重庆市江津区16校联盟学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，每个小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的正确答案标号涂黑）
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数，即可求解．
【详解】解：若式子在实数范围内有意义，
则
的取值范围是：．
故选：A．
2. 下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（ ）
A. 3，4，5B. 6，8，9C. 1，2，D. 5，12，14
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A、∵32+42＝52，∴能构成直角三角形，故本选项正确；
B、∵62+82≠92，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+22≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵52+122≠142，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3. 下列二次根式中，与能合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】能与合并的二次根式，就是与是同类二次根式．根据同类二次根式的被开方数相同的性质解答．
【详解】的被开方数是3．
A.＝2，被开方数是6；故本选项错误；
B.＝4，被开方数是2；故本选项错误；
C.＝3，被开方数是2；故本选项错误；
D.＝，被开方数是3；故本选项正确.
故选D．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
4. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果．
【详解】解：∵D，E分别为，的中点，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
【详解】解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB=CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
6. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）

A. 变小B. 不变C. 变大D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案．
【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，

理由是：连接OP，设
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP=AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故选：B．
【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7. 下列命题是假命题的为（ ）
A. 直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方
B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形、平行四边形的判定、三角形中位线和矩形的判定判断即可．
【详解】A、直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，是真命题；
B、一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，是真命题；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．
8. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，交的延长线于点F，（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，先由平行四边形的性质得到，，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵的平分线交于E，交的延长线于点F，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点的符号后，点所表示的数是距离原点的距离．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出点的坐标．
【详解】解：图中直角三角形的两直角边为，，
斜边长为，
那么和之间的距离为，
那么的值是：，
故选：D．
10. 下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑥个图形中正方形的个数为（ ）
A. 50B. 48C. 43D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键．根据题意得出第n个图形有个正方形，据此即可求解．
【详解】解：由题意可知，第一个图形有8个正方形，
第二个图形有个正方形，
第三个图形有个正方形，
…
观察发现，第n个图形有个正方形，
当时，个正方形．
故选：C．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11. 计算的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根，再合并同类二次根式即可．
【详解】解： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式加法，熟练掌握二次根式加法法则是解题的关键．
12. 平行四边形ABCD中，∠A +∠C =200°，则∠B =_______ .
【答案】80°##80度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质（平行四边形的对角相等，对边平行）可得，又由 ，可得．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，，
，
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，则BC的长为_____cm．
【答案】2
【解析】
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，再根据邻补角的定义求出∠AOB=60°，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=OA，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】在矩形ABCD中，OA＝OB＝AC＝×4＝2cm，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
BC＝＝＝2cm．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．
14. 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是______．
【答案】17
【解析】
【分析】根据勾股定理有，，，等量代换即可求正方形D的面积．
【详解】如图，
根据勾股定理可知，
∵，，，
∴，
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）；
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．
15. 如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是___________.

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，结合A点和C点的坐标，就可以写出B点的坐标．
【详解】解：根据平行四边形的性质可得： ，根据已知条件A（8，0）可知OA=8，C（2，6），可知B点的横坐标为2+8=10，B点的纵坐标为6，所以B（10，6）.
故答案为：（10，6）.
【点睛】本题主要考查坐标的表示，再结合考查平行四边形的性质，难度系数较低，但应当熟练掌握．
16. 如图，□ABCD的对角线相交于点O,两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为 ___________．
【答案】14
【解析】
【分析】根据两对角线之和为18，可得出OB+OC的值，再由AD=BC，可得出△OBC的周长．
【详解】由题意得，OB+OC=（AC+BD）=9，
又∵AD=BC=5，
∴△OBC的周长=9+5=14．
故答案为14．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等的性质．
17. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，的度数是_______°．
【答案】45
【解析】
【分析】根据条件先求出，由三角形内角和定理求出，根据E是斜边中点，可证明为等腰三角形，由性质得，最后根据即可求出角度．
【详解】解：，
，
，
，
，
又是斜边的中点，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
，
为等腰三角形，
，
，
故答案是：45．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定及性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是掌握相关的性质定理，通过转换的思想进行求解．
18. 一个四位自然数N，若百位数比千位数的2倍多1，则称N为“联盟数”，将这个四位自然数N的十位与百位交换得到的新四位数记为，规定，当时， _____；若B是“联盟数”，其个位数字大于2，将其个位数字的5倍记为，个位数字与1的差记为，若，则所有符合条件的M的十位数字之和为 _____．
【答案】 ①. ②. 13
【解析】
【分析】本题考查了用字母表示多位数，对于新定义的理解是解题关键．
（1）根据新定义的公式代入即可．
（2）设“联盟数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，并表示出及，再根据要求列出，由，，，且、、都是整数，判断出，再根据取值判断出满足题意的和即可．
【详解】解：（1）由得，，
．
故答案为：．
（2）设“联盟数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，
则为：，
为：，
，
，
由题得，，
若，
即，
，，，且、、都是整数，
则为整数，
为整数，
，
，
或，
或，
若，则满足条件的、有，
此时，；
若，则满足条件的、有；，
此时，，
或，
综上所述，符合条件的有1396、3716、4936．
所有符合条件的的十位数字之和为．
故答案为：13．
三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算；
（2）先利用二次根式的乘法和除法运算法则将原式化简，再进行加减运算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握相应在的运算法则是解题的关键．
20. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是线段AC上的两点，并且AE=CF．求证：DE∥BF．

