新高考艺术生40天突破数学90分讲义第14讲等差数列、等比数列基本量(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第14讲等差数列、等比数列基本量(原卷版+解析)，共46页。

一、基本概念
1.数列
(1)定义.
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.
(2)数列与函数的关系.
从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.
2.等差数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.
(2)等差数列的通项公式.
若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().
(3)等差中项.
若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.
(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.
3.等比数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.
(2)等比数列的通项公式.
等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.
(3).
(4)等比中项
如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).
(5)等比数列的前项和
二、基本性质
1.等差数列的性质
(1)等差中项的推广.
当时,则有,特别地,当时,则有.
(2)等差数列线性组合.
①设是等差数列,则也是等差数列.
②设是等差数列,则也是等差数列.
(3)等差数列的单调性及前项和的最值.
公差为递增等差数列,有最小值;
公差为递减等差数列,有最大值;
公差为常数列.
特别地
若,则有最大值(所有正项或非负项之和);
若,则有最小值(所有负项或非正项之和).
(4)其他衍生等差数列.
若已知等差数列,公差为,前项和为,则为等差数列,公差为.
3.等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若时,则,特别地,当时,.
(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.
②设与为等比数列,则也为等比数列.
(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).
当或时,为递增数列;
当或时,为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为(当时,不为偶数).
4.等差数列与等比数列的转化
(1)若为正项等比数列,则为等差数列.
(2)若为等差数列,则为等比数列.
(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．－24B．－3
C．3D．8
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．38B．50C．36D．45
例3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5=（ ）
A．B．C．D．
例5．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
例6．（2019·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时（ ）．
A．2B．14C．7D．6或7
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式：
例10．（2022·全国·高三专题练习）有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.
设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）记等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．3B．2C．－2D．－3
4．（2021·湖北·高三阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．22B．45C．50D．55
5．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））已知数列的前项和，且满足，，若，则（ ）
A．9B．C．10D．
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（ ）
A．20B．22C．24D．8
8．（2022·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
12．（2021·安徽定远·高三阶段练习（理））等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28B．34C．40D．44
14．（2021·广东广州·高三阶段练习）已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·全国·高三专题练习）我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯
16．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．5C．10D．15
17．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为( )
A．1B．C．2D．4
19．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10等于（ ）
A．5B．10C．20D．40
20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝（ ）
A．5B．10C．15D．20
21．（2021·陕西安康·高三期中（理））等比数列的前项和为，，，则（ ）
A．1B．5C．1或31D．5或11
22．（2021·四川·双流中学高三阶段练习（理））已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则（ ）
A．29B．31C．33D．35
23．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三阶段练习（文））记等比数列的前项和为，若，，则公比 （ ）
A．B．C．D．或2
24．（2021·山西运城·高三期中（文））数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
25．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
26．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知为等比数列，且，与的等差中项为，则（ ）
A．1B．2C．31D．
28．（2022·浙江·高三专题练习）已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8B．﹣8C．±8D．
二、多选题
29．（2022·江苏·高三专题练习）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．当时最小D．时的最小值为
三、填空题
30．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，成等差数列，则_______.
31．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.
32．（2022·上海宝山·一模）已知数列的前项和为，且满足，，则___________.
33．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，，，，则______．
34．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和有最小值，且，则使得成立的的最小值是________．
35．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，，，求____
36．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于1的等比数列满足，，则公比等于________.
37．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________．
38．（2021·海南·三亚华侨学校高三阶段练习）若数列为等比数列，且，，则___________.
39．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列中，为其前项之和，，则______
40．（2021·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知等比数列的前n项和，则________．
四、解答题
41．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
42．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，.
（1）证明数列为等差数列；
（2）若数列前n项和，求n的最小值.
43．（2021·江西南昌·模拟预测（文））已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
44．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和
45．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的最大值及取得最大值时的值.
46．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：.证明数列是等比数列，并求数列的通项；
47．（2020·湖南·长沙一中高三阶段练习）数列满足：，．
（1）记，求证：数列为等比数列；
（2）记为数列的前项和，求．
48．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式.
