新高考艺术生40天突破数学90分讲义第16讲数列通项(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第16讲数列通项(原卷版+解析)，共34页。
一、观察法
根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.
二、利用递推公式求通项公式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.
④利用与的关系求解
形如的关系，求其通项公式，可依据
，求出
【典型例题】
（多选）例1．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，，则有（ ）
A．Sn＝3n－1B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，满足，则__________.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，，求数列的通项公式.
例6．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，求.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求的通项公式.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成，2，；
②数列，0，1与数列1，0，是同一数列；
③数列的第项是；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①②B．③④C．①③D．②④
2．（2022·全国·高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=则解下4个环所需的最少移动次a4数为（ ）
A．7B．10C．12D．22
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足，且a1=1，a2=5，则（ ）
A．69B．105C．204D．205
5．（2020·全国·高三阶段练习（文））在数列中，，，则（ ）.
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·全国·高三专题练习）若为数列的前项和，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·安徽·高三阶段练习（文））数列中的前n项和，数列的前n项和为，则（ ）.
A．190B．192C．180D．182
10．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全国·高三专题练习）数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
13．（2021·全国·高三专题练习（理））在数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·全国·高三专题练习）数列的通项公式可能是an＝（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
15．（2022·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ）
A．an＝－
B．an＝
C．数列为等差数列
D．－5050
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列的通项公式为
C．D．
三、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，，，则________．
18．（2021·河北·高三阶段练习）已知数列的前项和记作，，则________．
19．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则满足的最大的正整数等于_________．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为且满足，，则______．
21．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.
22．（2021·江西·高三阶段练习（文））若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．
23．（2021·全国·模拟预测（文））已知数列的前项和为，且，则___________.
24．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列满足，且，则________________.
25．（2021·全国·高三专题练习（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数构成有穷数列，则得到递推关系.则___________.
26．（2021·甘肃·西北师大附中高三阶段练习）已知数列满足，则的最小值为___________.
四、解答题
27．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足：，求{an}的通项公式；
（2）在数列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.
28．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
30．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
33．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为.
（1）求m的值，并求出数列的通项公式；
（2）令，设为数列的前n项和，求.
35．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等比数列，并求出；
（2）求数列的前n项和．
第16讲 数列通项
【知识点总结】
一、观察法
根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.
二、利用递推公式求通项公式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.
④利用与的关系求解
形如的关系，求其通项公式，可依据
，求出
【典型例题】
（多选）例1．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，，则有（ ）
A．Sn＝3n－1B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1D．
【答案】ABD
【详解】
依题意，
当时，，
当时，，
，所以，
所以，
所以.
当时，；当时，符合上式，所以.
，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，满足，则__________.
【答案】
【详解】
依题意，，
所以
.
故答案为：
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
【答案】
【详解】
∵，
∴，
即．又，，
∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴数列的通项公式．
故答案为：.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为，且满足.求的通项公式.
【详解】
由，得，
又，所以当时，
，
又也满足上式，所以；
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，，求数列的通项公式.
【详解】
解：因为，，
所以，，又，
得，所以，又，
所以，.
例6．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，求.
【详解】
解：因为，
所以，而，
∴是首项为4，公比为2的等比数列，故，
∴.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求的通项公式.
【详解】
，两边取倒数得，即，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成，2，；
②数列，0，1与数列1，0，是同一数列；
③数列的第项是；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】B
【分析】
利用数列的基本概念对四个选项逐一判断即可．
【详解】
解：对于①，是集合，不是数列，故选项①错误；
对于②，数列是有序的，故数列，0，1与数列1，0，是不同的数列，故选项②错误；
对于③，数列的第项是，故选项③正确；
对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．
故选：．
2．（2022·全国·高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=则解下4个环所需的最少移动次a4数为（ ）
A．7B．10C．12D．22
【答案】A
【分析】
根据通项公式直接求项即得结果.
【详解】
因为数列{an}满足a1=1，且an=
所以a2=2a1-1=2-1=1，所以a3=2a2+2=2×1+2=4，
所以a4=2a3-1=2×4-1=7.
故选:A
【点睛】
本题考查根据数列通项求项，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由，利用累加法得出.
