2024年中考数学复习训练---第8天 新定义问题

这是一份2024年中考数学复习训练---第8天 新定义问题，共77页。试卷主要包含了对于实数，定义新运算，是关于的方程，则它的根的情况是，定义一种新运算，定义，定义一种运算，，与轴的交点分别为、等内容，欢迎下载使用。
中考预测
满分技巧
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真题回顾
一．选择题
1．（2022•内蒙古）对于实数，定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
2．（2022•巴中）对于实数，定义新运算：※，若关于的方程1※有两个不相等的实数根，则的取值范围
A．B．C．且D．且
3．（2022•安顺）定义新运算：对于任意实数，满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若为实数）是关于的方程，则它的根的情况是
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
4．（2022•大庆）函数叫做高斯函数，其中为任意实数，表示不超过的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为
①；
②；
③高斯函数中，当时，的取值范围是；
④函数中，当时，．
A．0B．1C．2D．3
二．填空题
5．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ．
6．（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
7．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰的长为 ．
8．（2022•绥化）定义一种运算：
，
．
例如：当，时，，则的值为 ．
三．解答题
9．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如，点，是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．
（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若关于的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，求的值；
（3）若关于的二次函数图象的“阶方点”一定存在，请直接写出的取值范围．
10．（2022•湘西州）定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、（点在点右侧），与轴的交点分别为、．
（1）求抛物线的解析式和点的坐标．
（2）点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值．
（3）如图②，点是点关于抛物线对称轴的对称点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数” ．
（1）求点的“倾斜系数” 的值；
（2）①若点的“倾斜系数” ，请写出和的数量关系，并说明理由；
②若点的“倾斜系数” ，且，求的长；
（3）如图，边长为2的正方形沿直线运动，是正方形上任意一点，且点的“倾斜系数” ，请直接写出的取值范围．
12．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
13．（2022•赤峰）阅读下列材料
定义运算：，，当时，，；当时，，．
例如：，；，．
完成下列任务
（1）①， ；
②， ．
（2）如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于、两点．当时，，，求这两个函数的解析式．
14．（2022•泰州）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”．
（1）若，，试判断函数是否为函数、的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数与的图像相交于点．
①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方，求的取值范围；
②若，函数、的“组合函数”图像经过点．是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数，都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在，请求出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2022•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在和△中，，分别是和边上的高线，且、则和△是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和△的面积，
则，，
．
【性质应用】
（1）如图②，是的边上的一点．若，，则 ；
（2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则 ， ；
（3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则 ．
16．（2022•北京）在平面直角坐标系中，已知点，．
对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，点，点在线段的延长线上．若点，点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②连接，交线段于点，求证：；
（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．
区域模拟
一．选择题