49．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求证：数列{an－bn}为等比数列.
50．（2022·浙江·高三专题练习）已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和.
第14讲 等差数列、等比数列基本量
【知识点总结】
一、基本概念
1.数列
(1)定义.
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.
(2)数列与函数的关系.
从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.
2.等差数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.
(2)等差数列的通项公式.
若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().
(3)等差中项.
若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.
(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.
3.等比数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.
(2)等比数列的通项公式.
等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.
(3).
(4)等比中项
如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).
(5)等比数列的前项和
二、基本性质
1.等差数列的性质
(1)等差中项的推广.
当时,则有,特别地,当时,则有.
(2)等差数列线性组合.
①设是等差数列,则也是等差数列.
②设是等差数列,则也是等差数列.
(3)等差数列的单调性及前项和的最值.
公差为递增等差数列,有最小值;
公差为递减等差数列,有最大值;
公差为常数列.
特别地
若,则有最大值(所有正项或非负项之和);
若,则有最小值(所有负项或非正项之和).
(4)其他衍生等差数列.
若已知等差数列,公差为,前项和为,则为等差数列,公差为.
3.等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若时,则,特别地,当时,.
(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.
②设与为等比数列,则也为等比数列.
(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).
当或时,为递增数列;
当或时,为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为(当时,不为偶数).
4.等差数列与等比数列的转化
(1)若为正项等比数列,则为等差数列.
(2)若为等差数列,则为等比数列.
(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．－24B．－3
C．3D．8
【答案】A
【详解】
根据题意得
，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
解得d＝0(舍去)，d＝－2，
所以数列{an}的前6项和为.
故选：A
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．38B．50C．36D．45
【答案】D
【详解】
．
故选：D
例3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为S3 = a2 +10a1，
所以a2 +a3= a2 +10a1，
即a3= 9a1，即= 9a1，
解得= 9，
又因为a5 = 9，
所以= 9，
解得，
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,
∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
∵S10∶S5=1∶2,即S10=S5,
∴等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为=-.
∴S15-S10=-(S10-S5)=S5.
∴S15=S5+S10=S5.
∴S15∶S5=.
故选：A.
例5．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【详解】
设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
例6．（2019·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时（ ）．
A．2B．14C．7D．6或7
【答案】D
【详解】
设等差数列的公差为，∵，，
∴，，
联立解得：，，
∴，
令，解得．
当取得最小值时或7．
故选：D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
∵，
∴，
故选：A
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．
【详解】
证明：由题知，
得，
所以是以为首项，公差为2的等差数列，
即，
当时，
，
当时，也符合题意，
所以，又
所以.
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式：
【详解】
由点在函数的图象上，
可得，
所以，即，
也即，
由，所以，
所以是首项和公比均为的等比数列，
则，
所以；
例10．（2022·全国·高三专题练习）有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.
设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【详解】
记，从而有().
选择①，数列是公比为的等比数列，
因为，所以，即.
所以，所以.
由，当时，，当时，，
所以当或2时，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，2，使得对任意的，都有.
选择②，方法一：是公差为1的等差数列，
因为，所以，
当时，，
则，
当时，上式成立，
所以.
所以，从而.
由，
所以当时，；当时，，
所以当时，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，使得对任意的，都有.
方法二：利用“夹逼法”，即利用来求解.
，
由()，得，解得.
选择③，方法一：，
则，
从而，
即.
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.
所以，从而，即，
所以数列为单调递增数列，
故不存在，使得对任意的，都有.
方法二：利用求解.
，，
则，
因为，所以不存在，使得对任意的，都有.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由等差数列性质可知数列为等差数列，由已知等式可求得其公差，结合等差数列通项公式可求得，进而得到结果.
【详解】
数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，
，.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，以及等比数列和等差数列的中项性质，化简已知得，，代入即得解.
【详解】
设数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列，
若，
则，，
即为，，
即，，
则．
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）记等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．3B．2C．－2D．－3
【答案】A
【分析】
设等差数列的公差为，将条件转化为和表示，得到方程组，解得的值.
