计数原理及概率分布列——北京市部分区2024届高三下学期一模数学试题分类汇编

这是一份计数原理及概率分布列——北京市部分区2024届高三下学期一模数学试题分类汇编，共23页。试卷主要包含了计数原理，概率分布列等内容，欢迎下载使用。
一、计数原理
1．（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京石景山·一模）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
3．（2024·北京延庆·一模）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2019·四川内江·二模）的展开式中，常数项为
A．B．
C．D．
5．（18-19高二下·贵州遵义·期末）在二项式的展开式中，的系数为（ ）
A．﹣80B．﹣40C．40D．80
6．（2024·北京门头沟·一模）的展开式中常数项为 (用数字作答)
7．（2021·四川遂宁·三模）在的展开式中，的系数为 (用数字作答)
8．（2024·北京东城·一模）已知，若，则的取值可以为（ ）
A．2B．1C．D．
9．（2024·北京房山·一模）设，则 ；当时， ．
10．（2024·北京海淀·一模）若，则 ； .
二、概率分布列
11．（2024·北京东城·一模）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：

(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.（结论不要求证明）
12．（2024·北京西城·一模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．
(1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
(2)若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；
(3)甲､乙､丙各射击10次，用分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于环的次数，其中．写出一个的值，使．（结论不要求证明）
13．（2024·北京朝阳·一模）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示.
(1)从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率；
(2)从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望；
(3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明）
14．（2024·北京丰台·一模）某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．
(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明）
15．（2024·北京石景山·一模）为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层