1．（2023•明光市一模）定义一种新运算“积方差”，运算符号用“※”表示，规定：任意两个数，的积方差记为※，并且※；在混合运算中，括号的作用和四则混合运算相同．现有如下四个结论：①当※时，或，②当※※时，，③方程2※有两个相等的实数根，④※※，其中正确的结论为
A．①②③④B．①③C．①④D．①③④
2．（2023•杭州一模）有一列数，记为，，，，记其前项和为，定义为这列数的“亚运和”，现有99个数，，，，其“亚运和”为1000，则1，，，，这100个数的“亚运和”为
A．791B．891C．991D．1001
3．（2023•大连模拟）定义：我们把无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值的数学问题称作数学黑洞．例如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去就能得到一个固定的数．则该数的值为
A．147B．153C．1435D．1145
4．（2023•重庆模拟）对于实数，，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有
①方程的解为或；
②关于的方程有三个解，则；
③当时，随增大而增大；
④当时，函数有最大值0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2023•汉阳区一模）对于任意实数、，定义一种运算：．例如，，请根据上述的定义解决问题，若不等式，则该不等式的正整数解有几个
A．1B．2C．3D．4
6．（2023•广西模拟）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是
A．B．C．D．
7．（2023•东莞市一模）定义新运算：．例如，，则不等式组的解集为
A．B．C．无解D．
8．（2023•潼南区一模）定义：如果代数式，、、是常数）与，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式与互为“同心式”，下列四个结论：
（1）代数式：的“同心式”为；
（2）若与 互为“同心式”，则的值为1；
（3）当 时，无论取何值，“同心式” 与的值始终互为相反数；
（4）若、互为“同心式”， 有两个相等的实数根，则；
其中，正确的结论有 个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2023•中原区三模）定义运算：※．例如：4※．则方程※的根的情况为
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
10．（2023•梁山县一模）定义运算：☆．例如：3☆．则方程1☆的根的情况为
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
11．（2023•梁山县模拟）对于实数、，定义运算“★”如下：★，如3★，则方程★的根的情况是
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根
12．（2023•乳山市模拟）【新定义】
函数的“向心值”：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．
【问题解决】
抛物线与直线的“向心值”为
A．B．C．3D．4
13．（2023•西乡塘区一模）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点与点则为一对“守望点”．已知函数和互为“守望函数”，则的最大值为
A．2020B．2022C．2023D．4084
14．（2023•西湖区模拟）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为，，，则，那么下列说法正确的是
A．B．
C．D．
15．（2021•普陀区模拟）定义：一个自然数，右边的数字总比左边的数字小，我们称它为“下滑数”（如，641，8531等）．现从两位数中任取一个，恰好是“下滑数”的概率为
A．B．C．D．
16．（2023•阳信县一模）函数叫做高斯函数，其中为任意实数，表示不超过的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为
①；
②；
③高斯函数中，当时，的取值范围是；
④函数中，当时，．
A．0B．1C．2D．3
17．（2022•开州区模拟）若定义一种新的取整符号，即表示不小于的最小整数．例如：，．则下列结论正确的是
①；
②；
③方程的解有无数多个；
④若，则的取值范围；
⑤当时，则的值为0、1或．
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．①④⑤
二．填空题
18．（2023•越秀区一模）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，※，，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：，※，，若关于的方程，※，，有两个相等的实数根，则的值是 ．
19．（2023•莱芜区一模）对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式，可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，，，．理由如下：设，，则，，，由对数的定义得，又，，类似还可以证明对数的另一个性质：，，，．
请利用以上内容计算 ．
20．（2023•播州区一模）定义新运算：，如，，，，，，则，8，15，，2， ．
21．（2023•商河县一模）对数的定义：一般地，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．计算 ．
22．（2023•宁波模拟）对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为 ．
