江西省抚州市金溪县第二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分).
1. 式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的概念：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式进行分析即可．
【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式，
∴共个不等式．
故选：．
【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：．
2. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】当时，，错误，该选项不符合题意；
∵，
∴，正确，该选项符合题意；
，错误，该选项不符合题意；
当时，，错误，该选项不符合题意；
故选：B.
4. 如图，直线经过两点，且与直线交于点，则不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从图象确定时，x的取值范围即可．
【详解】解：从图象可以看出，当时，一次函数图象在正比例函数图象的下面，
∴的解集为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．
5. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质及应用，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握旋转前后，对应角相等，对应边相等．由，可得，根据在平面内绕点A旋转到的位置，有，，故，可得，从而．
【详解】解：∵，
∴，
∵在平面内绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
6. 如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④．其中错误的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，，易得，即可判断结论①；根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可判断结论②；根据角平分线的定义和平行线的性质可得，即可证明，即可判断结论④；首先证明，再根据三角形内角和定理可得，结合，即可得，即可判断结论③．
【详解】解：如下图，过点作于点，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，故结论①正确；
∵，且点在内部，
∴点在的平分线上，故结论②正确；
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
∵，，
∴，
∵
又∵，
∴，
∴，
即，故结论③错误．
综上所述，结论错误的是③，共计1个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
7. 某日我县最高气温是，最低气温是，则当天气温t的变化范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了不等式的定义，能理解最高气温和最低气温的意义是解此题的关键．根据最高气温和最低气温得出的范围即可．
【详解】解：某日我县最高气温是，最低气温是，
当天气温的变化范围是，
故答案为：
8. 将点先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到B，那么点B的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，关键是掌握点的平移规律． 直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】原来点的横坐标是，纵坐标是2，向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到新点的横坐标是，纵坐标为，即为．
故答案为．
9. 一个三角形3条边长分别为、、，它的周长不超过，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形三边关系及不等式组的应用，掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的周长和三角形三边关系建立关于x的不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
10. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，即可得出的取值范围．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
∵不等式组有3个整数解，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键．
11. 如图，在中，，，，为边上的高，点P为射线上一动点，当时，的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含度的角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握含的角的直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据含的角的直角三角形的性质得到，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，∵为边上的高，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴．
，
在中，，
在中，，
∴，
故答案为：
12. 如图，在中，，，，点P，Q分别是边AB，BC上的一个动点，点P从以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】先利用直角三角形的性质可得，，再根据点P，Q的运动路径和速度求出的取值范围为，然后分和两种情况，分别利用直角三角形的性质求解即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
，，
点从点运动到点所需时间为（秒），最后返回到点所需时间为（秒）；
点从点运动到点所需时间（秒），
当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，当时，为直角三角形，
①当时，，，，，
在中，，即，
解得，符合题设；
②当时，，
在中，，即，
解得，不符题设，舍去；
（2）如图，当时，为直角三角形，
①当时，，，，，
在中，，即，
解得，符合题设；
②当时，，
在中，，即，
解得，符合题设；
综上，的值是或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13. （1）解不等式：
（2）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【答案】（1）；（2），数轴见详解
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
（1）解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，据此求解；
（2）先解每一个不等式，再取公共解集，最后把解集在数轴上表示出来．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为： ．
不等式组的解集在数轴上表示如下：
14. 若关于、的二元一次方程组的解，满足，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．利用二元一次方程组，得到，再结合，即可求出的取值范围．
详解】解： ，
由得：，
，
，
，
．
15. 如图所示，在梯形中，，，，，．将线段向右平移至．试判断的形状．
【答案】是直角三角形
【解析】
【分析】此题考查了平移的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握平移的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．由题意易求得，的长，然后由勾股定理的逆定理证得是直角三角形．
【详解】解：将线段向右平移至，
，，
，
，
，
，
即是直角三角形．
16. 如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，连接，先证，得到，结合角平分线性质求解即可得到证明；
【详解】证明：，证明：
