2024年北京十九中中考数学零模试卷(含解析）

这是一份2024年北京十九中中考数学零模试卷(含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图是某几何体的展开图，该几何体是( )
A. 长方体B. 圆柱C. 圆锥D. 三棱柱
2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014−2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为( )
A. 0.1692×1012B. 1.692×1012C. 1.692×1011D. 16.92×1010
3.若∠α=40°，则∠α的补角的度数是( )
A. 40°B. 50°C. 130°D. 140°
4.若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
5.在平面直角坐标系内，若点P(3−m,m−1)在第二象限，那么m的取值范围是
( )
A. m>1B. m>3C. m<1D. 16.在今年的慈善基金捐款活动中，某单位对捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、400元和500元的人数进行了统计，制成如下统计图，那么从该统计图获得的四条信息中正确的是( )
A. 捐款金额越高，捐款的人数越少
B. 捐款金额为400元的人数比捐款金额为200元的人数要少
C. 捐款金额为300元的人数最多
D. 捐款金额为200元的人数最少
7.口袋里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中两枚是白色的，一枚是黑色的．从中随机摸出一枚记下颜色，不放回，再从剩余的两枚棋子中随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相同的概率是( )
A. 13B. 12C. 23D. 59
8.如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法中错误的是( )
A. 甲乙两地相距1000km
B. 点B表示此时两车相遇
C. 慢车的速度为100km/h
D. 折线B−C−D表示慢车先加速后减速最后到达甲地
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.要使分式3x−2有意义，则x的取值范围是______．
10.下列几何体中，主视图是三角形的是 ．
11.分解因式：3x2−3y2= ．
12.方程1x+1=23x−1的解为______．
13.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，C是劣弧上一点，若∠ACB=130°，则∠P= ．
14.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是______(写出一个即可)．
15.如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC=10，AB=2，tanC=12，那么DP的长是______．
16.高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.先化简，再求值：(2x−y)2−4(x+y)(x−y)+5xy，其中x=6，y=−2．
四、解答题：本题共11小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
计算：(π−2019)0+| 3−1|+(−12)−1−2tan30°．
19.(本小题5分)
解不等式12x−1≤23x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
20.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，请用尺规作图法在AC边上确定一点P，连接BP，使BP将△ABC分割成两个等腰三角形.(不写作法，保留作图痕迹)
21.(本小题6分)
已知x1，x2是关于x的一元二次方程(m+2)x2+2(m−2)x+m+10=0的两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)已知等腰△ABC的底边BC=4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
(3)阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶−海伦公式可得：S△ABC= p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=a+b+c2，在(2)的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
22.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=90°，AB=DC=4，AD=BC=8.延长BC到E，使CE=3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE=5.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．(t>0)
(1)当t=3时，BP=______；
(2)当t=______时，点P运动到∠B的角平分线上；
(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
(4)当023.(本小题8分)
某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如表：
小景根据学习函数的经验，对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小景的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为______m；
(3)结合函数图象，解决问题：
公园准备在距喷水枪水平距离为3.5m处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为______m.