23．（2023•龙岗区模拟）定义新运算“”，规定：，若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
24．（2023•深圳模拟）定义新运算“”，规定：，若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
25．（2023•镇平县模拟）定义一种运算：，例如：，根据上述定义，不等式组的解集是 ．
26．（2023•呼和浩特一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是 ．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是 ．
27．（2023•雨山区一模）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中偏度值”为 ．
28．（2021•株洲模拟）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“数”，如“947”就是一个“数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两个数，能与2组成“数”的概率是 ．
29．（2022•路桥区一模）定义：若一个两位数，满足，为正整数），则称该两位数为“类完全平方数”，记．例如：，则39是一个“类完全平方数”，且．
（1）已知37是一个“类完全平方数”，则 ；
（2）若两位数是一个“类完全平方数”，且（a），则的最大值 ．
三．解答题
30．（2023•武安市一模）新定义：如果，都是非零整数，且，那么就称是“4倍数”．
验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断他们谁说得对？
证明：设三个连续偶数的中间一个数是是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．
31．（2023•黔江区一模）阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，，，，理由如下：
设，，则，，
，由对数的定义得
又，
．
请解决以下问题：
（1）将指数式转化为对数式 ；
（2）求证：，，，；
（3）拓展运用：计算 ．
32．（2023•南山区一模）我们定义【，，】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是【0，，0】．
（1）若一个函数的特征数是【1，，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 ．
（2）将“特征数”是【0，，】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ．
（3）当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值．
（4）点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当若（3）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值．为常数）
33．（2023•长沙模拟）定义：有一个内角等于另外两个内角之和的四边形称为“和谐四边形”．
（1）已知，，，请直接写出一个的值 ，使四边形为“和谐四边形”．
（2）如图1，在中，，分别是边，上的点，．求证：四边形为“和谐四边形”．
（3）在（2）的条件下，如图2，过，，三点作，与边交于点，与边交于点，连接，是的直径．
①求证：；
②若，，，求“和谐四边形” 的面积．
34．（2023•碑林区三模）数学探究小组利用一些三角形彩纸裁剪面积最大的内接正方形，他们就有关问题进行了探究：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
作图：如图1，正方形的顶点，在边上，顶点在边上，在及其内部，以为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大．
实践操作：
（1）第一小组拿到的钝角三角形原材料，你认为在钝角三角形中存在 个内接正方形；
（2）第二小组拿到的是直角三角形原材料，小明说：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．小丽同学认为他的结论不正确，她通过计算腰长为1的等腰直角三角形（如图2和图的情况给予说明，请你帮助小丽同学完成计算和说理过程；
（3）第三小组拿到的是不等边锐角三角形原材料，小华同学认为：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．小华同学已经写出了题设条件，请你帮助他完成推理过程．如图4，设锐角的三条边分别为、、不妨设，三条边上的对应高分别为、、，内接正方形的边长分别为、、．
35．（2021•秀山县模拟）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数．现在我们利用整数的除法运算来研究一种数“倚重数”，定义：对于一个自然数，如果这个数除以3，余数为1，且除以5余数是3，则称这个数为“倚重数”
例如，因为，，那么58是“倚重数”； ，但，所以46不是“倚重数”
（1）判断28，79是否为“倚重数”？请说明理由；
（2）请找出大于300且小于400的“倚重数”．
36．（2022•市中区一模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数 “好数”．
定义：对于三位自然数，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且，6能被6整除；
643不是“好数”，因为，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
考前押题
一．选择题