表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为，求的分布列和数学期望；
(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）
16．（2024·北京海淀·一模）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
(1)当时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.
17．（2024·北京门头沟·一模）2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、消水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。
(1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
(2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望；
(3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差 的大小关系． (结论不要求证明）．
18．（2024·北京房山·一模）《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，
(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望；
(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：
若丙第6次试跳的成绩为a，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出a的值．（结论不要求证明）
19．（2024·北京平谷·零模）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）
20．（2024·北京延庆·一模）第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：
(1)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；
(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记为看到双人雪橇的次数，求的分布列及期望；
(3)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小明在周六看到单人雪橇，“” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，“”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差，的大小关系．
环数
6环
7环
8环
9环
10环
甲的射出频数
1
1
10
24
24
乙的射出频数
3
2
10
30
15
丙的射出频数
2
4
10
18
26
序号
评委甲评分
评委乙评分
初评得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
81
83
82
7
84
86
85
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73
疱疹面积（单位：）
第1组（只）
3
4
1
2
0
第2组（只）
1
3
2
3
1
植物名称
植物类型
株数
黄栌
乔木幼苗
6
朴树
乔木幼苗
7
栾树
乔木幼苗
4
鹅耳枥
乔木幼苗
7
葎叶蛇葡萄
木质藤本
8
毛樱桃
灌木
9
三裂绣线菊
灌木
11
胡枝子
灌木
10
大花溲疏
灌木
10
丁香
灌木
8
植物名称
植物类型
株数
酸枣
灌木
28
荆条
灌木
41
孩儿拳头
灌木
22
河朔荛花
灌木
4
臭椿
乔木幼苗
1
黑枣
乔木幼苗
1
构树
乔木幼苗
2
元宝槭
乔木幼苗
1
科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
4
10
3
a
2
b
1
23
0
2
项目
斋堂出口
清水出口
安家庄出口
雁翅出口
火村出口
西台子出口
上班
40
8
2
5
3
2
旅游
30
20
10
10
12
8
探亲
16
10
10
5
5
4
项目
国际级运动健将
运动健将
一级运动员
二级运动员
三级运动员
男子跳远
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳远
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
6.50
6.48
6.47
6.51
6.46
6.49
丙
5.84
5.82
5.85
5.83
5.86
a
顾客人数
商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
×
√
217
√
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
√
×
√
×
12月16日
星期六
9:30
单人雪橇第1轮
10:30
单人雪橇第2轮
15:30
双人雪橇第1轮
16:30
双人雪橇第2轮
12月17日
星期日
9:30
单人雪橇第3轮
10:30
单人雪橇第4轮
15:30
团体接力
参考答案：
1．C
【详解】.故选：C.
2．C
【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，
再将商、角插入4个空中的2个，有，所以共有种．故选：C．
3．D
【详解】设，
令，则，故的系数为.
故选：D
4．D
【详解】的展开式的通项为，
令，得到
所以展开式中常数项为，故选D项.
【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题.
5．A
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，
令，可得，
即展开式中的系数为，故选A.
6．
【详解】因为展开式的通项公式为，
令可得，则展开式中的常数项为.故答案为：
7．15
【详解】由二项式的展开式的通项公式，得，令，则，所以系数为，故答案为：15.
8．A
【详解】令，有，即或.故选：A.
9．
【详解】令可得：，
的通项为：，
令可得，令可得，
所以由可得，所以.故答案为：；.
10．
【详解】令，可得，即，
令，可得，即，
令，可得，即，
则，
即，则，
故.故答案为：；.
11．(1) (2)分布列见解析， (3)
【详解】（1），
故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人；
（2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：
，
的可能取值为、、、，
，
，
，
，
则其分布列为：
其期望为：；
（3），理由如下：
这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，
的可能取值为、、，
，
，
，
则，
故.
12．(1)甲进入决赛，理由见解析 (2) (3)或8
【详解】（1）甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为，
甲射击成绩的总环数为．
因为，
所以用样本来估计总体可得甲进入决赛．
（2）根据题中数据：
“甲命中9环”的概率可估计为；
“甲命中10环”的概率可估计为；
“乙命中9环”的概率可估计为；
“乙命中10环”的概率可估计为．
所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：
（3）或8．
根据题中数据：
当时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为；
由题意可知：，，.
此时，，，
不满足.
当时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为；
由题意可知：，，.
此时，，，
满足.
当时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为；
由题意可知：，，.
此时，，，
满足.
当时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为；
由题意可知：，，.
此时，，，
不满足.
所以或8．
13．(1) (2)分布列见解析， (3)相同
【详解】（1）设事件为从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过，
又在这10篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的有篇，
所以；
（2）由已知的可能取值为，，，
，，
所以的分布列为
所以的数学期望为；
（3）根据数据序号为2的论文初评得分排名为第，
由已知，
，
明显序号为7的论文甲乙两评委评分均最高，故初评得分排名为第，标准化得分排名仍然为第，
现在就看初评得分排名为第的序号为的论文其标准化得分排名是否会发生变化，
根据表中数据观察可得评委甲的评分波动大，故，
所以，即，
所以序号为2的论文标准化得分排名为第，
所以序号为2的论文的两种排名结果相同.
14．(1) (2)分布列见解析， (3)
【详解】（1）记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于为事件，
其中从第1组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，
从第组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，
所以.
（2）依题意的可能取值为、、，
且，，，
所以的分布列为：
所以.
（3）依题意可得，，
所以，所以，
又，，
所以，
所以，
所以.
15．(1)； (2)分布列见解析，期望 (3)
【详解】（1）
表1中的灌木有株，
乔木幼苗有株，共有100株，
所以，
所以求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率为；
（2）
表2中的灌木有株，
乔木幼苗有株，木质藤本有8株，
抽取1株是灌木的概率为，
由题意可知，,
，，
，，
分布列如下，
；
（3）表1中植物间的数量差距较大，表2中每种植物的数量差不多，
所以选出来不同种类，表2的概率更大，所以.
16．(1)（i）；（ⅱ）； (2)7.
【详解】（1）当时，
（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，
则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为.
（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，
所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，
同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，
的所有可能值为6，7，8，
，，，
所以的数学期望.
（2）由表知，，则，
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，
100名学生科普测试成绩的平均值记为，要恒成立，当且仅当，
显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此，则，解得，
所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7.
17．(1) (2)见详解 (3)
【详解】（1）解：样本中被调查的居民人数为200，
其中利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数为10，
所以该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率为：，
（2）解：从样本中所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为；
从样本中所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为，
由题设，的所有可能取值为0，1，2，3.
,
，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
所以X的数学期望.
（3）解：
18．(1) (2) (3)或.
【详解】（1）甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，
用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为；
（2）设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件，
以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有，，，
X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，
则X可能的取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
估计X的数学期望；
（3）甲的6次试跳成绩从小到大排列为：，
设这6次试跳成绩依次从小到大为，
丙的5次试跳成绩从小到大排列为：，
设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为，
当时，满足，成立；
当时，满足，成立.
所以或.
19．(1) (2)0.1176 (3)丙的可能性最大
【详解】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品有（位）.
所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为．
（2）设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客购买一种商品，事件C：顾客购买了三种商品．
从统计表可以看出，顾客购买了两种商品有（位）；顾客购买一种商品有（位）；顾客购买了三种商品（位）；
所以可估计为，可估计为，可估计为．
依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为：
．
因此所求的概率可估计为0.1176．
（3）因为在这1000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率可以估计为；
顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率可以估计为．
所以该顾客购买丙的可能性最大.
20．(1) (2)分布列见解析， (3)
【详解】（1）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件.
由表可知，每天随机观看一场比赛，共有种不同方法，
其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有种不同方法．
所以．
（2）随机变量的所有可能取值为．
根据题意，，
，
．
随机变量的分布列是：
数学期望．
（3）由题意，，，
所以，；
因为，，
所以，；
所以.
0
1
2
3
0
1
2
3