24.(本小题8分)
某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员，获得了这些营业员的销售额(单位：万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.设营业员该月的销售额为x(单位：万元)，甲部门营业员销售额数据的频数
分布直方图如下(数据分成5组：10≤x<15，15≤x<20，20≤x<25，25≤x<30，30≤x≤35)：
b.甲部门营业员该月的销售额数据在20≤x<25这一组的是：
21.3 22.1 22.6 23.7 24.3 24.3 24.8 24.9
c.甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n1，在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n2，比较n1，n2的大小，并说明理由；
(3)若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额．
25.(本小题10分)
某年级共有300名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取30名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析，相关信息如下：
a.30名学生A，B两门课程成绩统计图：
b.30名学生A.B两门课程成绩的平均数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这30名学生中，甲同学A课程成绩接近满分，B课程成绩没有达到平均分．请在图中用“〇”圈出代表甲同学的点；
(2)这30名学生A课程成绩的方差为s12，B课程成绩的方差为s22，直接写出s12，s22的大小关系；
(3)若该年级学生都参加此次测试，估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数．
26.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．
(1)求抛物线的对称轴(用含a的式子表示)；
(2)若点(−1,y1)，(a,y2)，(1,y3)在抛物线上，且y127.(本小题10分)
如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为射线BC上一动点(不与B，C重合)，以点P为中心，将线段PC逆时针旋转α角，得到线段PQ，连接AP、BQ，M为线段BQ的中点．
(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，
①依题意在图1中画出图形；
②写出此时α的值和BPPC的值．
(2)写出一个α的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有APPM的值为定值，并证明．
28.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”．
(1)已知点A(0,2)，B(4,0)，线段OA与线段OB组成的图形记为W；
①点C1(1,1)，C2(3,1)，C3(−3,2)中，图形W的“相合点”是______；
②点M在直线y=−x+2上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围；
(2)⊙O的半径为r，直线y=− 33x+3−r与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段EF上存在⊙O外的一点P，使得点P为⊙O的相合点，直接写出r的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由两个圆和一个长方形可以围成圆柱，
故选：B．
根据由两个圆和一个长方形可以围成圆柱得出结论即可．
本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：将169200000000用科学记数法表示应为1.692×1011．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：根据互为补角的定义得：
若∠α=40°，则∠α的补角的度数是：180°−40°=140°．
故选：D．
根据两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，列式计算．
本题主要考查了补角，熟练掌握补角定义的应用是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：因为多边形的内角和公式为(n−2)⋅180°，
所以(n−2)×180°=720°，
解得n=6，
所以这个多边形的边数是6．
故选：B．
利用多边形的内角和公式即可求解．
本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查象限内点的坐标符号特点及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
由第二象限点的横坐标为负数、纵坐标为正数得出关于m的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：∵点P(3−m,m−1)在第二象限，
∴3−m<0①m−1>0②，
解不等式①，得：m>3，
解不等式②，得：m>1，
则m>3，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：由图知，捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、400元和500元的人数分别是2，5，11，5，6．
∴选项A、B、D是错误的，正确的是C，捐款金额为300元的人数最多是11人．
故选：C．
从条形图中得出捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、400元和500元的人数，再进行判断．
条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，本题主要考查了从条形统计图读取每个项目的数据，再做比较．
7.【答案】A
