如皋市2024届高三1月诊断测试 数学试题及参考答案含答题卡

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）
（1），则，
又，故可得，解得；
（2）由可知，，，
令，解得，，
又函数定义域为，故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.
故的极大值为，的极小值为
16. （15分）
（1）的可能取值为1，2，3，，，，
故抽取次数X的概率分布为：
（2）每次检验取到新球的概率均为，故，所以
17. （15分）
（1）证明：因为，所以，
因为，所以
在中，，即，
所以，即
又因为平面平面，平面平面，平面ABC，
所以平面
又平面，所以，
在中，，，，
所以，即，
所以
而，平面ABC，平面ABC，，
所以平面
又平面，所以平面平面
（2）在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，
以C为坐标原点，分别以CA，CE，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
，
18. （17分）
（1）解：设直线AB的方程为，与联立得， ，得，设，，，则 ，，
所以，
由题意知，因为，，，，
所以，
所以 ，
所以，即点C的坐标为， 代入抛物线E的方程得：，解得，满足条件，
所以直线AB的方程为
（2）证明：设直线BC的方程为，与联立得，
，所以， ，，
所以
由知，所以，
即点A的坐标为
又点A在抛物线上，所以， 所以，
又，所以， 所以点A的横坐标，
同理可证，B，C两点的横坐标也小于
所以三个顶点的横坐标均小于

（17分）
（1）解：对于①，设，则可得，所以线性相关；
对于②，设，则可得，所以，，所以线性相关；
对于③，设，则可得，解得，所以线性相关；
（2）解：设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，解得，
所以向量，，线性无关，
（3）①，如果某个，，2，⋯，m，
则，
因为任意个都线性无关，所以，，⋯，，⋅⋅⋅，都等于0，
所以这些系数，，⋅⋅⋅，或者全为零，或者全不为零，
②因为，所以，，⋅⋅⋅，全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，⋯，，
所以题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
B
A
D
A
A
A
题号
9
10
11
答案
ACD
BCD
ABC
题号
12
13①
13②
14
答案
或
X
1
2
3
P