2024年贵州省黔东南州九年级数学中考模拟测试卷（一）（原卷版+解析版）

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（本试卷3个大题，25个小题．满150分，考试时间120分钟．）
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；A、B、C、D四个选项中，只有一项符合题意．）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式除以单项式，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理成完全平方式即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
3. 已知一次函数，当时，，则k的值为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．
【详解】解：当时，一次函数y随x增大而增大，
∴当时，且当时，，
令，，得：，解得，不符题意，
令，，得：，解得，不符题意，
当时，一次函数y随x增大而减小，
∴当时，且当时，，
令，，得：，解得，
令，，得：，解得，符合题意，
故选：D．
4. 下列图形中不属于轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A选项符合题意；
B、C、D都是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
5. 如图，点是上两点，连接并延长交切线于点，连接、、、，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由切线的性质得，求出，再由等边对等角得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】解：切于，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
6. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案．
【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点B的坐标为，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为，
故选：A．
7. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
为中点，且交于点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
8. 在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. 随x的增大而减小B.
C. 当时，D. 方程组的解为
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意；
C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
9. 如图，在中，、、为半径，连接、、．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由圆周角定理可得：，
，
∴，
又∵，
∴，
故选：C．
10. 如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质以及勾股定理是解题的关键．
连接交于O，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值．
【详解】解：如图所示，
连接交于O，以，为邻边作平行四边形，
，，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
即的最小值是
故答案为：D．
11. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，则弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，再求得，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
，，，
，，
，
为等边三角形，
，
，
的长为：，
故选：B．
12. 如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，动点函数的知识．根据图2知，，利用正切函数的定义求得的长，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：根据图2知，，
当时，，，
∵，
∴，
，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．）
13. 已知一元二次方程的两根为、，则 ______．
【答案】54
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟知“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．先根据题意得出与的值，代入变形后的代数式进行计算即可．
【详解】解：一元二次方程的两根为、，
，，
．
故答案为：54．
14. 正整数、分别满足、，则____________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的估值，掌握立方根，平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定a，b的值是解题的关键．根据a，b的范围，先确定a，b的值，再计算即可；
【详解】解：，为正整数，，，即，
，，
，
故答案为：16．
15. 如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过作，垂足为，连接，若，，则的最小值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是找出使最小时，点O的位置．先说明的形状固定，点F的位置固定，点O为对角线与的交点，点O在的垂直平分线，过点作于，过点作于，过点作于，根据垂线段最短，则的最小值为的值，根据含直角三角形的性质求出的长即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
，，
，
，
，
是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，如下图所示，过点作于，过点作于，过点作于，所以垂线段最短，则的最小值为的值，
，
，
，
中，，
，，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线上有一动点A，连接并延长至点B，使得，点C在x轴上，连接交双曲线于点D，延长交x轴于点E．若，，，则k的值为__________．

【答案】18
【解析】
分析】取中点，连接，由中位线定理可得，，进而可得，结合题意得，则，进而得，则，过点作，过点作，，则，可得，，，再通过解直角三角形求得，，可得，解得：，即可求解．
【详解】解：取中点，连接，
∵，即为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，则，
过点作，过点作，

∵，设，
∴，则，，，
∴，则，，
∴，
∵，
∴，
，
则，
∴，
∵，在上，
∴，解得：，
∴，
故答案为：18．
【点睛】本题考了反比例函数与几何综合，三角形中位线定理，解直角三角形等知识点，添加辅助线构造直角三角形，求得，的坐标是解决问题的关键．
三、解答题（9个小题，共98分．）
17. （1）计算：；
（2）先化简再求值：选一个使原代数式有意义的数代入中求值．
【答案】（1）6；（2），时，原式（答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算和分式化简求值，解题的关键是掌握实数相关运算的法则和分式的基本性质．
（1）先算零指数幂，负整数指数幂，把特殊角三角函数值代入，求出算术平方根，再算加减；
（2）把除化为乘，分解因式约分后再算减法，化简后将有意义的的值代入可算得答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当，时原式无意义，
把代入得：原式（答案不唯一）．
18. 如图，在中，，点关于的对称点为，连接．求证：四边形是菱形．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，轴对称的性质，先根据关于的对称点为，得出，结合，得出，因为对角线互相平分且相等的四边形即为菱形，即可作答．
【详解】如图，连接交于，
关于的对称点为，
垂直平分，
，
，
∴是等腰三角形
，
四边形是菱形．
19. 如图，在⊙O中，四边形内接于，连接，，点E在延长线上，且．
（1）探究与的位置关系，并证明；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）与相切，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，切线的证明，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）连接，可知是的直径，得，则，由，，得，则，即可证得与相切；
（2）由题意可知，在通过解直角三角形求得，则，得，，再根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
与相切，
证明：连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，则，
∴与相切；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，A、D、B、F在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接、，求证四边形为平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形判定定理．
（1）由可证；
（2）结合（1），用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答．
【小问1详解】
证明：，
，
，
∵，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图：
由（1）知，
， ，
，
又∵，
四边形为平行四边形．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点， 其中A点坐标为．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）若点C在y轴上，且满足的面积为10，求点C的坐标．
【答案】（1），，
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积．
（1）采用待定系数法，把点代入函数和，即可求出m和k的值，从而得到反比例函数和一次函数的解析式．解两个函数构成的方程组，即可得到交点坐标，从而解答；
（2）根据图象，不等式的的解集就是反比例函数的图象位于一次函数图象上方时横坐标x的取值范围；
（3）先求出一次函数图象与y轴的交点，过点作轴于点E，过点作轴于点F，得到，，设C点的坐标为，则，根据即可得到方程，求解即可．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数和一次函数的图象上；
∴，，
解得：，，
∴反比例函数的解析式为，
一次函数的解析式为；
解方程组，得，，
经检验，，均是方程组的解，
∴反比例函数与一次函数图象的另一交点B的坐标为；
【小问2详解】
由图象可知，不等式的解集是或；
【小问3详解】
设与y轴的交点为M，