【详解】
由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足，且a1=1，a2=5，则（ ）
A．69B．105C．204D．205
【答案】D
【分析】
可将已知适当变形成为，可构造等差数列，利用累加法求得
【详解】
设，
故构成以4为首项，1为公差的等差数列
故…………
故选：D
【点睛】
若满足，可考虑用累加法求通项公式，其原理为
……
……，运算化简即可.
5．（2020·全国·高三阶段练习（文））在数列中，，，则（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
通过赋值，利用累加法，即可求得结果.
【详解】
因为，，
所以，
所以，
，
……
，
以上各式累加得，
即.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
依题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】
解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】
解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
8．（2022·全国·高三专题练习）若为数列的前项和，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用求得.
【详解】
时，.
时，，
，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：B
9．（2021·安徽·高三阶段练习（文））数列中的前n项和，数列的前n项和为，则（ ）.
A．190B．192C．180D．182
【答案】B
【分析】
根据公式计算通项公式得到，故，求和得到答案.
【详解】
当时，；
当时，，
经检验不满足上式，所以，
，则，.
故选：B.
10．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令可求得的值，由，由作差法可得出的表达式，再对是否满足的表达式进行检验，即可得解.
【详解】
当时，则有；
当时，由，①
可得，②
①②可得，所以，，满足.
故对任意的，.
故选：D.
11．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据数列与的关系，可得数列从第项开始是等差数列，根据通项公式，即可求解.
【详解】
由得，即，
所以数列从第项开始是等差数列，
又因为，，
所以，所以．
故选：B
12．（2022·全国·高三专题练习）数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先转化为递推关系再求解.
【详解】
由可得：，两式相减得：，即，，
又由可得：，，
当时，，
综上，，
故选：.
13．（2021·全国·高三专题练习（理））在数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
对变形可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，即可得解.
【详解】
在中，，
由可得，
所以为以为首项，公差为的等差数列，
所以，
所以，
故选：A.
14．（2022·全国·高三专题练习）数列的通项公式可能是an＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意，变形数列的前4项，然后归纳出通项公式．
【详解】
解：根据题意，数列的前4项为，，，，
则有，
，
，
，
则数列的通项公式可以为.
故选：D.
二、多选题
15．（2022·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ）
A．an＝－
B．an＝
C．数列为等差数列
D．－5050
【答案】BCD
【分析】
利用数列通项和前n项和的关系求解.
【详解】
Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
整理得－＝－1(常数)，
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；
所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.
所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式，
故an＝故B正确，A错误；
所以，
故D正确．
故选：BCD
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列的通项公式为
C．D．
【答案】ABD
【分析】
根据题设的关系，可判断是否为等比数列，进而可得的通项公式，应用分组求和及等比数列前n项和得，再写出通项，应用裂项法求，即可判断各选项的正误.
【详解】
由题设知：，则且，即是等比数列；
∴，且，
又，
∴.
故选：ABD.
三、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，，，则________．
【答案】
【分析】
由条件可得，由累加法可得答案.
【详解】
由,即


所以
故答案为：
18．（2021·河北·高三阶段练习）已知数列的前项和记作，，则________．
【答案】
【分析】
由进行求解即可．
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，不符合上式．
所以，
故答案为：
19．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则满足的最大的正整数等于_________．
【答案】25．
【分析】
由，化简整理得到，求得，进而求得时，，根据，得到，即可求解.
【详解】
由题意数列的各项均为正数，且满足，
当时，可得，
整理得，
又由，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，所以，
因为数列的各项均为正数，可得，
所以当时，，
当时，，
由，即，即，
又由，所以，所以满足的最大的正整数等于.
故答案为：.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为且满足，，则______．
【答案】
【分析】
利用与的关系，替换，构造是等差数列，即可求得数列的通项公式.
【详解】
因为，，
所以，所以是等差数列，公差为3，
又，所以，．
故答案为：
21．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.
【答案】
【分析】
由递推关系式可得，构造数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
由，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
故答案为：
22．（2021·江西·高三阶段练习（文））若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．
【答案】
【分析】
根据给定条件将原等式变形成，再利用构造成基本数列的方法求解即得.
