新高考艺术生40天突破数学90分讲义第11讲导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第11讲导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题(原卷版+解析)，共31页。

一、证明不等式常用的方法和思路
作差构造函数，转化为最值问题
二、不等式恒成立问题常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
三、零点问题常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．
（1）求的值；
（2）证明：．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的函数
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
例3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求c的取值范围.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
例5．（2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知函数（）
（1）求在处的切线方程；
（2）当有3个零点时，求的取值范围．
例6．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））已知函数.
（1）若，求曲线在处切线的方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
例7．（2020·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））已知，函数.
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值；
（2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围．
【技能提升训练】
1．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））已知函数在处的极值为2，其中．
（1）求，的值；
（2）对任意的，证明恒有．
2．（2021·新疆师范大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行．
（1）求的值；
（2）求证：在上恒成立．
3．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数.
（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（2）若且，求证：.
4．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，证明：．
5．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三阶段练习（理））已知函数（a是常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，求a的取值范围；
6．（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
7．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：时，当恒成立.
8．（2019·山西省平遥中学校高三阶段练习（理））已知.
（1）求的单调区间；
（2）若存在使成立，求实数的取值范围.
9．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））已知函数在处取得极值.
（1）求在上的最小值；
（2）若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.
10．（2021·安徽安庆·一模（理））函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）当时，求函数的零点个数.
11．（2019·山东日照·高三期中（理））已知函数．
(1)证明：当恒成立；
(2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．
12．（2020·江西·南昌市第三中学高三阶段练习）已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相垂直，记.
（1）求实数k的值；
（2）若方程有两个不相等实根，求的取值范围；
（3）讨论函数的单调性.
13．（2020·全国·高三专题练习（文））已知函数在点 处的切线方程为.
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点可做曲线 的三条切线，求实数m的取值范围.
14．（2021·陕西·西安一中高三期中（文））已知函数.
（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）记的两个极值点为，，求证：.
15．（2022·全国·高三专题练习（文））证明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．
16．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围.
17．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数（是正常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，，求的取值范围；
18．（2021·福建省龙岩第一中学高三期中）已知函数的图像在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，证明：对恒成立.
第11讲 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题
【知识点总结】
一、证明不等式常用的方法和思路
作差构造函数，转化为最值问题
二、不等式恒成立问题常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
三、零点问题常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．
（1）求的值；
（2）证明：．
【详解】
解：（1）因为，所以，
，解得．
（2）由（1）可得
即证．
令，，于是在上是减函数，在上是增函数，所以（取等号）．
又令，则，于是在上是增函数，在上是减函数，所以（时取等号）．
所以，即．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的函数
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
【详解】
（1）由得
知当时在上单调递减
当时，
当时在上单调递增，
当时在上单调递减.
（2）由（1）知时在上单调递减，在上单调递增，
，即有，
，
以上各式相加得，
例3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求c的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，.
令，解得或，
当，即或；当，即，.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，.
所以，时，有极大值，.
当时，有极小值.
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，.
又，，.
所以时，，.
因为对任意的都有成立，所以.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
【详解】
解：（1）当时，，
∴，，
∴切线方程为，
即
（2）∵，
∴原条件等价于：在上，恒成立.
化为
令，
则
令，则
在上，，
∴在上，
故在上，；在上，
∴的最小值为，∴
例5．（2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知函数（）
（1）求在处的切线方程；
（2）当有3个零点时，求的取值范围．
【详解】
（1），切点为.
，，
所以切线方程为：.
（2），
令，解得，.
，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
所以的极大值为，极小值为.
因为有个零点时，所以，解得.
例6．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））已知函数.
（1）若，求曲线在处切线的方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
【详解】
（1）由已知，
，
曲线在处切线方程为，即.
（2）.
①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为，无单调递减区间.
②当时，由，得.
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由已知，转化为，
由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，
解得.
例7．（2020·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））已知，函数.
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值；
（2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围．
【详解】
（1）,依题意有
,且,可得,解得,或.
（2）.不妨设,
等价于.设,则对任意的,且,
都有,等价于在上是增函数.
,可得,依题意有, 对任意,
有恒成立. 由,可得.
【技能提升训练】
1．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））已知函数在处的极值为2，其中．
（1）求，的值；
（2）对任意的，证明恒有．
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解.
（2）由于，要证不等式成立，转化为求解在时的最值，结合导数分析函数性质即可求解.
【详解】
（1），
由题意可得，
解得.
（2），
令，，
则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减且，
所以时，，
所以，即证.