连接，
在与中，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
17. 如图，在正方形网格中， 的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺作 的角平分线（用两种不同的方法）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，如图1所示，取格点D，E，连接，则射线即为的角平分线；如图2所示，取格点D、E、F、H，连接交于G，连接交于O，则射线即为所求．
【详解】解：如图1所示，取格点D，E，连接，则射线即为的角平分线；
易证明且点E为的中点，则由三线合一定理可得射线即为的角平分线；
如图2所示，取格点D、E、F、H，连接交于G，连接交于O，则射线即为所求；
易证明且点G为的中点，则平分，由网格的特点可知平分，根据三角形三条角平分线交于一点可知射线即为所求．
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点(网格线的交点)上．
（1）画出关于原点O的中心对称图形，并直接写出点的坐标．
（2）将绕点A顺时针旋转得到，画出．
【答案】（1）作图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了作图旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可画出；
（2）根据旋转的性质即可画出；
【小问1详解】
如图，即为所求，；
【小问2详解】
如图，即为所求，
19. 阅读下列材料：求不等式的解集．
解：根据“两数相乘，同号正”可得：①或②
解①得；解②得
∴不等式的解集为或．
请你仿照上述方法解决问题：求的解集．
【答案】
【解析】
【分析】仿照例题，根据“两数相乘，异号得负”，将原不等式转化成两个一元一次不等式组，分别求出两个不等式组解集，再找出它们的公共部分即可得到原不等式的解集．
本题考查了有理数的乘法法则和解一元一次不等式组．正确的将原不等式转化成两个不等式组是解题的关键．
【详解】解：根据“两数相乘，异号得负”可得：
①或②，
解①得；解②得无解，
∴不等式的解集为．
20. 如图所示，直角的边在数轴上，，将沿数轴的负方向平移至的位置．
（1）和的数量关系为______，位置关系为______；______度；
（2）若点D表示的数为，点A表示的数为0，点C表示的数为4；
①求点F表示的数；
②若，求四边形的周长．
【答案】（1），，90
（2）①点 F 表示的数是，②四边形的周长
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，数轴上两点间的距离，勾股定理，掌握相关的知识是解题的关键．
（1）根据平移的性质，得到对应边平行且相等，即可解决；
（2）①根据平移性质得出，即可求出结论；②根据平移性质求出，再根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
由平移得：，
，，
，
故答案为：，，90；
【小问2详解】
①点D 表示的数为，点 A 表示的数为0，
，
根据平移性质得：，
点C 表示的数为4，
点 F 表示的数是；
②根据平移性质得：，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
即
∴
∴四边形的周长．
五、(每小题9分，共18分)
21. 在四边形中，平分，并且．
（1）如图1，当时，则与的数量关系是______；
（2）如图2，当是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的判断；
（3）如图3，若，，，求的面积
【答案】（1）
（2）成立，证明见解析
（3）6
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质证明三角形全等是解题的关键．
（1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明；
（2）过D作，，证即可得到结果；
（3）过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解．
【小问1详解】
在四边形中，
，，
，
,，
平分，
；
故答案为：
【小问2详解】
成立，理由是：
如图，过D作,交于E，，交延长线于F，
，
平分，
，
，
，
，
在与中，
，
；
【小问3详解】
如图，过D作,交于M，，交延长线于N，
，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7100元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）购进A、B两种纪念品每件各需80元、50元
（2）故该商店共有四种进货方案：方案一：购进A种纪念品70件， B种纪念品30件；方案二：购进A种纪念品71件， B种纪念品29件；方案三：购进A种纪念品72件， B种纪念品28件；方案四：购进A种纪念品73件， B种纪念品27件；
（3）方案四可获利最大，最大利润是2730元
【解析】
【分析】（1）设购进A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据题意列一元一次不等式组求解即可；
（3）分别求出每个方案的利润，然后比较即可得出结论．
【小问1详解】
解：设购进A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，
根据题意，得，
解得：，
答：购进A、B两种纪念品每件各需80元、50元；
【小问2详解】
解：设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，
根据题意，得，
解得，
∵a为正整数，
∴a的值为70或71或72或73，
故该商店共有四种进货方案：
方案一：购进A种纪念品70件， B种纪念品30件；
方案二：购进A种纪念品71件， B种纪念品29件；
方案三：购进A种纪念品72件， B种纪念品28件；
方案四：购进A种纪念品73件， B种纪念品27件；
【小问3详解】
解：方案一的利润为（元），
方案二的利润为（元），
方案三的利润为（元），
方案四的利润为（元），
故方案四可获利最大，最大利润是2730元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解答的关键．
六、(本大题共1小题，共12分)
23. 在综合实践课上，同学们探究旋转问题：
问题提出
已知是等边三角形，将等边 (A，D，E三点按逆时针排列)绕顶点A旋转，且平移线段使点A与顶点C重合，得到线段，连接，，．
观察发现
（1）如图1，当点E在线段上，猜想的形状______；
探究迁移
（2）如图2，当点E不在线段上，(1)中猜想的结论是否依然成立；
拓展应用
（3）如图3，当点E在线段的延长线上，若，，将等边绕着点A顺时针旋转α度()，在旋转的过程中，当点E落直线上时．
①则∠α的度数为______；
②求证：．
【答案】（1）等边三角形；（2）结论依然成立；（3）①或；②见解析
【解析】
【分析】（1）由和是等边三角形，可得，故是等边三角形；
（2）延长交于M，由是等边三角形，得，，而平移线段使点A与顶点C重合，得到线段，有，，故，从而，即得，知，即可得是等边三角形；
（3）①分两种情况：点在直线的上方时或点在直线的下方时，分别画出图形，根据旋转的性质，等边三角形的性质和直角三角形的性质求解即可；
②分两种情况：点在直线上方时或点在直线的下方时，分别画出图形，根据平移的性质，等边三角形的性质和直角三角形的性质求证即可．
【详解】解：（1）点E在线段上时，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）当点E不在线段上，（1）中的结论依然成立
延长交于M，如图：
∵和是等边三角形，
∴，
∵平移线段使点A与顶点C重合，得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（3）①分两种情况：
i.点在直线的下方时，作于点，如图所示，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
即旋转角为：；
ii．点在直线的上方时，如图所示，
由i可得，
∴，
旋转角为：，
故答案为：或；
②分两种情况：
i.点在直线的下方时，如图所示，
由①可得，，，
∵是等边三角形，
∴，
由平移可得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴；
ii. 点在直线的上方时，如图所示，
由平移得，，，
，
由①得，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．