山东省泰安市宁阳县第三中学(五四制)2023-2024学年九年级中考一模数学试题(原卷版+解析版)
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1. 实数的绝对值是( )
A. B. 2022C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值,解题的关键在于熟知正数和0的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数.
【详解】解:实数的绝对值是2022,
故选B.
2. 下列计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方,根据幂的乘方法则可判断选项A,根据同底数幂的除法法则可判断选项B,根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项C,根据完全平方公式可判断选项D.
【详解】解:A、,故错误,不符合题意;
B、,故错误,不符合题意;
C、,故错误,不符合题意;
D、,故正确,符合题意;
故选:D.
3. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍,这种植物的果实像一个微小的无花果,质量只有0.000000076克,将数0.000000076用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.用科学记数法表示较小的数,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂.
【详解】解:.
故选:A
4. 下列图形是中心对称而不是轴对称的图形是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义,如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.
【详解】解:A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故A正确;
B.既是轴对称图形,也是中心对称图形,故B错误;
C.既是轴对称图形,也是中心对称图形,故C错误;
D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故D错误.
故选:A.
5. 小华将一副三角板(,,)按如图所示的方式摆放,其中,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出,然后根据三角形内角和定理求解即可.
【详解】解:如图:设交于点,
∵,
∴,
∵,
∴.
故选:C.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
6. 某校举行“预防溺水,从我做起”演讲比赛,7位评委给选手甲的评分如下:90,93,88,93,85,92,95,则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 95,92B. 93,93C. 93,92D. 95,93
【答案】C
【解析】
【分析】现将数列从小达到重新排列,再根据中位数和众数的定义求解即可.
【详解】数列从小达到重新排列如下:
85,88,90,92,93,93,95,
中位数为:92,众数为:93,
故选:C.
【点睛】本题考查了中位数和众数的定义,理解中位数和众数的定义是解答本题的关键.
7. 如图,为的两条弦,D,G分别为的中点,的半径为2.若,则的长为( )
A 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接,圆周角定理得到,勾股定理求出,三角形的中位线定理,即可求出的长.
【详解】解:连接,
∵的半径为2.,
∴,
∴,
∵D,G分别为的中点,
∴为的中位线,
∴.
故选D.
【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理.熟练掌握相关定理,并灵活运用,是解题的关键.
8. 在同一直角坐标系中,函数与的大致图象可能为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质,即可解答.
【详解】解:①当时,,
一次函数经过第一、三、四象限,反比例函数经过第二、四象限;
②当时,,
一次函数经过第一、二、四象限,反比例函数经过第一、三象限;
故选:D.
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质,解题的关键是掌握一次函数,当时,经过一、三象限;当时,经过二、四象限;反比例函数,当时,经过一、三象限;当时,经过二、四象限.
9. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可.
【详解】解:∵等边三角形的边长为3,,
∴,
∴该“莱洛三角形”的周长,
故选:B.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,弧长公式,熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键.
10. 《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,木长多少尺?若设绳子长x尺,木长y尺,所列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题的等量关系是:绳长-木长=4.5,木长-绳长=1,据此可以列方程求解;
【详解】设绳子长x尺,木长y尺,
依题意可得:,
故选:C
【点睛】此题考查二元一次方程组问题,关键是弄清题意,找准等量关系,列方程求解.
11. 如图,在四边形中,,,.按下列步骤作图:①以点D为圆心,适当长度为半径画弧,分别交于E,F两点;②分别以点E,F为圆心以大于的长为半径画弧,两弧交于点P;③连接并延长交于点G.则的长是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先根据作图过程判断平分,根据平行线的性质和角平分线的定义可得,进而可得,由此可解.
【详解】解:由作图过程可知平分,
,
,
,
,
,
,
故选A.
【点睛】本题考查角平分线的作图,平行线的性质,等腰三角形的判定,解题的关键是根据作图过程判断出平分.