2．（2021·新疆师范大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行．
（1）求的值；
（2）求证：在上恒成立．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；
（2）转化为证，构造函数，结合导数分析函数的性质，可证．
【详解】
解：（1）因为，
所以，，
由题意得，
所以，解得；
证明（2），
令，，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，取得最小值，
所以，
故，
所以．
3．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数.
（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（2）若且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）函数在定义域内为增函数，则恒成立，分离参变量，利用基本不等式得出最值，可得实数的取值范围；
（2）要证，即证：，构造，，分别利用导数判断出单调性和最值，即可得原命题成立．
【详解】
（1）函数的定义域为，，又在定义域内为增函数，
则恒成立，即恒成立，即，
又当时，，当且仅当时等号成立，∴，
即实数的取值范围是；
（2）∵，则，要证，
即证：，
设，其中，则，当时，
故在为增函数，∴，
设，其中，
则当时，，又，∴，
则，∴恒成立，即原不等式成立.
4．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，证明：．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）分，进行讨论，再利用导数研究函数的单调性即可求解；
（Ⅱ）由结合（Ⅰ）可得，构造新函数，利用导数研究函数的单调性即可得证．
【详解】
（Ⅰ）由题可知，．
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，令，解得．
当时，，在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．
综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：若，则由（Ⅰ）可知，在处取得极大值，
．
令．，，
函数在上单调递减．
又，，
．
【点睛】
关键点点睛：第（Ⅱ）问的关键点是：通过构造函数证得.
5．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三阶段练习（理））已知函数（a是常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，求a的取值范围；
【答案】
（1）在上单调递增，在上单调递减，极小值是，无极大值
（2）
【分析】
（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）参变分离可得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得解；
（1）
解：当时，，定义域为，
，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值是，无极大值.
（2）
解：因为，即.
设，可得，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即.
6．（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）对求导，根据极值点列方程组求参数即可.
（2）由（1）有，进而判断的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围.
【详解】
（1）由题设，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
当时，，随的变化情况如下表：
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，
要使对任意恒成立，则只需，解得或，
∴实数的取值范围为．
7．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：时，当恒成立.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数研究的单调性即可.
（2）由分析法：只需证即可，构造，利用导数证明结论得证.
【详解】
（1）函数的定义域为，当时，，
∴，，
∴当或时，，在，单调递减，
当时，， 在单调递增.
故的单调递增区间为，单调递减区间为，.
（2）要证，只需证，
∵，，
∴，
设，则，
∴在单调递增，，
∴，得证.
8．（2019·山西省平遥中学校高三阶段练习（理））已知.
（1）求的单调区间；
（2）若存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的递减区间为，递增区间为；（2）.
【分析】
（1）求函数的定义域和导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
（2）根据存在性问题转化为求，结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵，∴
∴.
则当，即时，；
当，即时，，
∴的递减区间为，递增区间为.
（2）若存在使成立，则，
由（1）可知.
∴.
【点睛】
本题主要考查函数单调性的应用，结合函数单调性，最值和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键．
9．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））已知函数在处取得极值.
（1）求在上的最小值；
（2）若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值；
（2）依题意有唯一解，即函数与只有1个交点，由（1）可得函数的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；
（1）
解：因为，所以，
在处取得极值，，即解得，
，所以，所以当或时，当时，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
在上的最小值为.
（2）
解：由（1）知，，
若函数有且只有一个零点，
则方程有唯一解，即有唯一解，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
又，函数图象如下所示：
或，得或，
即b的取值范围为.
10．（2021·安徽安庆·一模（理））函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）当时，求函数的零点个数.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）求得，分和两种情况，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；
（2）由（1）得到当时，的单调性和极小值，结合与的关系，三种情况讨论，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得，
当时，，在上为单调增函数，此时无极值；
当时，令，解得，
所以在上为单调增函数，
令，解得，在上为单调减函数，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
综上所述：
当时，无极值，
当时，，无极大值.
（2）由（1）知当时，在上为单调增函数，在上为单调减函数，且，
又由，若时，；
若时，；
当，即时，无零点；
当，即时，有1个零点；
当，即时，有2个零点.
综上：当时，无零点；
当时，有1个零点；
当时，有2个零点.
11．（2019·山东日照·高三期中（理））已知函数．
(1)证明：当恒成立；
(2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）或
【分析】
（1）令，要证在上恒成立，只需证，；
（2）函数，定义域为，．对a分类讨论，研究函数的单调性及最值，以确定图象与x轴的交点情况.
【详解】
（1）证明：令，
要证在上恒成立，
只需证，，
因为，
所以.
令，
则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，
所以，，
故在上恒成立.
