浙江省金华市义乌市北苑中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程逐个判断即可．
【详解】解：A、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
2. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，则射击成绩比较稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用方差的意义求解即可．
【详解】解：∵S甲2=0.61，S乙2=0.52，S丙2=0.53，S丁2=0.42，
∴S丁2＜S乙2＜S丙2＜S甲2，
∴射击成绩比较稳定的是丁，
故选：D．
【点睛】本题主要考查加方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【详解】解：A、，故不是最简二次根式；
B、，故不是最简二次根式；
C、，故不是最简二次根式；
D、，故是最简二次根式；
故选D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
4. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )
A. 众数B. 方差C. 平均数D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.
故选：D.
【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.
5. 下列式子中，x可以取和2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式与二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：A、中，x-2≠0，所以x≠2，故不符合；
B、中，x-1≥0，所以x≥1，故不符合；
C、中，x+2≥0，所以x≥-2，故符合；
D、中，x2-2≥0，所以x2≥2，当x=-1时，不符合；
故选C．
【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
6. 下列等式正确是（ ）
A. （）2=3B. =﹣3C. =3D. （﹣）2=﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
【详解】解：（）2=3，A正确,符合题意；
=3，B错误，不符合题意；
=，C错误，不符合题意；
（-）2=3，D错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键．
7. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率）可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据第三季度生产零件196万个可得出方程．
【详解】解：由八、九月份平均每月的增长率为可得八、九月份的产量为、，
所以，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8. 实数和在数轴上如图所示，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式得性质与化简，根据数轴可知，，，再根据化简，最后合并同类项即可得答案，熟练掌握是解题的关键．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，
．
故选：．
9. 等腰三角形的三边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（ ）
A. 17B. 18C. 17或18D. 9或18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形定义，以及一元二次方程根的判别式，根据等腰三角形的三边长分别为a、b、3，分以下两种情况讨论，①当时，②当或，再利用a、b是关于x的一元二次方程的两个根，建立等式求解，即可解题．
【详解】解：等腰三角形的三边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，
①当时，
有，
即，整理得，解得；
②当或，
将代入一元二次方程中，
有，解得；
综上所述，n的值为17或18．
故选：C．
10. 若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解．
【详解】解：关于的方程的解中，仅有一个正数解，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到．
二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11. 二次根式中，字母x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
故答案为：．
12. 某招聘考试分笔试和面试两种，小明笔试成绩90分，面试成绩85分，如果笔试成绩、面试成绩按3：2计算，那么小明的平均成绩是__________分
【答案】88
【解析】
【分析】根据加权平均数的定义计算可得．
【详解】解：根据题意，小明的平均成绩是（分），
故答案为88．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义和计算公式．
13. 若的积是有理数，则无理数m的值为_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解．
【详解】解：
的积是有理数，m是无理数，
是有理数，
令，（是有理数）
解得：，
当即，
时，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质．
14. 对于实数a，b，定义运算“”：例如：，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是一元二次方程求解以及与定义新运算的综合，分类讨论是解本题的主要思想．根据方程求得其解为：2或4，由于不确定，具体值，故需分两种情况讨论，代入新运算进行计算即可．
【详解】解：解方程，得或．
当，时，，
当，时，，
故答案为：．
15. 一组数据的中位数和平均数相等，则的值是_____．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了中位数、算术平均数，根据中位数、算术平均数的意义列方程即可求解，掌握中位数、算术平均数的计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵这组数据的个数为，
∴这组数据的中位数可能为，，，
当中位数为时，，
解得；
当中位数为时，
，
解得；
当中位数为时，
，
解得；
故答案为：或或．
16. 有整数解，则整数n的值为_____．
【答案】4或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的整数解，将方程转化为的形式，设方程的整数根为m，则，根据n和m均为整数可得，，由此可求解，将原方程变形处理是解题的关键．
【详解】解：由得，
设方程的整数根为m，
则，
n和m均为整数，
是整数，也是整数，
是无理数，
，，
，，
，，
当时，，
当时，，
故整数n的值为4或，
故答案为：4或．
三．解答题（共8题66分，其中17-19题每题各6分，20和21每题各8分，22和23每题各10分，24题12分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
（1）先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再算加法即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则，绝对值和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程：
（1）利用直接开方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
熟练掌握直接开方法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：开方，得：，
解得：，．
【小问2详解】
移项，得：，
因式分解，得：，
即：或，
解得：，．
19. 如图所示，将一个长宽分别为，的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
（1）用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当，，，求剩余部分面积．
【答案】（1）
（2）124
【解析】
【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
（2）把相应的值代入（1）进行运算即可．
【小问1详解】
解：剩余部分的面积为：；
【小问2详解】
解：当，，时，

．
答：剩余部分的面积为124.
