2023-2024学年广东省深圳市宝安区富源学校七年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市宝安区富源学校七年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. x3+x3=x6B. 2x⋅3x2=6x3
C. (2x)3=6x3D. (2x2+x)÷x=2x
2.据悉，中国工程师制造出了一种集光学传感器icn和信号处理器于一芯的光纤陀螺仪，它具有246纳米独立自主成熟制程.若1纳米=10−9米，则246纳米用科学记数法表示为米．( )
A. 24.6×10−8B. 2.46×10−7C. 2.46×10−11D. 246×10−9
3.下列图中∠1，∠2不是同位角的是( )
A. B.
C. D.
4.将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上.若m/​/n，∠1=30°，则∠2的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
5.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是( )
A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短
6.下列能用平方差公式计算的是( )
A. −x+yx+yB. −x+yx−yC. x+22+xD. 2x+33x−2
7.如图所示，在下列四组条件中，能判定AB/​/CD的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠ABD=∠BDC
C. ∠3=∠4
D. ∠BAD+∠ABC=180°
8.下列说法正确的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 相等的角是对顶角
C. 如果两个角的和是180°，那么这两个角互为余角
D. 同角或等角的余角相等
9.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=x°，∠2=y°，则∠3的度数为( )
A. (x−y)°B. (180−x−y)°C. (180−x+y)°D. (x+y−90)°
10.如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则图乙的边长为( )
A. 8
B. 7
C. 5.6
D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简：(2a2b)3=______．
12.已知∠α=75°，则∠α的补角的度数为______．
13.若多项式x2+mx+64是完全平方式，则m=______．
14.形如acbd的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为acbd=ad−bc，则x+12x−6x2(x−1)=10中x的值是______．
15.将一副三角板如图1所示摆放，直线GH/​/MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH=t°，∠FDM=2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边(边DE，DF)平行时，则所有满足条件的t的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算．
(1)(2022−π)0+(−12)−3−(−1)2020；
(2)20222−2021×2023；
(3)(−2x2y)2⋅3xy+(−4x3y)；
(4)(x+5)(−2x+1)．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：[(x−3y)2−(x−y)(x+y)+4xy]÷2y，其中x=−2，y=1．
18.(本小题6分)
如图，某区有一块长为a+4b，宽为a+3b的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为a+b的空白的正方形地块将修建一个凉亭．
(1)用含有a、b的式子表示绿化总面积；
(2)若a=2，b=5，求出此时的绿化总面积．
19.(本小题7分)

(1)如图，已知∠α、∠β，求作∠ABC.使∠ABC=∠α+∠β(不写作法，保留作图痕迹)
(2)过点P作PQ//BC(两小题都要求用尺规作图)(在图2上画)
20.(本小题10分)
填空，并在括号里注明理由：
如图，已知点O，E在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，过点E作OD的平行线交OC于点F，试说明：∠1=∠2．
说明：因为EF/​/OD，
所以∠3=∠ ______(______)，
因为EF/​/OD，
所以∠4=∠ ______(______)，
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠3=∠4(______)，
所以∠5=∠6，
因为∠5+∠1=180°，∠6+∠2=180°，
所以∠1=∠2(______).
21.(本小题10分)
何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2−6n+9=0
所以m2+2mn+2n2−6n+9=0
所以(m+n)2+(n−3)2=0
所以m+n=0，n−3=0所以m=−3，n=3
为什么要对2n2进行了拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
解决问题：
(1)若x2−4xy+5y2+2y+1=0，求xy的值；
(2)已知a，b满足a2+b2=10a+12b−61，求2a+6的值．
22.(本小题10分)
已知：AB/​/CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH=∠EFH．