【解析】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中两枚棋子颜色相同的结果数为2，
所以随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相同的概率=26=13．
故选：A．
画树状图展示所有6种等可能的结果，找出两枚棋子颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
8.【答案】D
【解析】解：由图象可得，
甲乙两地相距1000km，故选项A正确；
点B表示此时两车相遇，故选项B正确；
慢车的速度为1000÷10=100km/h，故选项C正确；
折线B−C−D表示快车先到达目的地，然后是慢车到达目的地，故选项D错误；
故选：D．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
9.【答案】x≠2
【解析】解：依题意得：x−2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
10.【答案】②③
【解析】【分析】
找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
【解答】
解：①的主视图是一行两个矩形；②的主视图是三角形，③的主视图是等腰三角形．
∴主视图是三角形的是②③．
故答案为：②③．
11.【答案】3(x+y)(x−y)
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=3(x2−y2)=3(x+y)(x−y)，
故答案为：3(x+y)(x−y)
12.【答案】x=3
【解析】解：去分母得：3x−1=2x+2，
解得：x=3，
检验：把x=3代入得：(x+1)(3x−1)≠0，
∴分式方程的解为x=3．
故答案为：x=3．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13.【答案】80°
【解析】【分析】
由切线的性质得出∠PBO=∠PAO=90°，由∠ACB=130°，得出∠AOB=100°，再由四边形内角和等于360°，即可得出答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
【解答】
解：如图，连接OA，OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∵∠ACB=130°，
∴∠AOB=100°，
∴∠P=360°−∠PBO−∠PAO−∠AOB
=360°−90°−90°−100°
=80°，
故答案为：80°．
14.【答案】∠AEC=90°(答案不唯一)
【解析】解：添加一个条件是∠AEC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，
∴AF/​/EC，AO=CO，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∠AOF=∠COEAO=CO∠FAO=∠ECO，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=EC，
又∵AF/​/EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形．
故答案是：∠AEC=90°(答案不唯一)．
由题意证明四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定是解决问的关键．
15.【答案】65 5
【解析】解：∵DP⊥AP，CD⊥DP，
∴AP//CD，
∴∠C=∠APB，
∵AB⊥BC，
∴tan∠APB=ABBP，
∵tanC=12，
∴2BP=12，
∴BP=4，
∴PC=BC−BP=10−4=6，
在Rt△CDP中，tanC=DPCD，CD= PC2−DP2= 62−DP2，
∴DP 62−DP2=12，
解得DP=65 5或−65 5(不合题意，舍去)，
即DP=65 5．
故答案为：65 5．
本题考查了三角函数定义、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP/​/CD，则∠C=∠APB，由tan∠APB=ABBP，求得BP=4，PC=6，在Rt△CDP中，tanC=DPCD，CD= 62−DP2，得出DP 62−DP2=12，即可得出结果．
16.【答案】B
【解析】解：∵330−260=70，330−300=30，360−300=60，360−240=120，260−240=20，
∴C>A，B>D，E>C，D>A，B>E，
由B>D和D>A得B>A，
由E>C和B>E得B>C，
∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B，
故答案为：B．
根据表中数据两两相比较即可得到结论，
本题考查了不等式的性质，正确的理解题意是解题的关键．
17.【答案】解：原式=4x2−4xy+y2−4(x2−y2)+5xy
=4x2−4xy+y2−4x2+4y2+5xy
=5y2+xy．
∴当x=6，y=−2时，
原式=5×(−2)2+6×(−2)
=20−12
=8．
【解析】先按照完全平方公式、平方差公式及合并同类项的方法将原式化简，再将x=6，y=−2代入求值即可．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握整式乘法的相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(π−2019)0+| 3−1|+(−12)−1−2tan30°
=1+ 3−1−2−2× 33
=1+ 3−1−2−2 33
=−2+ 33．
【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
19.【答案】解：去分母，得：3x−6≤4x−3，
移项，得：3x−4x≤6−3，
合并同类项，得：−x≤3，
系数化成1得：x≥−3．
则解集在数轴上表示出来为：
．
【解析】去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
20.【答案】解：如图，点P即为所求．