【点睛】本题考查了列代数式，求代数式的值，二次根式的运算，把剩余部分的面积看成长方形的面积减去四周四个小正方形的面积是解题的关键．
20. 已知关于x的方程．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根：
（2）若此方程的一根是1，求另一个根及m的值．
【答案】（1）见解析 （2），m=2
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的判别式，判断根的情况即可；
（2）把x=1代入方程，即可求出m的值，然后利用根与系数的关系即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∵，
∴．
∴方程恒有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：把x=1代入原方程得：，解得：m=2
∴原方程为：
原方程为：x2-4x+3=0，即(x-3)(x-1)=0，解得：x1=3，x2=1．
∴，另一个根为．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握常见解一元二次方程的方法以及用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键．
21. 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
问题解决】
（1）上述表格中，________，________；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号）
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由．
【答案】（1）3.75，2.0
（2）② （3）这片树叶更可能来自于荔枝，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的定义，方差越小，形状差别越小，根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，即可判断荔枝树叶的长宽比；
（3）计算该树叶的长宽比即可判断来自哪颗树．
【小问1详解】
芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为，因此中位数m=3.75；
荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0；
故答案为：3.75，2.0；
【小问2详解】
合理是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍；
故答案为：②；
【小问3详解】
这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
这片树叶长，宽 ，长宽比大约为2.0，
根据平均数这片树叶可能来自荔枝树．
【点睛】本题考查了统计图中中位数、众数、平均数、方差的意义，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的关键．
22. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（盈利＝销售利润+返利）
（1）若该公司当月售出5部汽车，则每部汽车的进价为______万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？
【答案】（1）
（2）当销售6部汽车时，当月可盈利12万元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用：
（1）根据每部汽车的进价与销售量有如下关系进而可求解；
（2）设需要售出x部汽车，分类讨论：①当销售10部以内（含10部）时，②当销售10部以上时，根据等量关系列出方程并解方程即可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：（万元），
故答案为：．
【小问2详解】
设需要售出x部汽车，
①当销售10部以内（含10部）时，
依题意可得：，
可化为：，
解得：（不合题意，舍去），
当销售6部汽车时，当月可盈利12万元；
②当销售10部以上时，
依题意可得：，
可化为：，
解得：，均不合题意，应舍去
答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元．
23. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a､b､c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，请解决以下问题：
（1）判断是否为“勾系一元二次方程”，并说明理由．
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）1
【解析】
【分析】（1）从方程中得出a，b，c的值，利用勾股定理验证即可得出结论；
（2）计算△并变形可得：△，可得结论；
（3）当时，有，即，由，得，推出，，由，可得，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）在中，
a=3，b=4，c=5，满足，
∴a，b，c是直角三角形的三边长，
∴是勾系一元二次方程；
（2）证明；，
△
，
，
△，
关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）是“勾系一元二次方程” 的一个根，
，即，
四边形的周长是，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题是新定义：“勾系一元二次方程”的理解和运用，主要考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用完全平方公式解决问题，属于中考常考题型．
24. 阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______；
（2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
（4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______．
【答案】（1），
（2）这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
（3）自变量时，函数取最大值，最大值为
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解．
（1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案；
（3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值．
（4）分，三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
当且仅当时，取等号，
∴当时，函数取到最小值，最小值为．
故答案为：，；
【小问2详解】
设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；
【小问3详解】
∵，
∴，
又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
【小问4详解】
①，
，
又，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为，
此时m有最大值，最大值为，
又，结果分母都为正数，
，
②时，
③，，
又，
当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为，
此时m有最小值，最小值为，
又，结果的分母为负数，
，
，
综合①②③得m的取值范围为．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.3
1.9
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.74
m
4.0
0.0424
荔枝树叶的长宽比
1.91
2.0
n
0.0669