圆锥曲线-北京市部分区2024届高三下学期一模数学试题分类汇编

这是一份圆锥曲线-北京市部分区2024届高三下学期一模数学试题分类汇编，共31页。试卷主要包含了综合运用，抛物线，双曲线，椭圆等内容，欢迎下载使用。
一、综合运用
1．（2024·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，已知两点．若曲线C上存在一点P，使，则称曲线C为“合作曲线”，给出下列曲线：①；②；③．其中“合作曲线”是（ ）
A．①②B．②③C．①D．②
2．（2024·北京延庆·一模）已知在正方体中，，是正方形内的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·北京石景山·一模）对于曲线，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线与曲线有四个交点．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、抛物线
4．（2024·北京延庆·一模）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·北京西城·一模）已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·北京平谷·零模）已知抛物线C：的焦点为F，O是坐标原点，点M在C上．若，则=（ ）
A．B．C．D．4
7．（2024·北京朝阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线方程为，则 ；设为原点，点在抛物线上，若，则 .
8．（2024·北京东城·一模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点；且，则 .
9．（2024·北京门头沟·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则到直线的距离为： ．
10．（2024·北京丰台·一模）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 ．
三、双曲线
11．（2024·北京东城·一模）已知双曲线的离心率为2，则（ ）
A．3B．C．D．
12．（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·北京朝阳·一模）已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024·北京丰台·一模）已知双曲线（）的离心率为，则（ ）
A．2B．C．D．
16．（2024·北京房山·一模）双曲线的离心率是 ．
17．（2024·北京西城·一模）双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ．
18．（2024·北京平谷·零模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则= ；双曲线C的渐近线方程为
19．（2024·北京平谷·零模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则＝ ；双曲线的渐近线方程为
20．（2024·北京延庆·一模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ．
四、椭圆
21．（2024·北京房山·一模）已知椭圆的离心率为，左焦点为，过的直线交椭圆于、两点，点为弦的中点，是坐标原点，且由于不与，重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是延长线上一点，且的长度为，求四边形面积的取值范围．
22．（2024·北京海淀·一模）已知椭圆的离心率为分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.
(1)求m的值及点的坐标；
(2)设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线上，且，直线与x轴交于点M.比较与的大小.
23．（2024·北京朝阳·一模）已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为.
(1)求E的方程；
(2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等.
（i）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
24．（2024·北京西城·一模）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：．
25．（2024·北京东城·一模）已知椭圆的短轴长为，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.
26．（2024·北京延庆·一模）已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，，分别是的左、右顶点．
(1)求的方程；
(2)设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：．
27．（2024·北京门头沟·一模）已知椭圆 的离心率为， 椭圆 的上顶点为A， 右顶点为 ， 点 为坐标原点， 的面积为 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 且不过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 直线 与直线 交于点 ， 试判断直线 的斜率是否为定值？ 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由．
28．（2024·北京石景山·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内的点，直线交椭圆于两点．若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
29．（2024·北京丰台·一模）已知椭圆()的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为．是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2024·北京平谷·零模）已知椭圆E：过点，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．
参考答案：
1．A
【详解】设点，则，
由可得，即，
即曲线上存在点，使得，即为“合作曲线”，
对于①，由双曲线可得，
则双曲线上存在点满足，故①为“合作曲线”；
对于②，由椭圆可得，
则椭圆上存在点满足，故②为“合作曲线”；
对于③，因为圆心到直线的结论，
故直线上不存在一点满足，故③不为“合作曲线”；
故选：A
2．A
【详解】如图，连接，则，

如图，在平面上，分别以为轴建立平面直角坐标系，

则，设，
由，得，
即，整理得，
设直线与交于点，
则点在内部(含边界)，即满足条件的点构成的图形为及其内部，
易知，∴，
∴．
故选：A．
3．C
【分析】
分析两个曲线的对称性，并结合函数的图象和性质，利用数形结合，即可判断①③，利用基本不等式，即可判断②.
【详解】①将曲线中的换成，将换成，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于轴和轴对称，故①正确；
②设曲线上任一点为
，
当，即时，等号成立，
所以，曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于2，故②正确；
③曲线中的换成，将换成，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于轴和轴对称，并且将换成，换成，方程不变，所以曲线也关于对称，
曲线中，且，将曲线中的换成，换成，方程不变，所以曲线也关于对称，
当时，联立，得，
当时，，当时，函数单调递减，
因为，所以点在直线的下方，如图，在第一象限有2个交点，
根据两个曲线的对称性可知，其他象限也是2个交点，则共有8个交点，故③错误；
故选：C
4．B
【详解】由抛物线可知，准线方程为，
因为到直线的距离为，
所以到抛物线准线的距离为，
由抛物线定义知，.
故选：B
5．C
【详解】因为抛物线与抛物线关于直线对称，
所以将互换后可得抛物线方程为，即，
所以的准线方程为，
故选：C.
6．A
【详解】设，则，
由C：得，即，则，解得，
于是，即，则.
所以.
故选：A.
7． /0.5
【详解】由抛物线准线方程为，故，
则，，由在抛物线上，
故，
由，可得，
即，即.
故答案为：；.
8．
【详解】由抛物线，可得，
设，
则，
故，所以，
所以.

