哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若(，i是虚数单位)，则等于( )
A.5B.1C.0D.
2．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则( )
A.B.或C.D.或
3．已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则( )
A.0B.1C.2D.3
4．在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
5．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )
A.B.C.D.
6．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为( )
A.B.C.D.
7．已知边长为2的菱形中，，点F为上一动点，点E满足，则的最大值为( )
A.0B.C.3D.
8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是( )
A.与共线
B.单位向量
C.向量在向量上的投影向量为
D.若，则
10．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即(S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边)．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是( )
A.的周长为B.的三个内角满足
C.的外接圆半径为D.的中线的长为
11．已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是( )
A.若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B.若，则的最大值为2
C.若，则的最大值为
D.若，则的最小值为
三、填空题
12．设i是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数________．
13．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，当时，的最大值是______．
14．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为上的一点，则的最小值为______．
四、解答题
15．已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若是单位向量，且，求与的夹角.
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积为，，求的周长和外接圆的面积．
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：为直角三角形；
(2)当时，求周长的最大值．
18．如图，在中，的平分线交边于点E，点D在边上，，，.
(1)求的大小;
(2)若，求的面积.
19．如图，在中，已知，，，边上的中点为M，边上的中点为N，，相交于点P．
(1)求；
(2)求与夹角的余弦值；
(3)过点P作直线交边，于点E，F，求该直线将成的上下两部分图形的面积之比的最小值．
参考答案
1．答案：B
解析：因为，即，所以，，
所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：由正弦定理，即，解得，
又，所以或.
故选：D.
3．答案：D
解析：由题意知，A，B，C三点共线，故，，
且，共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D.
4．答案：A
解析：因为，所以由余弦定理得，
所以，所以，所以为等腰三角形.
故选：A.
5．答案：D
解析：设，则.
由，可得，
故以，为邻边的平行四边形是矩形，且，
设向量与的夹角为，则csθ＝，
又，所以.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为.
故选：B.
7．答案：C
解析：如图，以A为原点建立平面直角坐标系，
则，，，，
则，
由题意，设，则，
则，
所以，
因为，所以当时，的最大值为3.
故选：C.
8．答案：C
解析：由三角形面积公式可得：，故，
，故，
因为，所以，
解得：或0，
因为为锐角三角形，所以舍去，
故，，
由正弦定理得：
，
其中，
因为为锐角三角形
所以，故，所以，，
，，
令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，
则，
又，，
因为，所以，
则.
故选：C.
9．答案：BD
解析：对于A，，不存在实数，使得，则与不共线，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，在上的投影向量为，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：BD.
10．答案：AB
解析：A项：设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，
解得，则，，，故的周长为，A正确；
B项：因为，
所以，，故B正确；
C项：因为，所以，由正弦定理得，，C错误；
D项：由余弦定理得，在中，，由余弦定理得，解得，D错误.
故选：AB．
11．答案：AD
解析：对于A选项，如图，若，则，所以，又，所以，所以O，A，B，C四点在同一个圆上，故A正确；
对于B选项，若，由A选项知，O，A，B，C四点在同一个圆上，
又，则其长度为圆上弦的长度.当线段为该圆的直径时，最大，且最大值等于，故B错误；
对于C选项，由题可得A，B，C均在以O为圆心、1为半径的圆上，
设，，又，则
.其中.
则
，
当时取等号.故C错误.
对于D选项，由C选项分析结合可知.
又，则
，
则由重要不等式有：.
得，当且仅当时取等号.故D正确.
故选：AD.
12．答案：5
解析：复数的实部与虚部互为相反数，
，解得．
故答案为：5.
13．答案：3
解析：因为，即，
解得，
因为，所以
由余弦定理可得
，当且仅当时取等号，
所以的最大值是3，
故答案为：3.
14．答案：
解析：设D为的中点，E为的中点，如图所示，
则
，
在正三角形中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的最小值为：
.
故答案为：.
15．答案：(1)或
(2)
解析：(1)设，因为，且，
可得，解得，或，，
所以或.
(2)因为，且为单位向量，可得，，
又因为，可得，所以，
则，
因为，所以.
16．答案：(1)；
(2)的周长为8，外接圆的面积为.
解析：(1)由正弦定理得，即，
又因为，所以，
所以，又因为，所以，
所以，.
(2)由正弦定理得，所以外接圆半径，
所以外接圆面积为，
，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的周长的周长为.
17．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：因为，即，
由余弦定理可得，
化简可得，
所以为直角三角形.
(2)由(1)可得c为直角三角形的斜边，
所以两直角边长分别为，，
所以设周长为l，则，
因为，
所以，即时，周长取得最大值，最大值为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为是的角平分线，所以，
在中，根据余弦定理得，
所以，
则，
因为，
所以.
(2)因为，所以，
在中，由正弦定理得，
在四边形中，，
所以，
则.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)中，，，，
由余弦定理得，解得(负值舍去).
(2)以A为坐标原点，以为x轴，以过A且与垂直为y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，设，
由得，由得，
解得(负值舍去)，所以，
又因为边上的中点为M，边上的中点为N，所以，，
所以，，
则，，，
所以，
即与夹角的余弦值为.
(3)因为M为的中点，N为的中点，所以、是的中线，
所以与的交点P是的重心，则，
设，，
则，
因为E、F、P三点共线，所以，得，
又因为，，所以，，，
所以，，
即，所以，
，
所以上下两部分面积之比，
因为，所以，
所以上下两部分图形的面积之比的最小值为.