1．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是
A．B．C．D．
2．对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是
A．B．C．D．
二．填空题
3．定义：若，则称、是“西溪数”，例如：，因此3和1.5是一组“西溪数”，若、是一组“西溪数”，则的值为 ．
三．解答题
4．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究．如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数 “纯数”．
定义：对于自然数．在计算时，各数位都不产生进位，则称这个自然数为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为计算时，各数位都不产生进位；23不是“纯数“，因为计算时，个位产生了进位．
（1）判断2018和2021是不是“纯数”，请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
5．定义：若关于的一元二次方程，，，为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定，，为该“全整方程”的“全整数”．
（1）判断方程是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；
（2）若关于的一元二次方程（其中为整数，且满足是“全整方程”，求其“全整数”．
真题回顾
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：，
，
，
△，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：根据定义新运算，得，
即，
关于的方程1※有两个不相等的实数根，
△，
解得：，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
整理得：，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：①根据题意可得：，错误；
②，
，正确；
③高斯函数中，当时，的取值范围是，正确；
④函数中，当时，，，即，
当时，，，即，
当时，，，即，
综上，，正确．
正确的命题有②③④．
故选：．
二．填空题
5．【答案】．
【解答】解：根据题意得：，
化为整式方程得：，
解得：，
检验：当时，，
原方程的解为：．
故答案为：．
6．【答案】．
【解答】解：如图，圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
圆心就是三角形的内心，
当过点时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大，
过点分别作弦、、的垂线，垂足分别为、、，连接、、，
，
，
，，，
，
由，
，
设，则，
，
解得，
即，
在中，，
故答案为：．
7．【答案】6．
【解答】解：等腰是“倍长三角形”，
或，
若，则三边分别是6，6，3，符合题意，
腰的长为6；
若，则，三边分别是1.5，1.5，3，
，
此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，腰的长是6，
故答案为：6．
8．【答案】．
【解答】解：
．
故答案为：．
三．解答题
9．【答案】（1）②③；
（2）3或；
（3）．
【解答】解：（1）①到两坐标轴的距离分别是2，，
，，
不是反比例函数图象的“1阶方点”；
②到两坐标轴的距离分别是1，1，
，，
是反比例函数图象的“1阶方点”；
③到两坐标轴的距离分别是1，1
，，
是反比例函数图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）当时，，
函数经过点，
如图1，在以为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，，，
一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：的值为3或；
（3）在以为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“阶方点”一定存在，
如图2，当时，，，，，
当抛物线经过点时，；
当抛物线经过点时，（舍或；
时，二次函数图象有“阶方点”；
综上所述：当时，二次函数图象的“阶方点”一定存在．
10．【答案】（1），；
（2）；
（3）存在，，或，．
【解答】解：（1）将、代入中，
，
解得，
，
在中，令，则，
；
（2）设，则，，
，，
；
（3）存在点，使得是以为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得的对称轴为直线，
点与点关于对称轴对称，
，
设，
①当时，
，
，
，
解得或，
，或，；
②当时，，
此时无实数根；
综上所述：点坐标为，或，．
11．【答案】（1）3；
（2）①或；
②；
（3）．
【解答】解：（1）由题意知，，
即点的“倾斜系数” 的值为3；
（2）①点的“倾斜系数” ，
或，
即或，
和的数量关系为或；
②由①知，或
，
或，
；
（3）由题意知，满足条件的点在直线和直线之间，
①当点与点重合时，且时，点在直线上，有最小临界值，
如图：此时，
连接，延长交轴于，
此时，
则，
解得，
此时点的坐标为，，
且
；
②当点与点重合时，且时，点在直线上，有最小临界值，
如图：此时，
连接，延长交轴于，
此时，
则，
解得，
此时，，
且，
；
综上所述，若点的“倾斜系数” ，则．
12．【答案】（1）的解析式为：，的顶点坐标为；
（2）①或．
②的值为或．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，
，
的顶点坐标为；
（2）①设点的横坐标为，
过点作轴的垂线分别交抛物线，于点，，
，，
，
，