令，则，
∴点M的坐标为，
过点作轴于点E，过点作轴于点F，
∴，
设C点的坐标为，
∴
∵
∴，
∴，
解得或，
∴点C的坐标为或．
22. 已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；
（3）如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于，两点，求直线过定点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）恒过定点
【解析】
【分析】（1）求出点坐标为，进而求出，，利用待定系数法即可求解；
（2）设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点．先求出，证明得到，再求出，，即可求出或，从而得到，即可求出；
（3）先求出抛物线的解析式为，设直线的解析式为，且，、，，根据，得到，整理得，联立，得，即可得到，，进而得到，，从而得到，求出或，当时，直线的解析式为，即直线过定点，不符合题意；当时，直线的解析式为，得到直线恒过定点．
【小问1详解】
解：令，得，
，
，
，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点．
则，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标为，
，
，，
，
，
解得：或，
点第一象限，
，
，，
，；
小问3详解】
证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的抛物线，
抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，且，、，，
点在抛物线上，，
，
，
，
整理得：，
联立，得，
，，
，
，
，
即，
或，
当时，直线的解析式为，
即直线过定点，与重合，不符合题意；
当时，直线的解析式为，
直线恒过定点．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程根于系数的关系等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
23. 如图，点在函数的图像上，过点作轴和轴的平行线分别交函数的图像于点，，直线与坐标轴的交点为，．
（1）设点横坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______．（用含字母的式子表示）
（2）当点P在函数的图像上运动时，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由．
（3）请直接写出与满足的数量关系．
【答案】（1）；；
（2）不发生改变，
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件可先求得点坐标，从而可求得点纵坐标，再代入可求得点与点的坐标；
（2）设出点坐标，从而可表示出、的坐标，则可表示出和的长，可求得的面积；
（3）可证明，利用（2）中和的长可表示出，可得到，继而证明，然后根据全等三角形的性质即可解答．
【小问1详解】
解：∵点横坐标为，点在函数的图像上，点，在函数的图像上，
∴点的纵坐标为，
∵轴，轴，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：；；；
【小问2详解】
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的面积不发生变化，的面积为；
【小问3详解】
．
理由：如图，延长交轴于点，延长交轴于点，
∵轴，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，考查了函数图像上点的坐标特征，平行线的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识．（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中用表示出、的长是解题的关键，在（3）构造全等三角形是解题的关键．
24. 已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；
（3）若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点的坐标为，，
（4）存在，定点，的值为
【解析】
【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案；
（2）根据抛物线解析式求出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，设，则，根据，及、两点坐标得出是等腰直角三角形，利用表示出的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案；
（3）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案；
（4）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可．
【小问1详解】
解：∵，在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：．
【小问2详解】
∵抛物线的表达式为：，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：
∴直线的解析式为，
设其中，则，
∴
∵，，
∴
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
∴的周长
，
∴当时，的周长有最大值，．
【小问3详解】
由题意知，抛物线对称轴为直线，，，
设点坐标为，点Q坐标为，
①当为对角线时，，
解得：，
∴，
②当为对角线时，，
解得：，
∴，
③当为对角线时，，
解得：，
解得：，
综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为，，．
【小问4详解】
当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即，
设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则，
联立新抛物线与直线的解析式得：
∴，
∴，，
，
同理，，
，
∵为定值，
∴，
解得：，
当时，，
∴定点的值为4．
【点睛】本题考查二次函数的综合，包括待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键
25. A4纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸．
（1）观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为 ．
（2）探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点?请说明理由．
（3）拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．
【答案】（1）
（2）是，理由见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）设纸较长边的长为a，较短边长为b，易求得第一次折痕长为，根据第1次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解；
（2）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导出即可；
（3）延长、相交于点P，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明得到，进而可求得，即可证得结论．
【小问1详解】
解：设纸较长边的长为a，较短边长为b，
由题意，第一次折痕长为，
∵第1次折痕与纸较长的边重合，
∴，即，
故答案为：；
【小问2详解】
解：点E是的中点，理由如下：
由（1）得，设，，
由折叠使得点A和点C重合得，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
即点E是的中点；
【小问3详解】
解：如图，延长、相交于点P，
∵四边形是正方形，
∴，，，
由折叠性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴G是的黄金分割点．
【点睛】本题考查矩形与折叠性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、黄金分割等知识，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．