【详解】
解：设等差数列的公差为，
因为，，所以，
解得：.
故选：A.
4．（2021·湖北·高三阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．22B．45C．50D．55
【答案】D
【分析】
利用等差中项和等差数列前n项和公式求解
【详解】
由题意得，，
则，
故.
故选：D
5．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））已知数列的前项和，且满足，，若，则（ ）
A．9B．C．10D．
【答案】B
【分析】
根据判断出是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.
【详解】
由可知，是等差数列，设公差为，所以，
由，所以.
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．
【详解】
由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴＋＝＝＝＝＝＝
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（ ）
A．20B．22C．24D．8
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质可求.
【详解】
因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果.
【详解】
是等差数列，，，成等差数列，
，.
故选：D.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本题可设等差数列共有项，然后通过即可得出结果.
【详解】
设等差数列共有项，
则，，中间项为，
故
，
，
故选：B.
10．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，若，则数列的通项公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由已知可得得，逐项排除可得答案.
【详解】
因为是等差数列，且，得，
对于A， ，故错误；
对于B， ，故正确；
对于C， ，故错误；
对于D，，故错误.
故选：B.
11．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒
【详解】
设的公差为d，
∵
∴，
即{}为等差数列，公差为，
由知，
故﹒
故选：A﹒
12．（2021·安徽定远·高三阶段练习（理））等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用等差数列的前项和公式，由此能求出结果
【详解】
解：等差数列，的前项和分别为，，若，
与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，
又等差数列的前项和公式，
．所以
故选：B．
【点睛】
本题考查两个等差数列的前5项和的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
13．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28B．34C．40D．44
【答案】D
【分析】
根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果.
【详解】
因为，
所以由，可得
所以，
所以，
故选：D
14．（2021·广东广州·高三阶段练习）已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据，可得，再根据，得，从而可得出答案.
【详解】
解：因为，所以，
又，所以，
所以的最小值为.
故选：C.
15．（2022·全国·高三专题练习）我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯
【答案】A
【分析】
由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.
【详解】
解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，
由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：
，
解得a1=64.4，d=﹣8.4，
所以a5=64.4﹣33.6=30.8，
即戊所得钱数为30.8贯.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列项的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．5C．10D．15
【答案】B
【分析】
利用等比中项和对数的运算性质可求得结果.
【详解】
因为等比数列的各项均为正数，且，
所以.
故选：B.
17．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用等差中项和等比中项的性质分别求得、的值，然后利用特殊角的三角函数值可得出结果.
【详解】
由等差中项的性质可得，，
由等比中项的性质可得，，
因此，.
故选：B.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为( )
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【分析】
利用等比数列的性质求解即可.
【详解】
因为，，为正项等比数列，
所以，解得.
故选：B．
19．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10等于（ ）
A．5B．10C．20D．40
【答案】C
【分析】
由对数运算法则，等比数列的性质求解．
【详解】
是等比数列，则，
所以lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10．
故选：C．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】A
【分析】
结合等比数列的中项性质以及完全平方公式即可求出结果.
【详解】
数列{an}是等比数列，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
故选：A.
21．（2021·陕西安康·高三期中（理））等比数列的前项和为，，，则（ ）
A．1B．5C．1或31D．5或11
【答案】D
【分析】
由已知条件可得，求出公比，从而可求出结果
【详解】
设等比数列的公比为，则，∴或1，
∴当时，，
当时，
故选：D．
22．（2021·四川·双流中学高三阶段练习（理））已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则（ ）
A．29B．31C．33D．35
【答案】B
【分析】
设等比数列的公比为，由已知可得和，代入等比数列的求和公式即可
【详解】
因为 ，
，
，
所以，
，
故选：B.
23．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三阶段练习（文））记等比数列的前项和为，若，，则公比 （ ）
A．B．C．D．或2
【答案】D
【分析】
根据等比数列的性质可得，再由，可得，分别求出，即可得出答案.
【详解】
解：在等比数列中，若，则，
，所以，
由，，解得，或，
当时，，
当时，，
所以或2.
故选：D.