，
解得或，
或．
②的解析式为：，
当时，，
当时，，
当时，，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当时，，
且当时，函数的最大值为；函数的最小值为，
，解得或（舍；
当时，函数的最大值为；函数的最小值为，
，解得或（舍；
Ⅱ、当时，，
函数的最大值为，函数的最小值为；
，
解得（舍；
Ⅲ、当时，，不符合题意，舍去；
综上，的值为或．
13．
【解答】解：（1）由题意可知：①，，
②，；
故答案为：1，．
（2）当时，，，
一次函数，
，
，
当时，，
将点代入中，得，
．
14．【答案】（1）函数是函数、的“组合函数”，理由见解答过程；
（2）①；
②存在时，“组合函数”图象与轴交点的位置不变，．
【解答】解：（1）函数是函数、的“组合函数”，理由如下：
，
，
函数是函数、的“组合函数”；
（2）①由得，
，
、的“组合函数”为，
时，，
点在函数、的“组合函数”图象的上方，
，
，
，
，
，
；
②存在时，对于不等于1的任意实数，都有“组合函数”图象与轴交点的位置不变，，理由如下：
由①知，，
函数、的“组合函数” 图象经过点，
，
，
，
，有，
，
令得，
变形整理得：，
当，即时，，
，
时，“组合函数”图象与轴交点的位置不变，．
15．
【解答】解：（1），，
，
故答案为：；
（2），
，
，
；
，
，
；
故答案为：，；
（3），
，
，
；
，
，
，
故答案为：．
16．
【解答】解：（1）①由题意知，，
，
如图，点即为所求；
②连接，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，并延长至，使，延长到，使，
由题意知，，，，
，
，
，
，
，
的最小值为，的最大值为，
长的最大值与最小值的差为．
区域模拟
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：当※时，，
，
或，
或，
故①正确；
当※※时，，
，
，
故②错误；
方程2※变形为，
，
，
，
方程2※有两个相等的实数根，
故③正确；
※
※，
※※，
故④正确；
故选：．
2．【答案】
【解答】解：，
对于原数列，，，，由分析可得：，
对于新数列1，，，，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：把6代入计算，
第一次立方后得到216；
第二次得到225；
第三次得到141；
第四次得到66；
第五次得到432；
第六次得到99；
第七次得到1458；
第八次得到702；
第九次得到351；
第十次得到153；
开始重复，
该数的值为153，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：①当时，即，
，
则，
解得：或；
当时，即，
，
则，
解得：（不符合题意或（不符合题意），
综上所述，方程的解为或；
故①说法正确；
②由①可得：当时，即，，
则要使方程有两个解，得：△，
解得：；
当时，即，，
则，得，或（不符合题意），
故，得，故；
综上，关于的方程有三个解，则．
②的结论不正确；
当时，，
，
抛物线的开口方向向上，，随增大而增大，
时，随增大而增大，
③的结论正确；
当时，函数．
，
抛物线的开口方向向下，当时，函数函数有最小值．
④的结论不正确．
综上，正确的结论有：①③．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：由题意得，，
解得，
该不等式的正整数解有1，2，3共3个，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：已知等式整理得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：由得，解得，
由得，解得，
则不等式组的解集为，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：（1）代数式：的“同心式”为，故（1）不正确；
（2）若与互为“同心式”，则，，
，
，故（2）正确；
（3）当时，，，
，，
，，
，
无论取何值，“同心式” 与的值始终互为相反数，故（3）正确；
（4）若、互为“同心式”，
，
有两个相等的实数根，
△，
，故（4）正确．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：由新定义得，
即，
△，
方程没有实数根．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：由新定义得：，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
11．【答案】
【解答】解：★，
，即，
△，
方程★有两个不相等的实数根．
故选：．
12．【答案】
【解答】解：抛物线开口向上，
抛物线在直线上方，
，
该函数最小值为．
故选：．
13．【答案】
【解答】解：设在上，则在上，
，
，
即．
当时，有最大值2023，
故选：．
14．【答案】
【解答】解：根据定义得，，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故符合题意；
，故不符合题意；
故选：．
15．【答案】
【解答】解：两位数共有90个，下滑数有10、21、20、32、31、30、43、42、41、40、54、53、52、51、50、65、64、63、62、61、60、76、75、74、73、72、71、70、87、86、85、84、83、82、81、80、98、97、96、95、94、93、92、91、90共有45个，
概率为．
故选：．
16．【答案】
【解答】解：①根据题意可得：，错误；
②，
，正确；
③高斯函数中，当时，的取值范围是，正确；
④函数中，当时，，，即，
当时，，，即，
当时，，，即，
综上，，正确．
正确的命题有②③④．
故选：．
17．【答案】
【解答】解：由题意可知：
，
①结论正确；
