新高考艺术生40天突破数学90分讲义第13讲基本不等式(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第13讲基本不等式(原卷版+解析)，共24页。

1. 几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则 (当且仅当“”时取“”).
特例：同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2. 均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
【典型例题】
例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
例4．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则的取值范围是（ ）
A．，B．C．，D．
例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在时取得最小值，则等于（ ）
A．6B．8C．16D．36
2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；
D．如果，，那么．
3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．-1
5．（2022·全国·高三专题练习）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥8
7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．10D．16
8．（2022·全国·高三专题练习）设均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．8B．16C．9D．6
9．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2022·浙江·高三专题练习）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
14．（2022·全国·高三专题练习）若，则的最大值是 _______
15．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最大值是________．
16．（2022·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.
17．（2022·全国·高三专题练习）当时，的最小值为______．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最小值为_________
19．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为______．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为___________.
21．（2022·上海·高三专题练习）若，则的最小值为____________．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是________．
23．（2022·全国·高三专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是__________．
24．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是_______．
25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知实数满足，则的最大值为___________.
26．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.
第13讲 基本不等式
【知识点总结】
1. 几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则 (当且仅当“”时取“”).
特例：同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2. 均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
【典型例题】
例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：，
又，
，令，
则，
，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．
故选：A．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【详解】
由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝，
代入得a＋b＋c＝a＋b＋＝＋≥2＋2＝8，
当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
所以a＋b＋c的最小值为8.
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则的取值范围是（ ）
A．，B．C．，D．
【答案】A
【详解】
因为，
所以，
即，当且仅当，即时取“”，
所以的取值范围是，.
故选：A.
例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【详解】
∵点在直线上，
∴，
所以
当且仅当时，等号成立
故选：C.
例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.
故选：A
例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】
由，可得，
，
当且仅当且，即时等号成立．
故选：C．
例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
解：因为，所以，
即，则，
所以，又，所以，所以最大为3.
故选：C.
例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
因为、，由已知可得，
因为，当且仅当时等号成立，
故实数的取值范围为，
故选：D．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在时取得最小值，则等于（ ）
A．6B．8C．16D．36
【答案】D
【分析】
利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可
【详解】
因为，故，当且仅当，即时取等号，故
故选：D
【点睛】
均值不等式：
一正：，二定：为定值，三相等：当且仅当时等号成立
2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；
D．如果，，那么．
【答案】C
【分析】
设图中直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.
【详解】
设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.
图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.
由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以，当且仅当时，等号成立.
故选：C.
3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有，即可确定C的正误.
【详解】
A：当时，有，故不等式不一定成立；
B：当，即时，有，故不等式不一定成立；
C：恒成立；
D：当时，有，故不等式不一定成立；
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．-1
【答案】D
【分析】
将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；
【详解】
，
当且仅当,即等号成立.
故选：D.
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.
5．（2022·全国·高三专题练习）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【分析】
构造基本不等式即可得结果.
【详解】
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥8
【答案】A
【分析】
由题意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立⇔m2+7m＜（）min，即可求得实数m的取值范围．
【详解】
解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），
∵不等式m2+7m成立，
∴m2+7m≤8，
求得﹣8≤m≤1．
故选：A．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．10D．16
【答案】B
【分析】
根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.
【详解】
由，可得，
当且仅当取等号，
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）设均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．8B．16C．9D．6
【答案】A
【分析】
根据题中条件，将所求式子化为，展开后，再利用基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为均为正实数，
所以，当且仅当，即时取等号.
因此的最小值为.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
将已知条件化简得到，然后将变换成，然后化简整理结合均值不等式求解即可.
【详解】
由，有，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求得实数的取值范围即可.
【详解】
∵正数满足，
∴，，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴，即对任意实数恒成立，
∴，解得．
故选：A．
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
11．（2022·全国·高三专题练习）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由得，再利用基本等式“1”的代换进行求解.
【详解】
由得，
，
当且仅当，即时取等号，
故选：D.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
二、多选题
12．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】
利用基本不等式逐一判断四个选项的正误即可得正确答案.
【详解】
对于选项A：，所以，当且仅当时等号成立，故选项A正确；
对于选项B：，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故选项B不正确；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：因为，所以，，当且仅当时等号成立，故选项D正确；
故选：ACD
三、填空题
13．（2022·浙江·高三专题练习）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
【答案】④
【分析】
结合基本不等式进行逐个判定，①③直接利用基本不等式可判定正误，②④通过变形可得正误.
【详解】
因为（当且仅当a＝b时，等号成立），
即≤2，ab≤4，，故①③不成立；
，故②不成立；
故④成立.
故答案为：④.
14．（2022·全国·高三专题练习）若，则的最大值是 _______
【答案】
【分析】
即可求得最值.
【详解】
，故，则，
当且仅当即时取“=”，
故答案为：.
15．（2022·全国·高三专题练习）若正数满足，则的最大值是________．
【答案】2
【分析】
利用基本不等式进行转化即可得解.
【详解】
由，得 ，
当且仅当时等号成立，
∴ ，即，
∴ 的最大值为．
故答案为：2
16．（2022·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.
【答案】
【分析】
根据指数函数的图像性质求出A点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解.
【详解】
解：函数（且）的图象恒过定点A，
，
点A在直线上，
，
又，，
，
，当且仅当，即时等号成立，
所以mn的最大值为，
故答案为：.
17．（2022·全国·高三专题练习）当时，的最小值为______．
【答案】
【分析】
将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最小值为_________
【答案】
【分析】
将展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为______．
【答案】18
【分析】
等式变形为，则根据基本不等式即可得到答案．
【详解】
解：已知，，且．
，即：．
则，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为18．
故答案为：18．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
首先根据题意得到，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
由得，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
21．（2022·上海·高三专题练习）若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】
两次利用基本不等式即可求出.
【详解】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是________．
【答案】
【分析】
将函数的解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值.
【详解】
当时，，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，函数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解函数的最小值，解答的关键就是对函数解析式进行化简变形，考查计算能力，属于基础题.
23．（2022·全国·高三专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是__________．
【答案】8
【详解】
解：由题意可得： ，则：
，
当且仅当 时等号成立，即：的最小值是8.
点睛：应用基本不等式要有两个防范意识：一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2，，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
24．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是_______．
【答案】
【分析】
将函数进行化简，得到，分别对和，利用基本不等式，得到答案.
【详解】
函数
，
当，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为，
故答案为.
【点睛】
本题考查求具体函数的值域，属于简单题.
25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知实数满足，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】
利用基本不等式，即可求解.
【详解】
解：
，
即，(当且仅当，即时，取等号)
故答案为：
26．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.
【答案】4 48
【分析】
设，则，则，结合基本不等式即可得解.
【详解】
解：设，则，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为．
即当时，矩形花坛的面积最小，最小面积为48.
故答案为：4；48.