(1)如图1，求证：EF/​/GH；
(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、应为x3+x3=2x3，故本选项错误；
B、2x⋅3x2=6x3，正确；
C、应为(2x)3=23x3=8x3，故本选项错误；
D、应为(2x2+x)÷x=2x+1，故本选项错误．
故选：B．
根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方的性质；多项式除以单项式的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法的性质，积的乘方的性质，多项式除以单项式的法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：246纳米=246×10−9米=2.46×10−7米，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|b)，
由题可得图甲中阴影部分的面积是S甲=(a−b)2，
图乙中阴影部分的面积是S乙=(a+b)2−a2−b2=2ab，
∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，
∴S甲=(a−b)2=4，S乙=2ab=30，
∴图乙面积为：(a+b)2
=(a−b)2+4ab
=4+60
=64，
∴a+b=8，
故选：A．
设正方形A的边长是a，正方形B的边长是b(a>b)，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，列出等式，进而可以求得图乙的面积，最后求得图乙的边长．
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，列出等式，这是解题的关键．
11.【答案】8a6b3
【解析】解：(2a2b)3=8a6b3，
故答案为：8a6b3．
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算．
此题主要考查了积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
12.【答案】105°
【解析】解：∵∠α=75°，
∴∠α的补角=180°−75°=105°．
故答案为：105°．
根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
本题考查了补角，是基础题，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．
13.【答案】±16
【解析】解：∵多项式x2+mx+64是完全平方式，x2+mx+64=x2+mx+82，
∴mx=±2x⋅8，
∴m=±16．
故答案为：±16．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14.【答案】2
【解析】解：由上述运算可知2(x+1)(x−1)−x(2x−6)=10，
化简得6x−12=0，
解得：x=2．
故答案为：2．
根据题中已知条件可知2(x+1)(x−1)−x(2x−6)=10，用适当的方法进行解答．
本题考查解一元一次方程，多项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键．
15.【答案】30或120
【解析】解：由题意得，∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，
(1)如图1，当DE/​/BC时，延长AC交MN于点P，
①当DE在MN上方时，
因为DE/​/BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
所以AP//DF，
所以∠FDM=∠MPA，
因为MN/​/GH，
所以∠MPA=∠HAC，
所以∠FDM=∠HAC，即2t°=t°+30°，
所以t=30，
②当DE在MN下方时，∠FDP=2t°−180°，
因为DE/​/BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
所以AP//DF，
所以∠FDP=∠MPA，
因为MN/​/GH，
所以∠MPA=∠HAC，
所以∠FDP=∠HAC，即2t°−180°=t°+30°，
所以t=210(不符合题意，舍去)，
(2)如图2，当BC/​/DF时，延长AC交MN于点I，
①当DF在MN上方时，∠FDN=180°−2t°，
因为DF/​/BC，AC⊥BC，
所以AI⊥DF，
所以∠FDN+∠MIA=90°，
因为MN/​/GH，
所以∠MIA=∠HAC，
所以∠FDN+∠HAC=90°，即180°−2t°+t°+30°=90°，
所以t=120，
②当DF在MN下方时，∠EDM=90°−(360°−2t°)=2t°−270°，
因为DF/​/BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
所以AC/​/DE，
所以∠AIM=∠MDE，
因为MN/​/GH，
所以∠MIA=∠HAC，
所以∠MDE=∠HAC，即2t°−270°=t°+30°，
所以t=300(不符合题意，舍去)，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
根据题意得∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，(1)如图1，当DE/​/BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①当DE在MN上方时，②当DE在MN下方时，分别找到角度关系列式求解即可；(2)当BC/​/DF时，延长AC交MN于点I，分两种情况讨论：①当DF在MN上方时，②当DF在MN下方时，分别找到角度关系列式列式求解即可．
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
16.【答案】解：(1)原式=1+(−8)−1
=−8；
(2)原式=20222−(2022−1)×(2022+1)
=20222−(20222−1)
=20222−20222+1
=1；
(3)原式=4x4y2⋅3xy−4x3y
=12x5y3−4x3y；
(4)原式=−2x2+x−10x+5
=−2x2−9x+5．
【解析】(1)根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方计算；
(2)根据平方差公式计算；
(3)根据积的乘方计算乘方，根据单项式乘单项式化简即可；
(4)根据多项式乘多项式化简．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，平方差公式，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式，掌握(a+b)(a−b)=a2−b2是解题的关键．
17.【答案】解：原式=[x2−6xy+9y2−(x2−y2)+4xy]÷2y
=(x2−6xy+9y2−x2+y2+4xy)÷2y
=(−2xy+10y2)÷2y
=−x+5y，
当x=−2，y=1时，
原式=−(−2)+5×1
=2+5
=7．
【解析】根据完全平方公式和平方差公式先计算括号内的乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后算括号外面的除法，然后代入求值．
本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．
18.【答案】解：(1)绿化总面积是：
(a+4b)(a+3b)−(a+b)2
=a2+3ab+4ab+12b2−a2−2ab−b2
=5ab+11b2；
(2)当a=2，b=5时，
5ab+11b2
=5×2×5+11×52
=50+275
=325．
【解析】(1)阴影部分面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果；
(2)把a与b的值代入(1)式计算即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，∠ABC即为所求；