12. 如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F、G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接CF、CG、AE,证可得,当A、E、F、C四点共线时,即得最小值;
【详解】解:如图,连接CF、CG、AE,
∵
∴
在和中,
∵
∴
∴
∴
当时,最小,
∴d1+d2+d3的最小值为,
故选:C.
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明,正确构造全等三角形是解本题的关键.
二、填空题(每小题4分,共24分)
13. 若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围为________.
【答案】且
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到且,然后求出两不等式的公共部分即可.
【详解】解:根据题意得且,
解得且.
故答案为∶ 且.
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.
14. 如图,点A,B,C在半径为2的上,,,垂足为E,交于点D,连接,则的长度为 _____.
【答案】1
【解析】
【分析】连接,利用圆周角定理及垂径定理易得,则,结合已知条件,利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案.
【详解】解:如图,连接,
∵,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
故答案为:1.
【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用,结合已知条件求得是解题的关键.
15. 如图是二次函数的图像,该函数的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次函数的对称轴为直线可求出的值,再将点代入可求出的值,然后求出时,的值即可得.
【详解】解:由图像可知,此函数的对称轴为直线,函数的图像经过点,
则,,
解得,
将代入得:,解得,
则二次函数的解析式为,
当时,,
即该函数的最小值是,
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数的图像、以及最值,读懂二次函数的图像是解题关键.
16. 如图,在A处看建筑物的顶端D的仰角为,则,向前行进3米到达B处,从B处看D的仰角为(图中各点均在同一平面内,A、B、C三点在同一条直线上,),则建筑物的高度为______米.
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的知识,掌握锐角三角函数的概念是解题的关键,注意仰角和俯角的概念.根据,得到,再由和正切的概念列出算式,解出答案即可.
【详解】,
,
又,,,
,
解得.
故答案为:7.
17. 如图,对折矩形纸片,使得与重合,得到折痕,把纸片展平,再一次折叠纸片,使点A对应点落在上,并使折痕经过点B,得到折痕.连接,若,,则的长是____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形的中线定理,先证明四边形是平行四边形,再证明是等边三角形,分别根据直角三角形中的三角函数求出AM和DM,从而得到答案.
【详解】解:如下图所示,设交BM于点O,连接AO,
∵点是中点,
∴在和 中,,
∴ ,
∵,
∴ ,
∵,
∴,
∴,
∵
∴四边形是平行四边形,
∴
∴,
∴是等边三角形,
∴
∴
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查矩形的折叠、直角三角形、等边三角形的性质,解题的关键是证明是等边三角形以及熟练掌握直角三角形中的三角函数.
18. 在平面直角坐标系中,点在轴的正半轴上,点在直线上,若点的坐标为,且均为等边三角形.则点的纵坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴,交直线于点,过点作轴于点,先求出,再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得,然后解直角三角形可得的长,即可得点的纵坐标,同样的方法分别求出点的纵坐标,最后归纳类推出一般规律,由此即可得.
【详解】解:如图,过点作轴,交直线于点,过点作轴于点,
,
,
当时,,即,
,
,
是等边三角形,
,
,
,
,即点的纵坐标为,
同理可得:点的纵坐标为,
点的纵坐标为,
点的纵坐标为,
归纳类推得:点的纵坐标为(为正整数),
则点的纵坐标为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点,正确归纳类推出一般规律是解题关键.
三、解答题
19. (1)先化简,再求值:,然后从1,2,3,4中选择一个合适的数代入求值;
(2)解不等式组:.
【答案】(1),当时,原式
(2)
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值和解不等式组,掌握相关计算法则和方法是解题的关键.
(1)先根据混合运算的法则将原式化简,由原式可知,,,可以选择将或代入计算即可,答案不唯一;
(2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,即可求解.
【详解】(1)原式
,
由原式可知,,
当时,原式;
(2)解①得:,
解②得:,
不等式组的解集为.
20. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动,以便更好开展课后服务.随机抽取若干名学生进行了问卷调查.调查问卷如下:
根据统计得到的数据,绘制成下面的两幅不完整的统计图.