24．（2021·山西运城·高三期中（文））数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】
取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】
在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
25．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【分析】
根据等比数列前项和公式的结构求得.
【详解】
设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.
故选：A
26．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】
解：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，
又单调递减，
，
，
解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知为等比数列，且，与的等差中项为，则（ ）
A．1B．2C．31D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件列出首项和公比的方程组可得答案.
【详解】
由得，①
又，得，②
由①②得，，.
故选：A.
28．（2022·浙江·高三专题练习）已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8B．﹣8C．±8D．
【答案】A
【分析】
由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则有，，
解之可得，，
.
故选：A.
二、多选题
29．（2022·江苏·高三专题练习）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．当时最小D．时的最小值为
【答案】BD
【分析】
由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.
【详解】
由于等差数列是递增数列，则，A选项错误；
，则，可得，B选项正确；
，
当或时，最小，C选项错误；
令，可得，解得或.
，所以，满足时的最小值为，D选项正确.
故选：BD.
三、填空题
30．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，成等差数列，则_______.
【答案】3
【分析】
根据条件可得，解出，即解.
【详解】
∵成等差数列，则，
由为等比数列，设公比为q，则，
可得：，解得，
所以.
故答案为：3.
31．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.
【答案】7
【分析】
根据条件，由等差数列通项公式及求和公式求得首项和公差，从而变成函数问题，找到最大值.
【详解】
方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得
则.又，∴当时，取得最大值.
方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，
∴，解得，
则，
令
解得，又，
∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，
故当取得最大值时，.
故答案为：7.
32．（2022·上海宝山·一模）已知数列的前项和为，且满足，，则___________.
【答案】
【分析】
根据通项公式列出方程求出，利用前n项和公式求解.
【详解】
因为，
所以，
所以是以2为公差的等差数列，
所以，
故答案为：
33．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，，，，则______．
【答案】15
【分析】
先根据等差数列的求和公式和等差数列的等差中项的性质利用求得，进而根据等差数列性质可知，求得．
【详解】
因为，所以．
又，所以．
故答案为：15
34．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和有最小值，且，则使得成立的的最小值是________．
【答案】22
【分析】
根据等差数列的前项和有最小值，得到公差，再由，得到 ，利用等差数列的性质结合前n项和公式求解.
【详解】
因为等差数列的前项和有最小值，
所以等差数列的公差，
又因为，
所以 ，
所以 ，
，
所以使得成立的的最小值是22，
故答案为：22
35．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，，，求____
【答案】
【分析】
利用等差数列等距离片段和的性质求即可.
【详解】
由等差数列片段和的性质有，
∴.
故答案为：
36．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于1的等比数列满足，，则公比等于________.
【答案】2
【分析】
由等比数列以及，可知 ，由已知条件结合等比数列通项公式可知，联立方程求解，根据可解的答案.
【详解】
解：由题意得
则，又因为
解得：或（舍去）
故答案为：2
37．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________．
【答案】
【详解】
分析：利用的等比数列的性质，求解．
详解：由题意，∴，
又，∴．
故答案为．
点睛：在等差数列和等比数列中一般可用基本量法求解，得数列的这个性质要尽量进行应用，若是等差数列，若，则，若，则；若是等比数列，若，则，若，则．
38．（2021·海南·三亚华侨学校高三阶段练习）若数列为等比数列，且，，则___________.
【答案】256
【分析】
由等比数列片段和性质结合等比数列的通项公式，即可求解
【详解】
∵是等比数列，
∴，，，，为等比数列，
且公比，
∴.
故答案为：
39．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列中，为其前项之和，，则______
【答案】260
【分析】
根据等比数列前n项和的性质，可知，，成等比数列，结合等比中项公式，即可求解.
【详解】
解：根据等比数列前n项和的性质，
可知，，成等比数列，
则，即，
解得.
故答案为：.
40．（2021·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知等比数列的前n项和，则________．
【答案】2
【分析】
由题设得，若有与不相等，与假设矛盾，进而根据等比前n项和公式，结合已知列方程求参数a即可.