【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可求得OA=OC，OB=OD，再结合条件可求得OE＝OF，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可证得结论．
【详解】如图，连接BE，DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴DE∥BF．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性质求得OE＝OF是解题的关键．
21. 如图，在平行四边形中，，在取一点E，使得，连接．

（1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点F，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）根据（1）中作图，经过学习小组讨论发现，并给出以下证明，请将证明过程补充完整．
证明：
________________
四边形为平行四边形
________________
平分
________________
四边形为平行四边形
________________
即
在中，
．
【答案】（1）见解析；
（2），，，．
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先由得，再根据平行四边形的性质及平行线的性质得到，则，接着利用和平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理得到．
【小问1详解】
解：如下图：
【小问2详解】
证明：
四边形为平行四边形
平分
四边形平行四边形
即
在中，
．
【点睛】本题考查了复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握平行四边形和平行线的性质是解题的关键．
22. 如图，每个小正方形的边长为1．
（1）直接写出四边形ABCD的面积和周长；
（2）求证：∠BCD=90°．
【答案】（1）四边形ABCD的面积为14.5，四边形ABCD的周长是3；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）用四边形ABCD所在长方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边形ABCD的面积；利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD，即可求得四边形ABCD的周长；
（2）求出BD2，利用勾股定理的逆定理即可证明；
【详解】（1）四边形ABCD的面积=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5；
由勾股定理得AB，BC2，CD，AD，
故四边形ABCD的周长是23；
（2）连接BD．
∵BD2，BC2+CD2=20+5=25，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°．
【点睛】本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据翻转前后，图形的对应边和对应角相等，可知EF=BF，AB=AE，故可求出DE的长，然后设出FC的长，则EF=4-FC，再根据勾股定理的知识，即可求出答案．
【详解】解：由题意，得AE=AB=5，AD=BC=4，EF=BF，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=3．
在矩形ABCD中，DC=AB=5．
∴CE=DC-DE=2．
设FC=x，则EF=4-x．
在Rt△CEF中，x2+22=（4-x）2．
解得x＝．
即FC=．
【点睛】本题考查了翻转变换的知识，属于基础题，注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等．
24. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE
求证：四边形BECD是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．
【详解】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴，BE=AD，
∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴▱BECD是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．
25. 先阅读，然后回答问题.
化简：
由于题中没有给出x的取值范围，所以要分类讨论.
，
令x-3 = 0，x+2 =0，分别求出x=3，x = -2(称3，-2分别为，的零点值)，然后在数轴上标出表示3和-2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜ -2，-2≤x＜3 ,x≥3.
当x＜ -2 时，原式=-(x-3)-(x+2)=-x+3-x-2=-2x+1；
当-2≤x＜3时，原式=-(x-3)+(x+2)=-x+3+x+2=5；
当x≥3时，原式=(x-3)+(x+2)=x-3+x+2=2x-1.
(1)分别求出和的零点值;
(2)化简：.
【答案】(1)的零点,值为-1,的零点值为2.
(2)当x＜-1时,原式＝-2x＋1；当-1≤x＜2,原式＝3；当x≥2,原式＝2x-1
【解析】
【详解】【试题分析】（1）根据零点值得定义求解即可；
（2）仿照例题，分三种情况讨论即可.
【试题解析】
(1),,
令x＋1＝0,得x＝-1,令x-2＝0,得x＝2,
∴的零点,值为-1,的零点值为2.
(2)
令x＋1＝O,得x＝-1,令x-2＝0,得x＝2.
在数轴上标出表示-1和2的点,如图所示,数轴被分成三段,即x＜-1,-1≤x＜2,x≥2.
当x＜-1时,原式＝-(x＋1)-(x-2)＝-x-1-x＋2＝-2x＋1;
当-1≤x＜2,原式＝(x＋1)-(x-2)＝x＋1-x＋2＝3;
当x≥2,原式＝(x＋1)＋(x-2)＝x＋1＋x-2＝2x-1
【方法点睛】本题目是一道新型信息题目，主要运用 的性质化简，讨论绝对值的代数式的最值.难点是计算零点值，借助数轴求解.
26. 点P是平行四边形对角线所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线作垂线，垂足分别为点E、F，点O为的中点．
（1）如图1所示，当点P与点O重合时，线段和关系是________；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
【答案】（1）OE=OF；（2）图形见解析，结论仍然成立
【解析】
分析】（1）由“AAS”可证△AEO≌△CFO，可得OE=OF；
（2）由题意补全图形，由“ASA”可证△AOE≌△COG，可得OE=OG，由直角三角形的性质可得OG=OE=OF．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
又∵∠AEO=∠CFO=90°，∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
故答案为：OE=OF；
（2）补全图形如图所示，
结论仍然成立，
理由如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
∵点O为AC的中点，
∴AO=CO，
又∵∠AOE=∠COG，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE=OG，
∵∠GFE=90°，
∴OE=OF．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．