【解析】作∠ABC的角平分线BP，交AC于点P，点P即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)由题意得：△=b2−4ac=[2(m−2)]2−4(m+2)(m+10)≥0，且m+2≠0，
化简得：64m≤−64，
解得：m≤−1且m≠−2；
(2)由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长，
∴x1=x2，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程(m+2)x2+2(m−2)x+m+10=0的两实数根，
∴△=b2−4ac=[2(m−2)]2−4(m+2)(m+10)=0，
解得m=−1，
∴x2−6x+9=0，
解得x1=x2=3，
∵BC=4，
∴△ABC的周长为：3+3+4=10；
(3)由(2)知：△ABC的三边长为3，3，4，
∴p=3+3+42=5，
∴S△ABC= p(p−a)(p−b)(p−c)= 5×(5−3)×(5−3)×(5−4)=2 5，
过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，

∵I是△ABC角平分线的交点，
∴IF=ID=IE，
∴S△ABC=12AB⋅IF+12BC⋅ID+12AC⋅IE=12ID⋅(AB+BC+AC)=12ID×(3+3+4)=5ID=2 5，
解得ID=2 55，
∴S△BIC=12BC⋅ID=12×4×2 55=4 55．
【解析】(1)根据Δ≥0，构建不等式求解即可；
(2)由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用Δ=0，构建方程求解m值，即可得一元二次方程，解方程可求解x1，x2，进而可求解△ABC的周长；
(3)由海伦公式可求解△ABC的面积，过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，利用角平分线的性质可得IF=ID=IE，结合△ABC的面积可求解ID的长，再根据三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键．
22.【答案】6 8
【解析】解：(1)BP=2t=2×3=6，
故答案为：6；
(2)作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF=∠FBC，
∵∠A=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD/​/BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=4，
∴DF=AD−AF=8−4=4，
∴BC+CD+DF=8+4+4=16，
∴2t=16，解得t=8．
∴当t=8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
(3)根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP=12×BP×AB=12×2t×4=4t；(0②当点P在CD上运动时，
S△ABP=12×AB×BC=12×4×8=16；(4≤t≤6)；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP=12×AB×AP=12×4×(20−2t)=−4t+40；(6(4)当0根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP=4，
∴2t=4，解得t=2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE=DE=5，
∴PC=PE−CE=2，
∴8−2t=2，解得t=3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC=PH，
∵PC=2t−8，
∴PD=DC−PC=12−2t，
∴2t−812−2t=35，
解得t=194．
综上所述：t=2s或t=3s或t=194s时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
(1)根据题意可得BP=2t，进而可得结果；
(2)根据∠A=∠B=∠BCD=90°，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF=AB=4，得DF=4，进而可得t的值；
(3)根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
(4)当0本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23.【答案】2 2.825
【解析】解：(1)函数图象如下图所示；
(2)由图象得，水流的最高点距喷水枪的水平距离为2m，
故答案为：2；
(3)设抛物线的关系式为y=a(x−2)2+4.4，
把(0,1.6)代入可得1.6=4a+4.4，
解得a=−0.7，
∴抛物线的关系式为y=−0.7(x−2)2+4.4，
当x=3.5时，y=2.825，
答：石柱的高度约为2.825m．
故答案为：2.825．
(1)根据常识，结合所给的点，可画出大致图形为抛物线；
(2)由图象可得水流的最高点距喷水枪的水平距离；
(3)根据图象求出抛物线的关系式，再求出当x=3.5时y的值即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
24.【答案】解：(1)甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，排在第10、11位的两个数分别为23.7，24.3，故中位数m=23.7+24.32=24；
(2)在甲部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为11人，故n1=11；
∵乙部门的平均数为23.0，中位数为22.7，
∴在乙部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为不少于11人，故n2≥11，
∴n2≥n1；
(3)100×23.0=2300(万元)，
答：估计乙部门该月的销售总额为2300万元．
