浙江省丽水、湖州、衢州三地市2024届高三下学期4月二模数学试卷(含答案)

这是一份浙江省丽水、湖州、衢州三地市2024届高三下学期4月二模数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．掷两枚质地均匀的骰子,设“第一枚出现奇数点”,“第二枚出现偶数点”,则A与B的关系为( ).
A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等
2．双曲线的渐近线方程为,则( )
A.B.C.D.2
3．复数满足(i为虚数单位),则的最小值是( )
A.3B.4C.5D.6
4．已知平面向量,满足,若,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
5．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为,且满足,,成等差数列,则( )
A.3B.9C.10D.13
6．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,若对满足的,,有,则( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆,,为左､右焦点,P为椭圆上一点,,直线经过点P.若点关于l的对称点在线段的延长线上,则C的离心率是( )
A.B.C.D.
8．已知正实数,,满足,,,则,,的大小关系是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．有一组样本数据,,,,的平均数是,方差是,极差为R,则下列判断正确的是( )
A.若,,,,,的平均数是,则
B.若,,,,,的极差是,则
C.若方差,则
D.若,则第75百分位数是
10．已知直三棱柱中,且,直线与底面ABC所成角的正弦值为,则( )
A.线段上存在点D,使得
B.线段上存在点D,使得平面平面
C.直三棱柱的体积为
D.点到平面的距离为
11．已知函数的定义域为R,且,,为偶函数,则( )
A.B.为奇函数C.D.
三、填空题
12．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,BC边上的高等于,则的面积是__________,__________.
13．已知圆,若对于任意的,存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n,则__________.
14．已知正四面体的棱长为1,若棱长为a的正方体能整体放入正四面体中,则实数a的最大值为__________.
四、解答题
15．设等差数列的公差为,记是数列的前n项和,若,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,数列的前n项和为,求证:.
16．如图,三棱锥中,,,,E为线段AC的中点.
（1）证明:平面平面ACD;
（2）设,,,求直线CF与平面ABC所成角的正弦值.
17．设函数,.
（1）当时,求函数的单调区间;
（2）若对定义域内任意的实数x,恒有,求实数a的取值范围.(其中是自然对数的底数)
18．已知抛物线,点A,B,C在抛物线E上,且A在x轴上方,B和C在x轴下方(B在C左侧),A,C关于x轴对称,直线AB交x轴于点M,延长线段CB交x轴于点Q,连接QA.
（1）证明:为定值(O为坐标原点);
（2）若点Q的横坐标为,且,求的内切圆的方程.
19．为保护森林公园中的珍稀动物,采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动,该型号监测器能正确识别的概率(即检出概率)为;若该区域没有珍稀动物活动,但监测器认为有珍稀动物活动的概率(即虚警概率)为.已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成监测系统,每台监测器(功能一致)进行独立监测识别,若任意一台监测器识别到珍稀动物活动,则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.
（1）若,.
(i)在该区域有珍稀动物活动的条件下,求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率;
(ii)在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下,求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率(精确到0.001);
（2）若监测系统在监测识别中,当时,恒满足以下两个条件:①若判定有珍稀动物活动时,该区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9;
②若判定没有珍稀动物活动时,该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求的范围(精确到0.001).
(参考数据:)
参考答案
1．答案：C
解析：掷两枚质地均匀的骰子,设“第一枚出现奇数点”,“第二枚出现偶数点”,
事件A与B能同时发生,故事件A与B既不是互斥事件,也不是对立事件,故选项A,B错误;
,,,,
因为,所以A与B独立,故选项C正确;
事件A与B不相等,故选项D错误.
故选:C.
2．答案：D
解析：由题意可得,又,故.
故选:D.
3．答案：B
解析：设,则
所以,
又,
所以,即,
所以对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,
表示复平面内的点到点的距离,
所以的最小值是.
故选:B.
4．答案：D
解析：因为,且,所以,即,
所以,
设与的夹角为,则,因为,
所以,即与的夹角为.
故选:D
5．答案：C
解析：设等比数列的公比为q,因为,,成等差数列,
所以,所以.由题意得,.
所以,解得,所以.
故选:C
6．答案：A
解析：因函数的最小正周期为,
将的图象向右平移个单位后得到函数的图象,
若对满足的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有,
不妨,则,即取得最小值,
当时,,
此时,,,不合题意,
当时,,
此时,,,当,满足题意,
故选:A.
7．答案：B
解析：由直线,且点关于l的对称点在线段的延长线上,
如图所示,可得点M与点关于对称,且,
可得为等边三角形,则,
又PH的倾斜角为,则,所以,
在中,有,,,
又由,可得,
即,
又因为,
,
所以.
故选:B.
8．答案：A
解析：因为,,为正实数,且满足,,,
则,,,
所以,,,
则,,,
令,,
由对勾函数的性质可得在上单调递减,在上单调递增,且,
满足的即为与的交点的横坐标,
满足的即为与的交点的横坐标,
满足的即为与的交点的横坐标,
在同一平面直角坐标系中画出,,,的图象如下所示:
由图可知.