请根据统计图提供的信息,解答下面的问题:
(1)本次调查采用调查方式为 (填写“普查”或“抽样调查”);
(2)在这次调查中,抽取的学生一共有 人;扇形统计图中的值为 ;
(3)已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生.若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈,且每名学生被抽到的可能性相同,则恰好抽到女生的概率是 ;
(4)若该校共有1000名学生参加课外活动,则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人.
【答案】(1)抽样调查
(2)200,22 (3)
(4)350
【解析】
【分析】(1)根据抽样调查的定义即可得出答案;
(2)根据喜欢文学的人数除以其所占的百分比可得总人数,用喜欢体育的人数除以总人数可求出的值;
(3)根据概率公式求解即可;
(4)用1000乘以选择“文学”类的百分比即可.
【小问1详解】
解:根据题意得:
本次调查采用的调查方式为:抽样调查,
故答案为:抽样调查;
【小问2详解】
解:根据题意得:
在这次调查中,抽取的学生一共有:(人),
扇形统计图中的值为:,
故答案为:200,22;
【小问3详解】
解:恰好抽到女生的概率是:,
故答案为:;
【小问4详解】
解:根据题意得:
选择“文学”类课外活动学生有:(人),
故答案为:350.
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查、条形统计图与扇形统计图的信息关联、根据概率公式求概率、由样本估计总体,正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题的关键.
21. 如图,在平面直角坐标系中,,,反比例函数在第一象限的图象经过点C,,,过点C作直线轴,交y轴于点E.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)若点D是x轴上一点(不与点A重合),的平分线交直线于点F,请直接写出点F的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】(1)作轴于点G,如图,证明四边形是矩形,得到, 推出,证明,得到,得出矩形是正方形,可得,然后由A、B的坐标求出,进而得到点C的坐标为,再代入反比例函数的解析式即可;
(2)根据(1)中结论可得,由,利用两点距离公式求得,再由轴,,的平分线交直线于点,证明,即可分别求出的横纵坐标.
【小问1详解】
解:作轴于点G,如图,
图1
∵轴,
∴,
∵,
∴四边形是矩形,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴矩形是正方形,
∴,
∵,,
∴,
设,则,解得:,
∴,
∴点C的坐标为,
代入,得;
∴反比例函数的解析式为;
【小问2详解】
解:当在A点右侧时:如图1中图所示,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∵轴,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴点F的坐标是.
,,
当在A点左侧时,如图2:
轴,的平分线交直线于点,
点纵坐标为2,,
,
,
点横坐标为,
,
综上所述:F或.
【点睛】本题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识,具有一定的综合性,熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键.
22. 某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中,给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品.已知每本笔记本比每支钢笔多2元,用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同.
(1)笔记本和钢笔的单价各多少元?
(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品,要使购买纪念品的总费用不超过540元,最多可以购买多少本笔记本?
【答案】(1)笔记本每本12元,钢笔每支10元
(2)最多购买笔记本20本
【解析】
【分析】(1)设钢笔的价格为x元,则笔记本的价格为x+2元,根据题目中的等量关系列方程并求解即可;
(2)设笔记本的数量为y本,则钢笔的数量为50-y支,根据题意列关于y的不等式,解不等式并找到最大整数解即为答案.
【小问1详解】
设每支钢笔x元,依题意得:
解得:x=10,
经检验:x=10是原方程的解,
故笔记本的单价为:10+2=12(元),
答:笔记本每本12元,钢笔每支10元.
【小问2详解】
设购买y本笔记本,则购买钢笔(50﹣y)支,依题意得:
12y+10(50﹣y)≤540,
解得:y≤20,
故最多购买笔记本20本.
【点睛】本题考查了用分式方程和一元一次不等式解决问题,找到题目中的等量关系并列出关于未知数的方程或不等式,仔细计算是本题的解题关键.
23. 如图,等腰,,分别以,为边长在同侧作等边和等边,与相交于点,连接,.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)已知,求线段的长.
