2024年陕西省榆林市高新区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共21分）
一、选择题（共7小题，每小题3分.计21分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
2. 下列四个几何体中，左视图是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．根据左视图是从左面看到的视图，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A． 球的左视图是圆，不符合题意；
B． 这个三棱柱的左视图是三角形，不符合题意．
C．圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意；
D． 圆柱的左视图是矩形，符合题意；
故选：D．
3. 如图，已知直线，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，掌握三角板的特点和平行线的性质定理是解题关键．根据“两直线平行，同旁内角互补”可求出，结合题意和三角板的特点即可求解．
【详解】解：如图，
因为，
所以．
因为，，
所以，
所以．
故选C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘．
根据积的乘方法则、幂的乘方、同底数幂相乘计算即可．
【详解】解：A、，故选项错误．
B、，故选项错误．
C、，故选项错误．
D、，故选项正确．
故选：D．
5. 在平面直角坐标系中，把直线（k为常数且）向右平移2个单位长度，平移后的直线经过点，则k的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，求出平移后的解析式，将代入求出即可．
【详解】解：由题意，平移后的直线的解析式为：，把代入，得：
，
解得：；
故选C．
6. 如图，是的直径，是的弦，交于点D，连接、，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，由得，由三角形内角和得，等量代换得，利用等腰三角形的性质可得，利用圆周角定理可得，进而即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7. 已知二次函数（a为常数且）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的对称性，利用对称性求出对称轴，然后解出a的值，代入解题即可．
【详解】∵二次函数的图象经过和，
∴抛物线的对称轴为，即，
解得：，（不符合题意的根舍去）
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴二次函数与y轴的交点坐标为，
故选B．
第二部分（非选择题 共99分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8. 如图，点在数轴上表示的数为，将点向左平移个单位长度得到点，则点表示的数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，用数轴表示数，根据左减右加进行计算即可，掌握数形结合的思想是解题的关键．
【详解】解：∵点在数轴上表示的数为，将点向左平移个单位长度得到点，
∴点表示的数为：
，
故答案为：．
9. 某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数．
先算出正五边形的每个内角的度数，让减去个内角的度数和的差除以即可．
【详解】正五边形内角和为，
正五边形每个内角是，
∴．
故答案为．
10. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，若开始输入的值为，发现第次输出的结果为，第次输出的结果为，……，则第次输出的结果是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数每个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前个数，从从而得出这列数每个数为一个周期的规律，即可求解．
【详解】解：由题知，，
第次输出的结果为；
第次输出的结果为；
第次输出的结果为；
第次输出的结果为；
第次输出的结果为；
第次输出的结果为；
…，
依次类推，输出的结果按，，，，循环出现，
因为，
所以第次输出的结果为．
故答案为：．
11. 如图，在中，点E是延长线上一点，连接交于点F，若，，则的面积为________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，求出，，然后证明求出，然后根据即可求解.
【详解】解：在中，，，，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
即，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积为，
故答案为：12.
12. 若反比例函数（k为常数且）与一次函数的一个交点的坐标为．则k的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，根据两函数图象交点的横坐标求出其交点坐标是解答此题的关键；把代入一次函数求出交点坐标，再把此坐标代入反比例函数即可求出k的值；
【详解】解：反比例函数（k为常数且）与一次函数的一个交点的坐标为，
把代入，得，
是两函数的交点，
把代入得，，解得，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，，点E是对角线上的一个动点，连接，点F在线段上，连接、，若，则的最小值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练运用各性质是解题的关键．
根据矩形的性质得，取的中点G，连接、，得到，再根据当A、F、G三点共线时，最小，即可解答．
【详解】由题意可得，，
则，
．
取的中点G，连接、，
可得，．
在中，，
当A、F、G三点共线时，最小，
此时，即，
的最小值为2．
故答案为：2．
三、解答题（共14小题.计81分.解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合计算，涉及零指数幂，二次根式，特殊角的三角函数值，绝对值．
分别进行绝对值，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可．
【详解】解：原式
.
15. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确解出每个一元一次不等式的解集，是解答的关键．
分别解出两个一元一次不等式的解集，然后确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，
得．
解不等式，
得．
不等式组的解集为．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合计算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
将括号里面的通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
.
17. 如图，在中，利用尺规作图法求作，使与的交点到圆心的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】本题考查复杂作图，垂线段最短，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图（过直线外一点作已知直线的垂线），逐步操作．过点作于点，以点为圆心，为半径画圆即可．
【详解】解：过点作于点，以点为圆心，为半径画圆，
∴点到的距离为的长，
此时与的交点到圆心的距离最短，
则即为所作．
18. 如图，在四边形中，，连接、，且，求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，先证明，根据性质得，从而有四边形是平行四边形，最后由即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，和直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
19. 某商场因换季清仓，对某件标价为元的服装进行打折销售，若按标价打折，再降价元销售，仍可获利，求这件服装的进价．
【答案】元
【解析】
【分析】此题主要考查了一元一次方程应用，解决本题的关键是得到商品售价的等量关系．
根据题意可知商店按元的折，再降价元销售，设该服装进价为元，其利润为，由利润=售价-进价建立方程，求出解即可．
【详解】解：设这件服装的进价为元，
，
解得：．
答：这件服装的进价为120元．
20. 求证：对任意整数，整式值都能被10整除．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式把整式化简，化简后的式子中只要含有因数10即可．
【详解】证明：
．
∵为整数，
∴能被10整除，
∴对任意整数，原式的值都能被10整除．
21. 甲、乙两人玩转转盘游戏，如图所示的转盘被平均分成三个面积相等的扇形区域．额色分别为红、黄、蓝，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次），甲转动转盘两次，乙不看甲转出的结果猜测两次转出的颜色相同．若乙的猜测与甲转出的结果相同，则乙获胜；若乙的猜测与甲转出的结果不同，则甲获胜．
（1）甲转出的结果为“两次转出的颜色中没有红色”是_________事件；（填“确定”或“随机”）
（2）请用列表或画树状图的方法求乙获胜的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据两次转出的颜色种可能有红色，也有可能没有红色即可得到答案；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到转出两种颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
小问1详解】
解：∵一共有3种颜色，每一种颜色被转出的可能性相同，
∴两次转出的颜色种可能有红色，也有可能没有红色，
∴甲转出的结果为“两次转出的颜色中没有红色”是随机事件，
故答案为：随机；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由图可知共有9种等可能的结果，其中两次转出的颜色相同的结果有3种，
乙获胜的概率为．
22. 某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下：
请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．延长交的延长线于点G，过点C作于点H． 则四边形是矩形，根据斜坡的坡度，可得，，从而得到．在中，根据锐角三角函数可得，即可求解．
【详解】解：延长交的延长线于点G，过点C作于点H． 则四边形是矩形，
，．
∵，坡度，
∴，，
．
，
．
在中，，
即
，则，
，
该居民楼的高度为．
23. 世界水日为每年的3月22日，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某市节约用水，采取阶梯分段收费标准，已知用户每月用水量不超过15吨时，水费为a元/吨，每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系如图所示．
（1）填空：__________；
（2）当用水量x超过15吨时，求y与x之间的函数表达式；
（3）若某用户3月份交水费45元，求该用户3月份的用水量．
【答案】（1）2 （2）
（3）20吨
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，以及一次函数解析式的求解，熟悉一次函数图象和性质是解决问题的关键．
（1）用户每月用水量不超过15吨时，y与x之间的函数图象是直线，为一次函数．当水量15吨时，水费为30元，所以水费a等于总的水费除以用水量．