故选:A
9．答案：AC
解析：对于A中,由,
即,所以A正确;
对于B中,例如:若样本数据,可得极差为
此时数据,,,,,的极差为,此时,所以B不正确;
对于C中,由,
若,可得,所以C正确;
对于D中,由,所以数据的75分位数为,所以D不正确.
故选:AC.
10．答案：ABD
解析：在直三棱柱中,底面ABC,
则即为直线与底面ABC所成角,即,
则,
所以
又且,所以,
又底面ABC,底面ABC,所以,
所以,解得,
所以直三棱柱的体积,故C错误;
又底面ABC,,如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
所以,,因为点D在线段,
设,,
则,
若,则,即,解得,
此时D为线段的中点,
故在线段上存在点D,使得,故A正确;
当D为线段中点时,则,,
设平面的法向量为,
则,取,
又,,设平面的法向量为,
则,取,
因为,所以平面平面,
即当D为线段的中点时满足平面平面,故B正确;
又,,,
设平面的法向量为,则,取,
则点到平面的距离,故D正确.
故选:ABD
11．答案：BCD
解析：令,,则有,故,即,
令,则,
即恒成立,故,
又函数的定义域为R,故为奇函数,故B正确;
则,又为偶函数,
故,则,故A错误;,故C正确;
,则,故函数的周期为,
,则,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：,
解析：在中,作,垂足为点D,
则,又,,
在中,,
即,解得,
所以,
在中,,所以,
由正弦定理,,即,可得.
故答案为:;
13．答案：或
解析：圆,
则,解得,
所以圆,即,
由题设,令可得,令可得,
显然两圆相交,则两圆方程作差可得,
由,解得或,
所以直线与圆相交的弦长为,
所以,则.
故答案为:
14．答案：
解析：依题意,由正四面体及正方体的对称性知,要使放入的正方体最大,则正方体的一个底面在正四面体的一个底面内,
令O是正的中心,则底面ABC,而,则,
不妨令放入的正方体的底面在正四面体在内,则正方体中与这个底面相对的
底面正方形所在平面截正四面体所得截面是正三角形,
且这个正方形是正的内接正方形,于是,
显然三棱锥是正四面体,AO与平面EFG的交点是正的中心,
于是,显然,因此,
解得,所以实数a的最大值为.
故答案为:
15．答案：（1）或
（2）证明见解析
解析：（1）由,,得,解得,
由,,所以,所以或,
当时,此时;
当时,此时;
综上可得数列的通项公式为或;
（2）因为,所以,则,
则
,
所以
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,E为线段AC的中点,
所以
因为,,,
所以,
故AB.
又E为线段AC的中点,
所以.
又,DE,平面BED.
所以平面BED
又平面ACD,
所以平面平面ACD.
（2）取DA的中点G,连接EG,BG,
因为EG为中位线,所以,
又,所以.
因为,G为DA的中点,所以.
又,EG,平面BEG,
所以平面BEG,平面BEG,
所以,
因为,E为AC的中点,
所以,
又,AC,平面ACD,
所以平面ACD.
以E为坐标原点,分别以EA,EB,ED所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示
设,,
则,,,
,,
由,解得.
所以.
又平面ABC的法向量.
设直线CF与平面ABC所成角为,则
,
所以直线CF与平面ABC所成角为.
17．答案：（1）单调递减区间为,单调递增区间为
（2）
解析：（1）当时定义域为,
且,
令,则,
所以在上单调递增,
又,所以当时,当时,
所以的单调递减区间为,单调递增区间为;
（2）函数定义域为,
依题意在上恒成立,
设,,则,
设,则恒成立,
所以在上单调递增,
且当时,当时,
所以使得,即,
所以,
则当时,即单调递减,
当时,即单调递增,
所以
,
令,则且,
所以为增函数,
由,所以,
又与均为减函数,所以在上单调递减,
所以当时,
所以实数a的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设直线AB的方程为,,,则,,
由,消去x,得,
,
所以,,
直线BC的方程为,化简得,
令,得,所以
因此.
（2）因为点Q的横坐标为,由（1）可知,,,
设QA交抛物线于D,,,,,如图所示
又由（1）知,,同理可得,得,
又,
,
又,,
则,
故结合,得.
所以直线AB的方程为,
又,
则,
所以直线AD的方程为,
设圆心,
因为QM为的平分线,故点T到直线AB和直线AD的距离相等,
所以,因为,解得,
故圆T的半径,
因此圆T的方程为.
19．答案：（1）(i);
(ii)
（2）
解析：（1）记事件A为“监测系统判定指定区域有珍稀动物活动”,事件B为“监测区域实际上有珍稀动物活动”,
(i);
(ii)
,
则
;
（2）,
,
由题意可得,即,
令,,得,,故,,
即,即,则,
因为,所以,所以,
故,即,所以,
故.