江苏省南通市海门区东洲国际学校2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效
4．作弊者，本卷按0分处理．
（请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷）
一．选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各式中结果最小的是（ ）
A. |﹣4|B. ﹣（﹣2）C. ﹣（+）D. ﹣|﹣7|
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数和绝对值性质计算出结果，再根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小即可比较．
【详解】解：A、|﹣4|=4，
B、-（-2）=2，
C、-（+）=-，
D、-|-7|=-7，
∵正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，
∴4＞2＞-＞-7．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数和绝对值，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，以及二次根式的被开方数为非负数，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，以及二次根式有意义的条件，
根据分式有意义的条件，以及二次根式的被开方数为非负数解答即可
【详解】解：分式有意义
且，
解得且，
故选：A
3. 据国家统计局数据，2021年中国国内生产总值约1144000亿元．将1144000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
4. 某校九(1)班的全体同学最喜欢的球类运动用如图所示的统计图来表示，下面说法正确的是( )

A. 从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数
B. 从图中可以直接看出全班的总人数
C. 从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况
D. 从图中可以直接看出全班同学现在最喜欢各种球类的人数的大小关系
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形统计图的特点，可以得到各类所占的比例，但总数不确定，不能确定每类的具体人数．
【详解】解：因为扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，不能反映具体数量的多少和变化情况，所以A、B、C都错误．
故答案为：D
点睛】考点：扇形统计图．
5. 已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ）
A. 当AD=BC，AB//DC时，四边形ABCD是平行四边形
B. 当AD=BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C. 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴A不正确，不符合题意；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确，符合题意；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴C不正确，不符合题意；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
∴D不正确，不符合题意；
故选B．
6. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
7. 如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，△ABC为正三角形，则小球落在小⊙O内部（阴影）区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．
【详解】解：如下图所示，连接OA，过O点作OB⊥AB于B，作OC⊥AC于C点，
∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，
设OB＝a，则OA＝2a，
则小球落在小⊙O内部（阴影）区域的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查了几何概率，关键是得到内切圆的面积与外切圆面积的比，然后再根据概率公式求解即可．
8. 已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：抛物线的对称轴为直线，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴，解得：．故选D．
考点：二次函数的性质．
9. 如图所示，在中，，点D为边的中点，点P为边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，作点D关于的对称点E，连接，则，，然后利用等边三角形的判定和性质及勾股定理解三角形即可，作出相应辅助线是解题关键．
【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点E，连接，则，，
∴，
∴当B、P、E在同一直线上时，，
，
，
∴为等边三角形，
，
∵D为边上的中点，
，
，
，
，
，
∴，
即的最小值为，
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为，将矩形绕着点O逆时针旋转（），得到矩形．直线、与直线相交，交点分别为点D、E，有下列说法：
①当时，矩形与矩形重叠部分的面积为；
②当，且落到y轴的正半轴上时，的长为；
③当点D为线段的中点时，点D的横坐标为；
④当点D是线段的三等分点时，的值为或．
其中，说法正确的是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】①计算和，根据三角形面积公式可得结论正确；
②分别根据三角函数计算和的长，相加可得的长；
③如图2，过点D作于F，则，证明（），设，则，根据勾股定理列方程可得结论；
④存在两种情况：或，如图3，，同理作辅助线构建全等三角形，可得，设，则，根据勾股定理列方程可得m和a的关系，根据正弦的定义可得结论．
【详解】解：①当时，点B的坐标为，
∴，
当时，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即当时，矩形与矩形重叠部分的面积为；
故①正确；
②如图1，由旋转得：，
由勾股定理得：，
∴，

即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③∵点B的坐标为，
∴，
如图2，过点D作于F，则，
∵点D为线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴（），
∴，
设，则，，
中，，
解得： ，
∴
即当点为线段的中点时，点D的横坐标为；
故③正确；
④当点是线段的三等分点时，存在两种情况：或，
如图3，，过点D作于H，则，
同理可得，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
m1＝a，m2＝a（舍），
∴或；
故④错误；
本题正确的结论有：①②③
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，综合性很强，必须灵活掌握知识，学会用方程的思想解决问题．
二．填空题（每题3分，共24分）
11. 已知，（m，n为正整数），则___．
【答案】24
【解析】
【分析】对进行变形可得，然后将已知条件代入即可．
【详解】解：原式．
故答案为：24
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算公式是解题的关键．
12. 已知a＝，b＝，c＝，则三个数的大小关系是_____．
【答案】a＞b＞c
【解析】
【分析】分别求出a、b、c的平方，比较平方的大小即为所求．
【详解】a2＝，b2＝，c2＝，
∵＞＞，
∴a＞b＞c，
故答案为：a＞b＞c．
【点睛】本题考查实数的大小比较；利用平方结果比较大小是解题的关键．
13. 圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，然后求出侧面积即可，熟练掌握侧面积的计算方法是解题关键．
【详解】解：∵圆锥的母线长为，高为，
∴底面圆的半径为，则底面周长为：，
∴侧面面积为：．
故答案为．
14. 已知，则y的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了两点 距离公式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，利用对称得到距离和最小．把两个根号里进行变形，数轴结合原代数式可以看做点C到点A和点B距离之和，利用对称得到最小值即可．
【详解】解：，
∴可以看作点到点，的距离之和，
作点B关于x轴的对称点，连接，，
∵，
∴，
∴的最小值为：，
即y的最小值为．
故答案为：．
15. 如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角＝_________．
【答案】75°
【解析】
【详解】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OBA=45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根据圆周角的性质可证∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根据三角形的内角和定理可求α．
解：连接OA、OB、OC、OD，
∵OA=OB=OC=OD=1，AB=，CD=1，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
△COD是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，
∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴α=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-（∠CDB+∠ODB）=180°-45°-60°=75°．
16. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=8，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交直线AD于E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、GF，当△CDF为直角三角形时，AP=_______．
【答案】2或4+2
【解析】
【分析】分两种情形①如图1，如图1，当DF⊥AB时，△CDF是直角三角形，②如图2，当CF⊥AB时，△DCF是直角三角形分别求出即可．
【详解】如图1，当DF⊥AB时，△CDF是直角三角形，
∵在菱形ABCD中，AB=8，
∴CD=AD=AB=4，
在Rt△ADF中，∵AD=8，∠DAN=45°DF=AF=4，
∴AP=AF=2，
如图2，当CF⊥AB时，△DCF是直角三角形，
在Rt△CBF中，∵∠CFB=90°，∠CBF=∠A=45°，BC=8，
∴BF=CF=4，
∴AF=8+4，
∴AP=AF=4+2．
故答案为2或4+2．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，学会正确画出图象，注意分类讨论的思想，属于中考常考题型．
17. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，且是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．
【答案】或或或
【解析】
【分析】本题考查了利用相似三角形的对应边成比例列式并解一元二次方程，坐标与图形．很明显，当点在原点和时是直角三角形，当点在原点与之间时，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【详解】解：如图，①当点在原点与时是直角三角形；
②当点原点与之间时，
设点坐标为，
则，，
根据题意，，，
，
又，
，
，
，
即，
解得，，
点的坐标为或；
故点的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
18. 如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且 点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．
【详解】解：∵点、分别是边、中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴
∴
∴
当点E与点A重合时，则NF=，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴是等腰直角三角形，
∴
∵BP⊥AF，
∴
由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接PO，NO，
∴∠PON=90°，
又
∴，
∴，
∴的长为=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为长是解答本题的关键．
三．解答题（共96分）
19. 计算
（1）不等式组的解集
（2）计算：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂 ，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握相关的法则和定义，
（1）先求出两个不等式的解集，再求出其公共解即可，
（2）先化简各式，再进行计算即可；
【小问1详解】
解：
解①得
解②得
则等式组的解集为：，
【小问2详解】
解：
20. “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．
【答案】26．
【解析】
【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和，因此可以令，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出的值.
【详解】解：令，则原方程组可化为：
，整理得：，
②-①得：，
解得：，代入②可得：b=4，
∴方程组的解为：或，
，
当时，
∴，，
∴，代入，
可得，此时，方程无解，故不符合题意；
当时，=26，
因此的值为26．
【点睛】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键．
21. 现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个小球（每个袋中的小球除颜色外，其他完全相同）．A袋装有1个白球，2个红球；B袋装有1个红球，2个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______；
（2）甲、乙两人玩摸球游戏，并设计了如下规则：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球．若甲、乙两人摸到的小球颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．这个游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由）
【答案】（1）
（2）这个游戏规则不公平．理由见解析
【解析】
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）由列表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，由概率公式，即可得出答案．
【小问1详解】
解：共有3种等可能结果，而摸出红球的结果有2种，
∴P（摸出红球）=，
故答案为：；
【小问2详解】
解：这个游戏规则不公平．理由如下：
根据题意，列表如下：
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种，
∴P（颜色不相同）=，P（颜色相同）=，
∵＜，
∴这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，已知为的直径，，交于点D，交于点E，．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用．
（1）的度数等于，因而求的度数就可以转化为求和，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出．
（2）在等腰三角形中，根据三线合一定理即可证得．
【小问1详解】
解：∵为的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
证明：如图，连接，则．
又∵，
∴且平分（等腰三角形“三线合一”）．
∴．
23. 在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．
（1）求每张门票原定的票价；
（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．
【答案】（1）400（2）10%
【解析】
【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；
（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．
【详解】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，
根据题意得：，
解得x=400．
经检验，x=400是原方程的根．
答：每张门票的原定票价为400元；
（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得
，
解得： （不合题意，舍去）．
答：平均每次降价10%．
24. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上一个动点，求的周长最小值；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，先求出直线的关系式，得出点E的坐标，求出AE=2，根据勾股定理求出，，，即可得出答案；
（2）将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，用待定系数法求出的关系式，然后求出与x轴的交点坐标，即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，由模型可知的周长最小，
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
∴D（0，2），C（3，4），，
设直线为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，，解得k=2，，
∴直线为，
令y=0，得x=1，
∴点E的坐标为（1，0）.
∴OE=1，AE=2，
利用勾股定理得，
，
，
∴△CDE周长的最小值为：．
【小问2详解】
解：如图，将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接，此时四边形CDEF周长最小，
理由如下：
∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，
∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据轴对称可知，，
∴，
设直线的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，
令y=0，得，
∴点F坐标为，
∴点E坐标为．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．
25. 如图，A（a，at－2）、B（b，bt－2）是反比例函数（k≠0）的图象上两点，直线AB与x轴交于点C、与y轴交于点D．
（1）求点D坐标；
（2）用t的代数式表示a+b；
（3）若A（-3，1）
①已知M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1＜x2） 是线段AB上两点，MN：AB=3：4，且线段MN与双曲线无交点，求x1的取值范围；
②若经过点D的直线y=mx+n与反比例函数的图像分别交于P、Q两点，且△POQ内有横坐标和纵坐标都为整数的点共5个，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）D（0，-2）
（2）
（3）①-3< x 1