(2)如图，直线PQ即为所求，

作法：作∠APQ=∠ABC，则有PQ/​/BC．
【解析】(1)作∠BDC=α，再作∠ABD=β即可；
(2)作∠APQ=∠ABC，则有PQ/​/BC．
本题考查了尺规作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
20.【答案】5；两直线平行，内错角相等；6；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等角的补角相等
【解析】解：因为EF/​/OD，
所以∠3=∠5(两直线平行，内错角相等)，
因为EF/​/OD，
所以∠4=∠6(两直线平行，同位角相等)，
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠3=∠4(角平分线的定义)，
所以∠5=∠6，
因为∠5+∠1=180°，∠6+∠2=180°，
所以∠1=∠2(等角的补角相等)．
故答案为：5；两直线平行，内错角相等；6；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等角的补角相等．
根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
此题考查平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等和两直线平行，内错角相等是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵x2−4xy+5y2+2y+1=0，
∴x2−4xy+4y2+y2+2y+1=0，
即(x−2y)2+(y+1)2=0，(x−2y)2=0；(y+1)2=0
解得x=−2，y=−1，
∴xy=(−2)−1=−12
(2)∵a2+b2=10a+12b−61
∴a2−10a+25+b2−12b+36=0
∴(a−5)2+(b−6)2=0
∴a=5，b=6，
∴2a+6=2×5+6=16．
【解析】(1)已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出x、y的值；
(2)由a2+b2=10a+12b−61，应用因式分解的方法，判断出(a−5)2+(b−6)2=0，求得a、b的值．
此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
22.【答案】(1)证明：∵AB/​/CD，
∴∠AEF=∠EFH，
∵∠EGH=∠EFH，
∴∠AEF=∠EGH，
∴EF/​/GH；
(2)证明：如图2，过点N作NR//CD，

∴∠NFH=∠FNR，
∵AB/​/CD，
∴AB//CD//RN，
∴∠ENR=∠NEB，
∵EN平分∠BEF，
∴∠NEF=∠NEB，
∴∠ENR=∠NEF，
∵EF/​/GH，
∴∠HPN=∠NEF，
∴∠ENR=∠HPN，
即∠ENF+∠FNR=∠HPN，
∴∠ENF=∠HPN−∠NFH；
(3)如图3，过点N作NR//CD，

设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，
∵AB/​/CD，
∴∠AGQ=∠GQH=α+3，
∵GQ平分∠AGH，
∴∠AGH=2∠AGQ=2α+6，
∴∠EFD=∠AGH=2α+6，
∴∠AEF=∠EFD=2α+6，
∴∠BEF=180°−∠AEF=174°−2α，
∴∠BEN=12∠BEF=87°−α，
∵FM⊥GM，
∴∠M=90°，
∵EF/​/GH，
∴∠EFM+∠M=180°，
∴∠EFM=90°，
∴∠DFM=90°−∠EFD=90°−(2α+6)=84°−2α，
∵FN平分∠DFM，
∴∠DFN=12∠DFM=42°−α，
∴∠FNR=∠DFN=42°−α，
∴∠RNE=∠FNR+∠ENF=42°−α+3α=42°+2α，
∵NR//CD，AB/​/CD，
∴AB//NR，
∴∠BEN=∠RNE，
∴87°−α=42°+2α，
∴α=15°，
∴∠AEF=2α+6=36°．
【解析】(1)根据平行线的性质可得∠AEF=∠EFH，由等量代换可得∠AEF=∠EGH，最后根据平行线的判定可得EF/​/GH；
(2)过点N作NR//CD，根据平行线的性质可得∠NFH=∠FNR，∠ENR=∠NEB，由角平分线的定义可得∠NEF=∠NEB，利用等量代换可得∠ENR=∠NEF，最后根据平行线的性质可得∠HPN=∠NEF，利用等量代换可得∠ENR=∠HPN，由角的和差关系可得∠ENF+∠FNR=∠HPN，等量代换即可得出结论∠ENF=∠HPN−∠NFH；
(3)如图3，过点N作NR//CD，设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，根据平行线的性质可得∠AGQ=∠GQH=α+3，由角平分线的定义可得∠AGH=2∠AGQ=2α+6，利用平行线的性质和等量代换可得∠EFD=∠AGH=2α+6，∠AEF=∠EFD=2α+6，由平角的定义可得∠BEF=180°−∠AEF=174°−2α，根据垂线的定义可得∠M=90°，利用平行线的性质可得∠EFM+∠M=180°，从而求出∠EFM=90°，最后根据平行线的性质和角平分线的定义可得87°−α=42°+2α，求出α，即可得到∠AEF的答案．
本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线的定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．