【答案】(1)见详解 (2)见详解
(3)
【解析】
【分析】(1)由等边三角形的性质可证,从而可证,即可得证;
(2)可证,由此可证,从而得证,即可得证;
(3)延长交于,可求,,进而可求,即可求解.
【小问1详解】
证明: 和都是等边三角形,
,,,
,
,
在与中,
,
(),
.
【小问2详解】
证明:是等边三角形,
,,
在腰中:,
在与中,
,
(),
,
即:,
由(1)得:,
,
,
又,
,
,
即,
又,
.
【小问3详解】
解:如图,延长交于,
,,
,,
为等腰直角三角形,,
,,
,,
,
,
又,
.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质,等三角形的性质,“三线合一”,勾股定理,的判定性质,特殊角的三角函数值,掌握三角形中的相关判定方法及性质是解题的关键.
24. 如图,抛物线交x轴于两点,交y轴于点C.直线经过点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l与直线相交于点P,连接,判定的形状,并说明理由;
(3)在直线上是否存在点M,使与直线的夹角等于的2倍?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)的为直角三角形,理由见解析;(3)存在使与直线的夹角等于的2倍的点,且坐标为M1(),M2(,).
【解析】
【分析】(1)先根据直线经过点,即可确定B、C的坐标,然后用带定系数法解答即可;
(2)先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性,说明三角形APB为等腰三角形;再结合OB=OC得到∠ABP=45°,进一步说明∠APB=90°,则∠APC=90°即可判定的形状;
(3)作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,AC于E;然后说明△ANB为等腰直角三角形,进而确定N的坐标;再求出AC的解析式,进而确定M1E的解析式;然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标;在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】解:(1)∵直线经过点
∴当x=0时,可得y=5,即C的坐标为(0,5)
当y=0时,可得x=5,即B的坐标为(5,0)
∴解得
∴该抛物线的解析式为
(2)的为直角三角形,理由如下:
∵解方程=0,则x1=1,x2=5
∴A(1,0),B(5,0)
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为(5,0), B的坐标为(5,0)
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°,
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形;
(3)如图:作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,AC于E,
∵M1A=M1C,
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N(3,2)
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0,5),A(1,0)
∴ 解得b=5,k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为()
∴=× +n,解得:n=
∴EM1函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为();
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2(a,-a+5)
则有:3=,解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为(,).
综上,存在使与直线的夹角等于的2倍的点,且坐标为M1(),M2(,).
【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题,主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识,考查知识点较多,综合应用所学知识成为解答本题的关键.
25.
综合与实践
【思考尝试】
(1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在矩形ABCD中,E是边上一点,于点F,,,.试猜想四边形的形状,并说明理由;
【实践探究】
(2)小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图2,在正方形中,E是边上一点,于点F,于点H,交于点G,可以用等式表示线段,,的数量关系,请你思考并解答这个问题;
【拓展迁移】
(3)小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形中,E是边上一点,于点H,点M在上,且,连接,,可以用等式表示线段,的数量关系,请你思考并解答这个问题.
【答案】(1)四边形是正方形,证明见解析;(2);(3),证明见解析;
【解析】
【分析】(1)证明,可得,从而可得结论;
(2)证明四边形是矩形,可得,同理可得:,证明,,,证明四边形是正方形,可得,从而可得结论;
(3)如图,连接,证明,,,,可得,再证明,可得,证明,可得,从而可得答案.
【详解】解:(1)∵,,,
∴,,
∵矩形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴矩形是正方形.
(2)∵,,,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
同理可得:,
∵正方形,
∴,
∴,
∴,,
∴四边形是正方形,
∴,
∴.
(3)如图,连接,
∵,正方形,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质,正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,作出合适的辅助线,构建相似三角形是解本题的关键.调查问题
在下列课外活动中,你最喜欢的是( )(单选)
A.文学;B.科技;C.艺术;D.体育
填完后,请将问卷交给教务处.
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