陕西省西安市经济技术开发区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列各式中，计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法、除法法则，幂的乘方，合并同类项法则计算判断即可．
【详解】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为，所以D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．即同底数幂相乘（相除），底数不变，指数相加（相减），幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．
【详解】解：四个选项中，只有选项B满足，
即选项B中，与互为余角．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，余角的定义，掌握定义并且准确识图是解题的关键．
3. 随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了的光刻机．其中0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到2的后面，所以
【详解】解：0.000000028
故选A
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4. 如果9是完全平方式,那么的值是（ ）
A -12B. ±12C. 6D. ±6
【答案】B
【解析】
【分析】根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到k的值．
【详解】解：∵9a2-ka+4=（3a）2±12a+22=（3a±2）2，
∴k=±12．
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5. 如图，要把供暖输水管道中的水引到居民小区M，点C，E，D部在上，且，则沿线段（ ）铺设管道可使费用最低

A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据“垂线段最短”可直接得出答案．
【详解】解：由题意知，，
根据“垂线段最短”，结合所给图形可得．
故选C．
【点睛】本题考查垂线段的性质，解题的关键是掌握：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
6. 如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由大圆面积减去两个小圆面积求出阴影部分面积即可．
【详解】解：根据题意得：．
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
7. 若，，则的值为（ ）
A 1B. 11C. 30D. 35
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差公式：变形，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
8. 如图，直线与相交于点O，射线在内部，且于点O．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用平角和求出，由得到，进一步即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】此题考查了几何图形中的角度计算、垂直的定义等知识，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9. 计算：=_______.
【答案】
【解析】
【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．依此计算即可求解．
【详解】-2a2（a-3ab）=-2a3+6a3b．
故答案为-2a3+6a3b．
【点睛】此题考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
10. 已知x+y＝6，xy＝4，则x2﹣xy+y2的值为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】根据完全平方公式可得x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，然后把x+y＝6，xy＝4整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴当x+y＝6，xy＝4，x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝62﹣3×4＝24；
故答案为24
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．
11. 某社区组织老年人参加太极拳比赛，由于比赛场地的原因，要把每边人的方队一边增加人，另一边减少人，实际参加比赛的人比原来____人
【答案】少4人
【解析】
【分析】列出原来的人数和实际的人数，用实际的人数减去原来的人数进行计算即可．
【详解】解：依题意得：

故实际参加比赛的人比原来少4人
故答案为：少4人
【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意列出式子，以及准确计算整式乘法是解题的关键．
12. 如图，∠1=75°，∠2=120°，∠3=75°，则∠4=_________．
【答案】60°
【解析】
【详解】∵∠1=75°=∠3，
∴上下两条直线平行，
∴∠4加上∠2的对顶角等于180°，
∴∠4=180°﹣∠2=180°﹣120°=60°，
故答案为：60°
考点：平行线的判定与性质
13. 如图，，，平分，平分，则____．
【答案】##115度
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，先过点作，过点作，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由，即可求得，又由平分，平分，根据角平分线的性质，即可求得的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得的度数．解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
【详解】解：如图，过点作，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整数指数幂的混合运算，涉及负整数指数幂与零指数幂，掌握这两个幂的运算规则是解题的关键．分别计算负整数指数幂与零指数幂，最后按有理数混合运算顺序进行计算即可．
【详解】解：
．
15. 一个角的补角比这个角的倍大，求这个角的度数．
【答案】
【解析】
【分析】设这个角的度数为，它的补角为，从而根据题意可列出方程，解出即可得出答案．
【详解】解：设这个角的度数为，它的补角为，
，解得：，
所以这个角的度数是．
【点睛】本题考查了补角的知识，一元一次方程，根据题意正确列出方程是解答本题的关键．
16. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，解题关键在于掌握运算法则；
先根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则化简，然后合并同类项即可．
【详解】解：原式：
．
17. 如图，平行于，，平分，，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】设，根据角平分线的定义可得，则，根据平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用三角形内角和可得答案．
【详解】解：平分，
，
设，则，，
，
，
，
解得，
即，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
18. 如果，求代数式的值．
【答案】2024
【解析】
【分析】，将代入求解即可．
【详解】解：
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式，代数式求值．解题关键在于正确的运算．
19. 已知：．
求作：射线，使它平分，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法，指明结果）

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据题意作的角平分线，交于点．
【详解】解：如图，射线即为所求．
【点睛】本题考查了作角平分线，熟练掌握角平分线的作法是解题的关键．
20. 已知：如图，，，点F在AD上，EF交BC的延长线于点E.求证：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠B＋∠DCB＝180°，求出∠D＋∠DCB＝180°，根据平行线的判定得出AD∥BC，根据平行线的性质得出即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴.
又∵，
∴.
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
21. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，10
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，利用整式运算法则和公式将原式进行化简是解决此题的关键．
先利用单项式乘多项式法则，平方差公式和多项式乘多项式法则进行计算，合并同类项后，代入x、y的值进行计算即可．
【详解】解：
．
当，时，原式．
22. 如图，两个正方形边长分别为，，已知，，求阴影部分的面积．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意得，阴影部分的面积等于边长为的等腰直角三角形面积减去直角边为和的直角三角形的面积，带入求值即可．
【详解】解：如图，

，
∵，，
∴．
答：阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解．
23. 如图，四边形，E是延长线上的一点．根据题目条件填空，并注明根据．

（1）如果，那么可以判定直线______∥______，根据是______．
（2）如果直线，那么可以判定∠______=∠______，根据是______．
【答案】（1）；；同位角相等，两直线平行
（2）；；两直线平行，内错角相等（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和判定定理．熟练掌握平行线的性质和判定定理的运用是解题的关键．
（1）根据同位角相等，两直线平行即可得到结论；
（2）根据两直线平行，内错角相等即可得到结论．
【小问1详解】
解：如果，
那么可以判定直线，
根据是同位角相等，两直线平行；
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；
【小问2详解】
如果直线，
那么可以判定，
根据是两直线平行，内错角相等．
故答案：C；；两直线平行，内错角相等．（答案不唯一）
24. 如图，直线交于点O，已知，．
（1）若，求的度数；
（2）若，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）．理由见解析
【解析】
【分析】（1）由对顶角相等得到，则；
（2）先根据垂线的定义结合得到，则，由此即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
25. 如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为b米．
（1）求这两个篮球场的总占地面积．
（2）若篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，求整个长方形场地的造价．
【答案】（1）这两个篮球场的总占地面积是平方米
（2）整个长方形场地的造价为元
【解析】
【分析】本题考查列代数式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键．
（1）把篮球场平移为一个长方形，求出这个长方形长和宽，即可求出面积；
（2）根据篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，列出代数式即可．
【小问1详解】
解：
平方米．
答：这两个篮球场的总占地面积是平方米．
【小问2详解】
平方米，
平方米，
元．
答：整个长方形场地的造价为元．
26. 【问题背景】
如图，点A是直线上一点，点C是直线上一点，B是直线之间的一点，连接，．
（1）如图1，过点B作，试说明：；
【问题探究】
（2）如图2，作，与的角平分线交于点F，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）150°
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由，即可证明．
（2）先根据角平分线的定义得到，，再求出，根据（1）的结论推出，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，．
∵，
∴．
由（1）可得．
∵，
∴
，
∴的度数为150°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．