故答案为：；.
9．4
【详解】由点在上，的焦点为，准线为，知到直线的距离等于.
而，故到直线的距离为.
设的坐标为，由到直线的距离为，知，所以或.而，故.
所以到直线的距离为.
故答案为：.
10．
【详解】由抛物线方程知：；
设，由抛物线定义知：，，
线段的中点到轴的距离为.
故答案为：.
11．B
【详解】由双曲线可得：，
，所以，
故选：B.
12．D
【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又，
所以，得到，所以双曲线的方程为，
故选：D.
13．C
【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为，
当时，，即，又，
因为M是线段的中点，所以，得，
所以，即，
所以C的渐近线方程为.
故选：C.

14．C
【详解】由题意知，双曲线的焦点在轴上，
设双曲线的方程为，
因为双曲线C经过点，所以，
因为，所以，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C
15．B
【详解】双曲线（）中，所以，
则离心率，解得，所以（负值舍去）.
故选：B
16．
【详解】由双曲线可得：，
所以双曲线的离心率是.
故答案为：.
17．
【详解】由，故其渐近线方程为；
令，由题意可得，即有，解得，
故，即.
故答案为：；.

18．
【详解】双曲线C：过点，则，解得，
显然点在双曲线C：的左支上，而实半轴长，虚半轴长，
所以，双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：；
19．
【详解】由题意将代入双曲线方程得，解得，
所以双曲线方程为，又因为点在双曲线左支上，
所以；
所以渐近线方程为.
故答案为：；.
20．
【详解】因为，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
21．(1) (2)
【详解】（1）
因为，得；又，所以，所以；
所以，所以椭圆的方程为.
（2）设过的直线为，与椭圆两交点坐标分别为，，
由于不与，重合，可知直线的斜率存在且不为，
根据已知条件设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，
整理有；
，即，整理有：恒成立；
根据韦达定理：，；
因为为弦的中点，所以；
因为在直线上，所以，解得，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
化为一般式为：；
设到直线的距离为，点到直线的距离也为，
因为为弦的中点，由点到直线距离公式有：
，因为、位于两侧，
所以，
所以，
又因为，
所以，
设四边形面积为，
根据题意有：，
因为，所以.
所以，所以.
所以四边形面积的取值范围是.
22．(1)， (2)
【详解】（1）由，即，
由题意可得，故，解得，
故，则，故；
（2）设，，，有，
由，则有，即，
由，故有，
即有
，
由可得、，
则，
，
则，
由，故，
即.
23．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点
【详解】（1）当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为，
则，得，，
所以椭圆的方程为；
（2）（ⅰ）设， ，
，，
由题意可知，，，即，
所以；

（ⅱ）假设存在点，使得，
因为，，，
所以，，，
则，
由（ⅰ）可知，，又，所以三点共线，
如图，
则，所以，
则点与点重合，这与已知矛盾，
所以不存在点，使.
24．(1) (2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．
则，直线的方程为，
由，得，
由，得，
设，则，
直线的方程为，
联立直线和得，
解得，
同理可得，
所以，
因为
，
所以，即点和点关于原点对称，
所以．
25．(1) (2)
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）当圆的切线斜率不存在时，切线方程为，
当切线方程为时，由椭圆的对称性可得，
因为，所以点不在椭圆上，不符题意，
当切线方程为时，由椭圆的对称性可得，
因为，所以点不在椭圆上，不符题意，
所以切线的斜率存在，设切线方程为，
则，所以①，
联立，整理得，
则，
解得，
设，则，
故，
所以线段的中点坐标为，
因为四边形为平行四边形，所以，
又因为点在椭圆上，
所以②，
将①代入②得，解得，
所以，
所以
，
所以.
26．(1) (2)证明见解析.
【详解】（1）由题设，，解得．
所以的方程为．
（2）
因为椭圆的方程为，所以，
设直线的方程为，其中．
由，化简并整理得，，
由可得，由韦达定理有，
所以，即．
直线的方程为，即．
由 得．
直线的方程为，即．
直线的方程为，即．
由 得．
因为，所以．
27．(1) (2)CN的斜率为定值1，理由见详解.
【详解】（1）由已知可得解得，所以椭圆E的方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，不妨设此时
，则，则直线NC的斜率为.
当直线的斜率存在时，设其方程为，设
则直线MQ的方程为，令，得，
由消去得：，
由于点P在椭圆内，则必有，则
所以
所以，所以CN的斜率为定值1.

28．(1) (2)，理由见解析
【详解】（1）
由条件可知，，解得：，，，
所以椭圆的方程为；
（2）设直线，联立
，得，（*）
，
整理为，解得：或，
由题意结合图形可知，，所以，
当时，代回（*）得，即，，
所以点的坐标为，，所以
设直线，联立，，，
，得，（*）
，
整理为，解得：，
，，
，，
，
，即，解得：（舍去），
即，则直线的斜率为，
而，所以.
29．(1)； (2)存在，.
【详解】（1）由题意得解得
∴椭圆的方程为．
（2）若存在定点，使得，等价于以为直径的圆恒过定点．
当直线的斜率不存在时，为直径的圆的方程为①，
当直线的斜率为0时，令，得，
因此为直径的圆的方程为②．
联立①②，得猜测点的坐标为．
设直线的方程为，
由得．
设，则
∴
综上，存在定点，使得．
30．(1)(2)证明见解析
【详解】（1）
由题意得
解得，．
所以椭圆E的方程是．
（2）
椭圆E的右焦点F的坐标为，
由题意，设直线l的方程为．
，整理得．
因为，
所以，设直线l交椭圆E于点，，
则，．
由直线l的方程，令，解得，
所以，．
所以直线AQ的方程为，．
令，解得，所以．
直线BQ的方程为，．
令，解得，所以．
．
由于，．
则
，
所以线段CD的中点为F．