=12，m=6计算v1，再由v1和M=5，m=4计算即可得解；
(2)根据题意列出不等式即可求解．
本题考查了函数在解决实际问题上的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为函数f(x)=a−22x+1，x∈R的图像关于点(0,1)中心对称，
所以f(−x)+f(x)=2，
即a−21+2−x+a−21+2x=2，
即2a=21+2−x+21+2x+2=2⋅2x+21+2x+2=4，
所以a=2；
(2)由(1)得f(x)=2−21+2x，在R上单调递增，证明如下：
任取x10，1+2x2>0，
f(x1)−f(x2)=21+2x2−21+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)<0，
所以f(x1)所以f(x)在R上单调递增；
(3)令g(x)=f(x)−1，则g(x)在R上单调递增且g(x)我奇函数，
由f(4x)+f(2−3×2x)>2可得g(4x)+1+g(2−3×2x)+1>2，
即得g(4x)+g(2−3×2x)>0，
所以g(4x)>g(3×2x−2)，
所以4x>3×2x−2，
解得，x>1或x<0，
故不等式的解集为{x|x>1或x<0}.
【解析】(1)由题意得f(−x)+f(x)=2，代入即可求解；
(2)结合函数单调性的定义即可求解；
(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)连接OM，ON，MN，
因为M，N分别为AB，AC的中点，正方形边长为2，
所以|BM|=|BN|=|CN|=|MA|=1，
所以|MN|= |BM|2+|BN|2= 1+1= 2，
所以|ON|= |OC|2+|CN|2= 22+12= 5，|OM|= |OA|2+|AM|2= 22+12= 5；
所以csθ=|ON|2+|OM|2−|MN|22|OM|⋅|ON|=5+5−22× 5× 5=45；
(2)以O为坐标原点，OA为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系如图所示：
设∠AOP=α，则P(2csα,2sinα)，且α∈(0,π2)，
则|PS|=2−2sinα，|PT|=2−2csα，
所以矩形SBTP的面积为S=|PS|×|PT|=(2−2sinα)(2−2csα)=4(1−sinα−csα+sinαcsα)，
设t=sinα+csα= 2sin(α+π4)∈(1, 2],则S=4(1−t+t2−12)=2t2−4t+2=2(t−1)2，
当t= 2，即α=π4时，矩形SBTP面积取得最大值为6−4 2.
【解析】(1)连接OM，ON，MN，得出|BM|=|BN|=|CN|=|MA|=1，求出|MN|、|ON|、|OM|，利用余弦定理求出csθ；
(2)建立直角坐标系，利用坐标表示|PS|，|PT|，计算矩形SBTP的面积，求出面积的最大值．
本题考查了三角函数应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)函数g(x)=lnx在(0,+∞)是增函数，g(f(x))=ln(x2+ax+14)在(1,+∞)上单调递增，
当且仅当f(x)=x2+ax+14在(1,+∞)上单调递增，且f(1)≥0，
于是−a2≤1a+54≥0，解得a≥−54，
所以实数a的取值范围是[−54,+∞).
(2)当x>1时，h(x)≥g(x)=lnx>0，因此h(x)在(1,+∞)上无零点；
则只需讨论h(x)在(0,1]上的零点个数，又x∈(0,1]时，g(x)≤0，则只需讨论f(x)在(0,1]上的零点个数，
对f(x)，f(0)=14，f(1)=54+a，对称轴为x=−a2，Δ=a2−1，
①当−a2≤0，即a≥0时，f(x)≥f(0)=14在(0,1]上恒成立，则h(x)≥f(x)>0，无零点；
②当−a2≥1，即a≤−2时，f(x)在(0,1]上单调递减，显然f(1)<0，f(0)>0，
则存在唯一的x0∈(0,1)，有f(x0)=h(x0)=0，且h(1)=g(1)=0，因此h(x)有2个零点；
③当0<−a2<1，即−2(i)f(1)<0，即有−20，
则存在唯一t0∈(0,1)，有f(t0)=h(t0)=0，且h(1)=g(1)=0，则h(x)有2个零点；
(ii)f(1)=0，即有a=−54时，Δ=a2−1>0，则f(0)>0，
则存在唯一s0∈(0,1)，有f(s0)=h(s0)=0，且h(1)=g(1)=f(1)=0，则h(x)有2个零点；
(ii)f(1)>0，即有−540，
由Δ<0，得−1由Δ=0，得a=−1，则f(x)在(0,1)上恰1个零点，即h(x)有1个零点，
由Δ>0，得−54综上，当a∈(−1,+∞)时，h(x)无零点，
当a=−1时，h(x)有1个零点，
当a<−1时，h(x)有2个零点．
【解析】(1)由对数函数单调性、二次函数单调性，结合复合函数单调性列出不等式组求解即得．
(2)由x>1时，h(x)≥g(x)=lnx>0得无零点，当x∈(0,1]时，g(x)≤0，再分类讨论f(x)在(0,1]上的零点即得．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．