安徽省铜陵市第十五中学等2023-2024学年八年级下学期期中数学联考试题（原卷版+解析版）

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命题教师：沈军 审核教师：江潮源
（时间：100分钟 满分：100分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若式子在实数范围内有意义，则m的值可能为（ ）
A. 2025B. 2023C. D. 2022
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出的范围．
【详解】解：由题意可知：，
解得：，
故选：A．
2. 下列二次根式中能与2合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误；
B、能与2合并，故该选项正确；
C、＝3不能与2合并，故该选项错误；
D、＝3不能与2合并，错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
3. 如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A. 10B. 52C. 68D. 92
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、正方形的面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由正方形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴正方形的面积，
故选：B．
4. 若，则代数式的值为（ ）
A. 2007B. C. 2024D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值，先将配方得，再将代入原代数式即可求解，熟练掌握完全平方公式是本题解题关键．
【详解】解：，
，
，
故选A．
5. 在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ ）
A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①②；（2）两组对边相等③④；（3）一组对边平行且相等①③或②④，所以有四种组合．
【详解】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；
（2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；
（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；
共4种组合方法，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
6. 如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个
【答案】D
【解析】
【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G.
因而共有6个满足条件的顶点.
故选D.
7. 如图，平行四边形中，对角线相交于点O，若，，则m的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质求出，根据三角形的三边关系定理得到，代入数值求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出后得出是解此题的关键．
8. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）
A. B. C. D. 大小无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
∵为直角三角形的三边，且。
∴，
∴，
∵，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键．
9. 如图，在中，，，，连接，若、分别为线段、的中点，则线段的长为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．作，连接并延长交于，连接，首先证明，解直角三角形求出，利用三角形中位线定理即可．
【详解】作，连接并延长交于，连接，
在和中，
在中
故选：B．
10. 如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（ ）

A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出DP＝BQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t≤15÷1＝15，即t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
由题意得：4t﹣15＝15﹣t，
解得：t＝6；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，
解得：t＝10；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
由题意得：4t﹣45＝15﹣t，
解得：t＝12；
综上所述，t的值为6或10或12，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行四边形中的动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 当a_____时，()2=.
【答案】≥0
【解析】
【分析】二次根式的被开方数一个是a，一个是a2,a2一定是非负数，不用再考虑，只需要考虑被开方数a≥0即可.
【详解】根据二次根式的意义可知a≥0.
【点睛】解答此题，需要注意的是，二次根式的被开方数一定为非负数.
12. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．
详解】解：由数轴可得：，
则
∴
=
=
=
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
13. 勾股定理最早出现在商高《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【答案】m2+1
【解析】
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14. （2016内蒙古呼和浩特市）已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2，若点A的坐标为（a，b），则点D的坐标为_____________________________．
【答案】（﹣2﹣a，﹣b），（2﹣a，﹣b）．
【解析】
【详解】解：当B点在A点的右边时，如图1，
∵AB与x轴平行且AB=2，A（a，b），
∴B（a+2，b），
∵对角线AC的中点在坐标原点，
∴点A、C关于原点对称，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点B、D关于原点对称，
∴D（-a-2，-b）；
当B点在A点的左边，如图2，
同理可得B（a-2，b），则D（-a+2，-b）．
故点D的坐标为（-a-2，-b）或（-a+2，-b）．
故答案为（-2-a，-b），（2-a，-b）．
15. 如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ=2．在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝________．
【答案】10
【解析】
【分析】过P作PC⊥a于C，当Q、B、C三点一线时，PA+AB+BQ最小.
【详解】作QD∥b,PD⊥QD.
如图，当AB∥PC时，AB又等于PC，所以四边形PABC是平行四边形，PA=BC，所以PA+BQ＝BC＋BQ，当Q、B、C三点一线时，PA+AB+BQ最小.在直角三角形PQD中，根据勾股定理得QD==8.在直角三角形QDC中，根据勾股定理得QC=10，所以PA+BQ＝BC＋BQ=BC=10.
【点睛】本题的解题关键是作图确定B点位置，根据勾股定理求线段长度.
三、计算题：本大题共2小题，共8分．
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，先利用平方差和完全平方公式去括号，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
17. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．
【详解】解：
．
四、解答题：本题共5小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画和．