【详解】
由题设，，
若时，，故与矛盾，
∴，即，显然成立.
故答案为：2.
四、解答题
41．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
【答案】答案见解析．
【分析】
首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前项和公式证明结论即可．
【详解】
选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
设数列的公差为，由题意可得：，，
数列的前项和：，
故，
据此可得数列 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列的公差为，则：
，
数列为等差数列，则：，
即：，整理可得：，．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得：，，
则数列的公差为，
通项公式为：，
据此可得，当时，，
当时上式也成立，故数列的通项公式为：，
由，可知数列是等差数列．
42．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，.
（1）证明数列为等差数列；
（2）若数列前n项和，求n的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）5.
【分析】
（1）根据等差数列定义，结合递推公式，可证明，即得证；
（2）由（1）可得，分组求和可得，化简为，解不等式即可
【详解】
（1）证明：因为
所以，
因为，所以数列为首项为，公差为 的等差数列.
（2）由（1）可得，即 .
令，则，故为等比数列；
设，则，故为等差数列.
分组求和可得
，∴，∴，
∴n的最小值为5.
43．（2021·江西南昌·模拟预测（文））已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组求、，写出通项公式；
（2）由（1）可知时，，而，，分别求出、时数列的前项和即可.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
∴，解得，
∴.
（2）由（1）知：，则，得，又，
∴时，，而，，
∴数列的前项和，而，，
∴，故.
44．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据，利用“”法求解.
（2）令，解得，然后分， 去掉绝对值，利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
（1）在等差数列中，因为，
所以，
解得 ，
所以 .
（2）令，解得，
当时，，当时，，
所以当时， ，
当时， ，
，
所以.
45．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的最大值及取得最大值时的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为.
【分析】
（1）先由求通项公式，再利用定义法证明即可；
（2）先判断的n的范围，得到数列的正负分布，即得何时最大.
【详解】
解：（1）证明：当时，，
又当时，，满足，
故的通项公式为，
∴.
故数列是以32为首项，为公差的等差数列；
（2）令，即，解得，
故数列的前16项或前17项和最大，
此时.
46．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：.证明数列是等比数列，并求数列的通项；
【答案】证明见解析，.
【分析】
由已知数列bn﹣an＝n，b1＝2求得a1，再将an+1+1＝2an+n，转化为，利用等比数列概念求解.
【详解】
证明：因为，所以．因为，所以，所以．又，
所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．
47．（2020·湖南·长沙一中高三阶段练习）数列满足：，．
（1）记，求证：数列为等比数列；
（2）记为数列的前项和，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由已知可得，再由等比数列的定义即可证明.
（2）由（1）可得，再由等比数列以及等差数列的前项和公式，分组求和即可求解.
【详解】
（1）∵，∴，
∴，∴数列是以，公比为的等比数列．
（2）由（1）知，∴，
．
48．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式.
【答案】证明见解析，；
【分析】
由已知得4an+1=3an+anan+1，化简变形得，则可得，求出，所以可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求出数的通项公式
【详解】
由已知得4an+1=3an+anan+1，
∵a1≠0，∴由递推关系可得an≠0恒成立，
∴，∴，即，
又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列，
，
，；
49．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求证：数列{an－bn}为等比数列.
【答案】证明见解析
【分析】
根据问题要证明等比数列，即证明 为常数，故将题中条件进行结合处理，即可得到，并求出首项即可.
【详解】
证明：an－bn＝(3an－1－bn－1)－(an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)，即，
又a1－b1＝3－(－1)＝4，
所以{an－bn}是首项为4，公比为2的等比数列；
50．（2022·浙江·高三专题练习）已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据以及等差数列的通项公式计算即可得到结果，然后根据可得，最后简单计算可得.
（2）根据（1）的条件可知求解的是，计算即可.
【详解】
（1）数列是等差数列，设公差为，且，.
则，解得，
所以.
又因为，，是等比数列的前3项，则，
由于，代入上式解得.
于是，，，因此等比数列的公比.
故数列的通项公式为.
（2）设数列的前20项的和为.
因为，，
则
.