（2）函数，定义域为，
．
①当时，无零点.
②当时，，所以在上单调递增，
取，则，（或：因为且时，所以．）
因为，所以，此时函数有一个零点．
③当时，令，解得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
所以 .
若，即时，
取，，即函数在区间上存在一个零点；
当时，因为，所以，
则有，，必然存在 ，使得，即函数在区间存在一个零点；
故当时，函数在上有两个零点，不符合题意.……11分
所以当时，要使函数有一个零点，必有，
即．
综上所述，若函数恰有一个零点，则或.
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．（2020·江西·南昌市第三中学高三阶段练习）已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相垂直，记.
（1）求实数k的值；
（2）若方程有两个不相等实根，求的取值范围；
（3）讨论函数的单调性.
【答案】（1）1；（2）；（3）在上单调递减.
【分析】
（1）求出两函数的导函数，根据即可求解.
（2）利用导数判断函数的单调性，进而可得的值域，从而可得，
（3）求出，再求导函数，判断的符号即可求解.
【详解】
（1），，
由题意得，，即，∴
（2）由，可知在上单调递减，在上单调递增，
当时 ，有最小值，
又时，；时，，
函数的大致图像，如图：
若方程有两个不相等实根，则有.
（3）由（1）可知，，，
，，
易知，当时，单调递增，
当时，，单调递减，
所以
即恒成立，所以在上单调递减.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程的根，解题的关键是求出函数的值域、单调性，作出函数的大致图像，考查了转化与划归的思想.
13．（2020·全国·高三专题练习（文））已知函数在点 处的切线方程为.
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点可做曲线 的三条切线，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据切线方程可知和，由此构造方程组求得；
（2）将问题转化为与有三个不同的交点，利用导数可得到的图象，利用数形结合的方式可求得结果.
【详解】
（1）由切线方程知：，，又，
，解得：.
（2）由（1）知：，则，
，不在上，
又，可知切点横坐标不为，
设切点坐标为，，
则切线斜率，整理得：，
过可作三条不同的切线，有三个不为的解；
令，则，
当和时，；
当时，，
在和上单调递减，在上单调递增，
由此可得图象如下图所示：
有三个不为的解等价于与有三个不同的交点，
由图象可知：，
实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到根据切线方程求解函数解析式、根据过某一点曲线切线的个数求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.
14．（2021·陕西·西安一中高三期中（文））已知函数.
（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）记的两个极值点为，，求证：.
【答案】
（1）；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）对求导得，由题设将问题转化为()恒成立，即可求a的取值范围；
（2）由（1）有，是的两个根，应用根与系数关系易得，，进而可得，即可证结论.
（1）
的定义域为，，又单调，
∴对恒成立，即()恒成立，
而，当且仅当时取等号，
∴.
（2）
由（1）知：，是的两个根，则，，且，
∴，故，
，而，
∴，得证.
15．（2022·全国·高三专题练习（文））证明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．
【答案】证明见解析
【分析】
构造f(x)＝ex－x－1(x≥0)，利用导数判断f(x)的单调性，求得最小值，即可得证；构造g(x)＝x－sinx(x≥0)，利用导数判断g(x)的单调性，求得最小值，即可得证；
【详解】
证明：令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，
∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，
令g(x)＝x－sinx(x≥0)，则g′(x)＝1－csx≥0，
∴g(x)≥g(0)，而g(0)=0，
∴x－sinx≥0，
∴x＋1≥sinx＋1(x≥0)，
综上，ex≥x＋1≥sinx＋1．
16．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】.
【分析】
对函数求导得，利用给定单调性列出恒成立的不等式即可推理作答.
【详解】
定义域为，
由得，
因函数在定义域上单调递增，
于是得在恒成立，
即在恒成立，
而，
当且仅当，即时取“=”，则，
所以实数a的取值范围是.
17．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数（是正常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，，求的取值范围；
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，的极大值是，无极小值；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得，设，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值是，无极小值.
（2）因为，，即恒成立，即.
设，可得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.
18．（2021·福建省龙岩第一中学高三期中）已知函数的图像在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，证明：对恒成立.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数的几何意义，先由求出的值，再由求出的值，
（2）要证对恒成立，只需证对恒成立，所以构造函数（），然后利用导数求出其最大值小于零即可
【详解】
（1）解：因为，
所以，
解得，
则，解得.
（2）证明：因为，所以要证对恒成立，
只需证对恒成立.
设函数（），
则.
因为，所以，
所以在上单调递减，
从而，
则对恒成立，
故当时，对恒成立.
1
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增