（1）请你在方格纸中找到点，补全；
（2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段的长度并判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，取格点D，连接，则四边形即为所求；
（2）利用勾股定理求出，，进而求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，由平行四边形的性质可得，由此可得．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：，理由如下：
由勾股定理得，，，
∴，，
∴是直角三角形，即，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，平行四边形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
19. 铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）．
（1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，那么是的多少倍？
（2）从足够高高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？
【答案】（1）是的倍
（2）下落的高度是11.25m
【解析】
【分析】（1）将代入进行计算即可，将代入，计算与的比值即可得出结论；
（2）将代入公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：当时，（s，
当时，（s，
，
是的倍．
【小问2详解】
解：当时，，
解得，
下落的高度是11.25m．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的运算，算术平方根的应用，解题关键是掌握二次根式的性质和运算．
20. △ABC中，BC=5，以AC为边向外作等边△ACD．
（1）如图①△ABE是等边三角形，若把AC=4，∠ACB=30°，求CE的长．
（2）如图②若∠ABC=60°,AB=3，求BD的长．
【答案】（1）CE =
（2）BD=7
【解析】
【分析】对于（1），在△AEC和△ABD中，由SAS即可证明△AEC≌△ABD，由全等三角形的性质可得CE=BD，接下来可由∠ACD=60°，∠ACB=30°，证得∠BCD=90°，故在Rt△BCD中利用勾股定理即可得到BD，即CE的长；
对于（2），先在图②中以AB为边在△ABC外作等边△ABE，作EF⊥BC于F，由（1）得CE=BD；接下来根据等边三角形的性质可得AB=BE，由含30度角的直角三角形的性质可得BF= BE=，EF=BF=，进而由BD=CE= =，经过计算即可得到答案.
【详解】（1）∵∠BAE=∠CDB，
∴∠BAE+∠BAC=∠CDB+∠BAC，即∠BAD=∠EAC.
∵在△AEC和△ABD中，AE=AB，∠BAD=∠EAC，AC=AD，
∴△AEC≌△ABD.
∴CE=BD.
又∵∠ACD=60°，∠ACB=30°，
∴∠BCD=90°.
∴CE=BD===.
（2）如图，以AB为边在△ABC外作等边△ABE，作EF⊥BC于F，
由（1）得，△AEC≌△ABD，
∴CE=BD.
∵∠ABC=60°，AB=3，AB=BE,
∴∠EBF=60°.
∴∠EBF=30°.
∴BF=BE=，EF=BF=，
∴BD=CE= =
=
=7.
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质、勾股定理和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理和等边三角形的性质.
21. 请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列按照一定顺序排列着的一列数称为数列后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第个数可以用表示其中是自然数且这是用无理数表示有理数的一个范例．
（1）根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第个数和第个数；
（2）证明：斐波那契数列中连续三个数，，存在以下关系：．
【答案】（1）第一个数1，第二个数1
（2）证明见解析
【解析】
【分析】此题考查二次根式的混合运算与化简求值：
（1）当和时，代入即可求解；
（2）根据，利用连续三个数，，代入进行化简即可求证结论；
理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：第1个数，即当时，
；
第2个数，即当时，
．
【小问2详解】
证明：当时，
，
斐波那契数列中连续三个数，，存在以下关系：．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别是，，动点P从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以，为邻边构造在线段延长线上一动点，且满足，设点运动时间为秒．
（1）当点运动到线段中点时， ，点的坐标为 ；
（2）当点在线段上运动时，求证：四边形平行四边形；
（3）当时，求四边形的周长．
【答案】（1）；
（2）见解析 （3）四边形的周长为或
【解析】
【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用，解题关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（1）当点运动到线段中点时，根据路程、速度和时间的关系可求得时间t，进而可求得点的坐标；
（2）根据证得，进而可证得，，进而可求证结论；
（3）先判断，当时，分类讨论：当点C在点O上方时，当点在点O下方时，在和中，利用勾股定理求得的值，进而可求解；
【小问1详解】
解：点，的坐标分别是，，
，，
点运动到线段中点，
，
则，
，
，
，
则点的坐标为，
故答案为： ；．
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形．
【小问3详解】
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
当点C在点O上方时，
则，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，，，
，
平行四边形的周长为：．
当点在点O下方时，如图：
则，
，
，，
在中，由勾股定理得：
，
在中，，，
，
平行四边形的周长为：，
综上所述，四边形的周长为：或．