【详解】
在正项数列中，，则有，
于是得，而，因此得：数列是公比为2的等比数列，
则有，即，
所以数列的通项公式是.
故答案为：
23．（2021·全国·模拟预测（文））已知数列的前项和为，且，则___________.
【答案】
【分析】
利用求得数列的通项公式.
【详解】
当时，，
当时，，
两式相减得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，所以.
故答案为：
24．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列满足，且，则________________.
【答案】
【分析】
根据变形得，可构造等比数列，由等比数列的性质可求出，即可求得．
【详解】
由可得：，因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，即，故.
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查利用构造法求数列的通项公式，以及等比数列的定义应用，属于基础题．
25．（2021·全国·高三专题练习（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数构成有穷数列，则得到递推关系.则___________.
【答案】256
【分析】
首先利用数列的递推关系式的变换求出数列的通项公式，进一步求出结果.
【详解】
由有穷数列，递推关系，
整理得：，
整理得：，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
整理得，
所以，
故答案为：256.
26．（2021·甘肃·西北师大附中高三阶段练习）已知数列满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
利用数列递推式，可得数列是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求的最小值．
【详解】
解：
，
数列是以10为首项，1为公差的等差数列
在上单调递减，在上单调递增
时，取得最小值为
故答案为：
四、解答题
27．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足：，求{an}的通项公式；
（2）在数列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.
【答案】（1）an=；（2）an=.
【分析】
（1）对an+1=两边“取倒数”，得到，再利用累加法求解；
（2）由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得到，然后利用累乘法求解.
【详解】
（1）对an+1=两边“取倒数”，得
，即=2n+，
∴.
∴n≥2时，，
将以上各式累加得，
，
所以，
所以，当n=1也满足，
所以.
（2）因an≠0，由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得
，
∴n≥2时，，
逐项累乘，得，
∴，当n=1也满足，
∴.
28．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
【答案】（1）an＝－ (n∈N*)；（2）an＝ (n∈N*)．
【分析】
（1）由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通项公式an.
（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式
【详解】
（1）∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－ (n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－ (n∈N*)．
（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ (n∈N*)．
29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】
将题中条件变形为，再利用累乘法求出数列的通项公式.
【详解】
由，得，
所以当时，，
因为，
所以，
又因为时，满足上式，
所以
30．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式;
（2）根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加一个等比数列得到，要求其前项和，需采用分组求和法，即可求出前项和．
（1）
∵，①
当时，，即
当时，．②
由①－②得，即
∴数列是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴
（2）
由（1）知
∴，
∴．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】
当时，得到，当时，得到，从而得到.
【详解】
①，
当时，解得，
当时，②，
①减②得，
化简得：，
则是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，，求出，进而可出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，从而可求出
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，则
由，得
相减得即，
又，所以，
由，得，
解得，(舍去)
由，得；
（2）
.
33．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据，得，两式作差可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，进一步可求通项；
（2）运用裂项求和来求和.
【详解】
（1）当时，，即，解得或（舍）.
当时，，
，
两式相减得，
又数列的各项为正数，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以.
（2）
.
所以
.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为.
（1）求m的值，并求出数列的通项公式；
（2）令，设为数列的前n项和，求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）法一：由已知求、，根据等比数列的性质确定的值，进而求出，写出通项公式；法二：由与的关系，结合已知求得、，，再根据等比中项的性质求，写出通项公式；
（2）由（1）写出通项公式，由奇偶项和为定值，应用并项求和法求.
【详解】
（1）法一：当时，
当时，
∵是等比数列，
∴，即，解得
综上，的值为，数列的通项公式为.
法二：∵，，
∵是等比数列，
∴，即，解得，
设的公比为，
∴，，则.
（2）∵，
∴.
35．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等比数列，并求出；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析；；（2）．
【分析】
（1）由带入整理即可得解；
（2）由（1）可得，再利用和之间的关系，可得，利用等比数列，直接求和即可得解.
【详解】
（1）由已知，整理得，，
所以，当时，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以；
（2）由（1）知，，
当时，，当时，，
所以，故
当时，
当时，，对也满足．
故．