设，其中是的整数部分，是的小数部分，
②结论不正确；
设，其中是的整数部分，是的小数部分
则方程可变形为：
，
解得：，
的值不能够确定，
方程有无数多个解，
③结论正确；
，
，
解得：，
④结论正确；
当时，
，
，
当时，
，，
；
当时，
，
，
；
当时，
，
，
，
⑤结论不正确．
故选：．
二．填空题
18．【答案】．
【解答】解：关于的方程，※，就是：
，
即：．
关于的方程，※，，有两个相等的实数根，
且△．
解得：．
故答案为：．
19．【答案】2．
【解答】解：
．
故答案为：2．
20．【答案】2，15．
【解答】解：根据题意，得，8，15，，2，，．
故答案为：2，15．
21．【答案】0．
【解答】解：
．
故答案为：0．
22．【答案】1011．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为：1011．
23．【答案】．
【解答】解：根据已知可得，
解不等式组得，
关于的不等式组的解集为，
，
．
故答案为：．
24．【答案】．
【解答】解：根据新定义关于的不等式组可化为：，
解不等式①可得：，
解不等式①可得：，
因为该不等式组的解集为，
，解得：．
故答案为：．
25．【答案】．
【解答】解：由题意可得，
不等式组的可以转化为，
解得．
故答案为：．
26．【答案】，．
【解答】解：，，
，
点的限变点是，
点在二次函数的图象上，
，
当时，，
，
当时，，
当时，，
综上，当时，其限变点的纵坐标的取值范围是，
故答案为：，．
27．【答案】．
【解答】解：作于点，为的中线，
，，，
，
，
，
解得，
，
为斜边上的中线，，
，
，
即点到的距离为，
中边的“中偏度值”为：，
故答案为：．
28．【解答】解：从1，3，4，5中选取两个数，所有等可能的情况数有12种，分别为1，3；1，4；1，5；3，4；3，5；4，5；
3，1；4，1；5，1；4，3；5，3；5，4；其中“数”的情况数有6种，分别为3，4；3，5；4，5；4，3；5，3；5，4，
则．
故答案为：
29．【答案】（1）12；
（2）93．
【解答】解：（1）是一个“类完全平方数”， ，
．
故答案为：12；
（2）两位数是一个“类完全平方数”，且（a），
是3的倍数，
若，
则，
，
，
，
不符合题意；
若，
则，
，
不符合题意；
若，
则，
，
，
符合题意，
的最大值．
故答案为：93．
三．解答题
30．【答案】验证：嘉嘉说得对，理由见解答；
证明：见解答．
【解答】解：验证，嘉嘉说得对，理由如下：
琪琪：，不是“4倍数”，所以嘉嘉说得对．
证明：设三个连续偶数分别为，，，则：
，
为整数，
是“4倍数”．
31．【答案】（1）．
（2）证明见解题过程．
（3）2．
【解答】解：（1）根据指数与对数关系得：．
故答案为：．
（2）设，，则，，
．
．
．
（3）原式
．
故答案为：2．
32．【答案】（1）【1，0，】；
（2）；
（3）的值为或；
（4）的取值为或1或．
【解答】解：（1）函数的特征数是【1，，1】，
函数为，
将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，
函数的“特征数”是【1，0，】，
故答案为：【1，0，】；
（2）函数的“特征数”是【0，，】，
函数解析式为，
将函数的图象向上平移2个单位得新函数解析式为，
故答案为：；
（3）“特征数”是【1，，】的函数解析式为，
抛物线的顶点为，对称轴是直线，
由抛物线的性质可知，当与时，相等且，
①当，即时，抛物线的最高点在处取得，
，
解得，不符合题意，舍去；
②当，即时，抛物线的最高点在处取得，
，
解得或（舍去），
③当，即时，抛物线的最高点在取得，
，
解得（舍去）或（舍去），
④当，即时，抛物线的最高点在处取得，
，
解得，
综上所述，的值为或；
（4）由（3）知抛物线的顶点坐标为，且，
①当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
②当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
③，即时，
需要分以下两种情况：
抛物线与直线有两个交点，如图，
两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，
，
，，，；
，
解得，
抛物线与矩形相邻两边有交点，如图，
两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，到轴距离与到轴距离都为2，
到轴距离为1，即，
，
，
解得（舍去）或；
④当时，如图：
两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，
，
又，
，
，
，
解得或（舍去），
综上所述，的取值为或1或．
33．【答案】（1）或或或（写一个即可）；
（2）证明见解答过程；
（3）①证明见解答过程；
②．
【解答】（1）解：，，，
，
若，则，解得：，
若，则，解得：，
若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，
若，则，，
综上，的值是或或或（写一个即可），
故答案为：或或或（写一个即可）；
（2）证明：设，，则，
，
，
，
在四边形中，，
四边形为“和谐四边形”；
（3）①证明：是的直径，
，
，，
，
，
、、、四点都在上，
，
，
，
，
，
；
②解：连接、、，过作于，连接，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
“和谐四边形” 的面积．
34．【答案】（1）1；
（2）小明的结论不正确，理由见解析；
（3）见解析．
【解答】解：（1）在钝角三角形中存在1个内接正方形，理由如下：
不妨设为钝角三角形，，
如图所示，当内接正方形有两个顶点在上时，是可以得到1个内接正方形的；
如图所示，当内接正方形有两个顶点在上时，则在中，，，显然违背了三角形内角和定理，此种情形不成立；
同理当当内接正方形有两个顶点在上时，此种情形不成立；