【解析】(1)根据中位数的意义，求出甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，得出处在第10、11位的数据即可；
(2)根据题意得出n1，n2，再比较大小即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解题的关键是掌握中位数的定义以及样本估计总体思想的运用．
25.【答案】解：(1)如图所示．
(2)∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由a可知，B课程成绩的波动大，A课程成绩的波动小，
∴s12(3)由图可知，抽取的30名学生A，B两门课程成绩都超过平均分的人数有9人，总占比930=310，
∴300×310=90(人)，
答：估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数为90人．
【解析】(1)根据这30名学生A，B两门课程成绩统计图，可得代表甲同学的点；
(2)根据方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大可得出结论；
(3)由统计图可知，抽取的30名学生A，B两门课程成绩都超过平均分的人数有9人，由此即可得出结论．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，涉及方差，用样本估计总体等知识．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+(a+2)x+2a，
∴抛物线的对称轴为直线x=−a+22=−a2−1，
即x=−a2−1；
(2)y=x2+(a+2)x+2a，
整理得：y=(x+2)(x+a)，
当x=−1时，y1=(−1+2)(−1+a)=a−1，
当x=a时，y2=(a+2)(a+a)=2a2+4a，
当x=1时，y3=(1+2)(1+a)=3a+3，
∵y1∴a−1<2a2+4a，
解得：a>−12或a<−1，
∵y2∴2a2+4a<3a+3，
解得：−32∵y1∴−32∴a的取值范围为：−32【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及对称轴、不等式等知识，熟练掌握图象上点的坐标特征和二次函数的性质是解题的关键．
(1)由抛物线的对称轴公式即可得出答案；
(2)由二次函数的性质与不等式求解即可．
27.【答案】解：(1)①如图1所示：

②如图1，连接AQ，

∵M为AP、BQ的中点，
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴AB=PQ，∠ABC=∠QPC=α=45°，
∴AB=PC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB：AC：BC=1：1： 2，
∴BPPC= 2PC−PCPC= 2−1；
(2)令α=90°，
证明：如图2，延长PM至N，使得MN=PM，连接BN、AN、QN，
∵M为线段BQ的中点，
∴四边形BNQP是矩形，
∴BN/​/PQ，BN=PQ，
∴∠NBP=180°−α=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABN=45°+90°=135°，∠ACP=180°−45°=135°，
即∠ABN=∠ACP，
∴△ACP≌△ABN(SAS)，
∴AN=AP，∠CAP=∠BAN，
∴∠CAP+∠CAN=∠BAN+∠CAN，
即∠NAP=∠BAC=90°，
即△ANP为等腰直角三角形，
∴APPN= 22，
又∵PM=12PN，
∴APPM= 2，
即APPM的值为定值，
当α=90°时，APPM的值为定值，理由见解析过程．
【解析】(1)①依照题意，画出图形即可；
②连接AQ，证四边形ABPQ是平行四边形，得出AB=PC，再根据△ABC是等腰直角三角形即可得出比值；
(2)令α=90°，延长PM至N，使得MN=PM，连接BN、AN、QN，证四边形BNQP是矩形，根据SAS证△ACP≌△ABN，得出△ANP为等腰直角三角形，即可得出比值为固定值．
本题是几何变换综合题，考查等腰直角三角形，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练利用辅助线构造平行四边形是解题的关键．
28.【答案】解：(1)①如图1中，观察图像可知C1是AE的中点，Q是PC3的中点．
故图形W的“相合点”是C1，C3．
故答案为：C1，C3．
②如图2中，图形W的“相合点”的分布情形：
①在第一象限，矩形OHPQ上或内部．
②在第二象限，矩形TFJO上或内部．
③第四象限，矩形DOEN上或内部．
结合图形可知，直线y=−x+2上图形W的“相合点”M的横坐标为−2≤m≤0或1≤m≤4．
(2)如图3中，以O为圆心，r和3r分别为半径作圆，当直线y=− 33x+3−r与图中圆环有交点时，满足条件．
当直线y=− 33x+3−r在第一象限与大圆相切时，则 32(3−r)=3r，解得r=6 3−311，
当直线y=− 33x+3−r经过(r,0)时，− 33r+3−r=0，解得r=9−3 32，
观察图像可知，满足条件的r的值为：6 3−311≤r<9−3 32，
当直线y=− 33x+3−r经过(−r,0)时， 33r+3−r=0，解得r=9+3 32，
结合图象可知，满足条件的r的值为：6 3−311≤r<9−3 32，r>9+3 32．
【解析】(1)①根据点C是图形W的“相合点”的定义结合图形判断即可．
②如图2中，图形W的“相合点”的分布情形：①在第一象限，矩形OHPQ上或内部．②在第二象限，矩形TFJO上或内部．③第四象限，矩形DOEN上或内部．结合图形判断即可．
(2)如图3中，以O为圆心，r和3r为半径作圆，当直线y=− 33x+3−r与图中圆环有交点时，满足条件．求出几种特殊情形的r的值，即可判断．
本题属于圆综合题，考查了点C是图形W的“相合点”，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．收费出口编号
A，B
B，C
C，D
D，E
E，A
通过小客车数量(量)
260
330
300
360
240
x/m
0.0
1.0
2.0
3.0
4.5
y/m
1.6
3.7
4.4
3.7
0.0
平均数
中位数
甲部门
22.8
m
乙部门
23.0
22.7
A课程
B课程
平均数
85.1
80.6