综上所述，在钝角三角形中存在1个内接正方形；
故答案为：1；
（2）小明的结论不正确，理由如下：
在等腰中，，，
；
如图2所示，设，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
如图3所示，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
在△中，，，
，
，
，
，
，
小明的结论不正确；
（3）如图所示，四边形是的内接正方形，过点作，
，，
，，
，
，
，
同理可得，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
同理可证，
在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．
35．【答案】（1）28是“倚重数”；79不是“倚重数”；
（2）313，328，343，358，373，388．
【解答】解：（1）因为，，那么28是“倚重数”；因为，但，所以79不是“倚重数”；
（2）方法：1：大于300且小于400的数中除以5余数是3的数有303，308，313，318，323，328，333，338，343，348，353，358，363，368，373，378，383，388，393，398，其中除以3，余数为1的数有313，328，343，358，373，388；
方法2：大于300且小于400的“倚重数”有：313，328，343，358，373，388．
36．【解答】解：（1）312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且，4能被2整除，
675不是“好数”，因为，13不能被5整除；
（2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：
设十位数数字为，则百位数字为的整数），
，
当时，，
能被1，7整除，
满足条件的三位数有611，617，
当时，，
能被1，3，9整除，
满足条件的三位数有721，723，729，
当时，，
能被1整除，
满足条件的三位数有831，
当时，，
能被1整除，
满足条件的三位数有941，
即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
考前押题
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立与，得方程，
即，
抛物线与直线有两个交点，
△，
解得，
当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解．
故选：．
二．填空题
3．【答案】6．
【解答】解：、是一组“西溪数”，
，
则原式
，
故答案为：6．
三．解答题
4．【解答】解：（1）2018不是“纯数”，2021是“纯数”，理由如下：
在计算时，个位产生了进位，而在计算时，各数位都不产生进位，
不是“纯数”，2021是“纯数”；
（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其它位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其它位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：
①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为两位自然数时，十位只能是1、2、3，个位只能是0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32，共9个；
③当这个数为100时，易知100是“纯数”．
综上，不大于100的“纯数”的个数为．
5．
【解答】解（1）是，理由：
解方程得，，
两个根均为整数，满足定义，
方程为“全整方程”，
，，；
（2）一元二次方程，
，
，
即：，
关于的一元二次方程是“全整方程”，
是完全平方数，
即是完全平方数，
或81或100，
为整数，
（舍去），，（舍去），
即原方程为，
，，新定义与材料理解问题是中考数学的热点问题，一般为小题(选择题或填空题)。这种类型的问题通常不会单独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力.这种类型的问题往往与代数知识结合的比较多，所以同学们一定要重视，一般这种类型的问题难度不大，平时多注意对这种问题的训练拿下这个问题不是难事。
新定义与材料理解问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型一般有三种类型问题:(1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识";(3)定义新概念。这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。
预测分值：10分左右
难度指数：★★
必考指数：★★★★★
1)读懂题目，搜集信息，理解本质:
要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在。
2)新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识:
1.实数的运算→高中的虚数的运算、数列的求和、向量等知识、.
2.平面直角坐标系，反比例函数，一次函数，二次函数→幂函数或指数函数
3.一元一次、一元二次方程、分式方程指数方程、三角方程等特殊方程
4.其他类型
3)熟练掌握和运用数学的常用思想方法
我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题。比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等.所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题.