（2）当用水量x超过15吨时，y与x之间的函数图象是直线，为一次函数，过两点、，用待定系数法求解析式即可．
（3）根据图象可知，交水费45元时，对应的横坐标用水量超过了15吨，因此将水费代入第二问的解析式即可求用水量．
【小问1详解】
解：当每月用水量不超过15吨时，y与x之间的函数图象是一条过原点的线段，为一次函数，
当吨时，元，
水费元/吨．
【小问2详解】
解： 当用水量x超过15吨时，根据y与x之间的函数图象可知，是关于的一次函数，设其解析式为∶，过点、，代入解析式得
，解得，
当用水量x超过15吨时，y与x之间的函数表达式为．
【小问3详解】
解：由可知该用户3月份用水量超过15吨，
令，
解得，
该用户3月份的用水量为20吨．
24. 二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．为了了解学生掌握中华传统节气知识的情况，增强学生民族自豪感，某校在春分这天举行了以“春趣盎然，莫负春分好时光”为主题的知识竞赛活动（全校学生均参加），并从中随机抽取了50名学生的竞赛成绩（分数为整数，满分10分），将调查结果绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）求所抽取学生此次竞赛成绩的平均数、中位数与众数；
（3）已知该校共有1500名学生，估计此次竞赛成绩不低于9分的学生人数．
【答案】（1）见解析 （2）平均数是7.66分，中位数是8分，众数是8分
（3）估计此次竞赛成绩不低于9分的学生约有510人．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、中位数、平均数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图，并掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键．
（1）根据条形统计图，先算出8分学生的人数，再补全条形统计图；
（2）利用平均数、中位数、众数的求法，直接求值即可；
（3）先计算抽样学生中成绩不低于9分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．
【小问1详解】
解：8分学生的人数有（人），
补全条形统计图如下：
；
【小问2详解】
解：（分），
所抽取学生此次竞赛成绩的平均数是7.66分，
按从小到大排列，排在最中间的两个数都是8分，
中位数是8分，
出现次数最多的是8，
众数是8分；
【小问3详解】
解：（人），
估计此次竞赛成绩不低于9分的学生有510人．
25. 如图，在中，以为直径的交于点D，点E是的中点，连接交于点F，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理及其推论，三角函数，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键；
（1）根据圆周角定理证明即可；
（2）由三角函数可得，可设，则，再根据勾股定理求解即可；
【小问1详解】
证明：连接，
是的直径，
，
，
点E是的中点，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
【小问2详解】
解：，，
，
设，则，
，
，
解得（负值舍去），
，，
，
，
．
26. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在点，点的坐标为或
【解析】
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式．
（2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解．
【小问1详解】
将，代入中，
得，
解得：
抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
由题意和可得，
，
可设直线的函数表达式为：，
将代入得：，
，
直线的函数表达式为.
设（），分两种情况：
①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）.
则，
故的纵坐标与的纵坐标相等为，
将代入中，可得的横坐标为，
则点E的坐标为，
，即，
解得（，要舍）或，
点的坐标为．
②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H，
，，
易得，
则，
则的纵坐标为，
点的坐标为．
点在直线上，
，
解得或2（，要舍），
点的坐标为．
综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或．
27. 【问题提出】
（1）如图1，在中，点D、E分别在、上，连接，且，若，，则的长为_______；
【问题探究】
（2）如图2，在和中，点B、C、D在同一条直线上，，，判断与的数量关系，并说明理由；
问题解决】
（3）如图3，五边形是某植物园的平面图，C、D分别是植物园的入口和出口（可看作点），和是进出植物园的两条主路，该植物园为举行春季花展，现要在出入口C、D之间进行花墙装饰工作．已知，，，，，求装饰的花墙的长度．（结果保留根号）
【答案】（1）5；（2），理由见解析；（3）m
【解析】
【分析】（1）通过证明，得出，即可解答；
（2）通过证明，即可得出结论；
（3）过点D作交的延长线于点F，过点F作交的延长线于点M，交的延长线于点N，延长交于点G．易得四边形、四边形和四边形是矩形，通过证明，得出，．设，则，，再证明，得出，即，求出x的值，即可解答．
【详解】解：（1）∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
（2）．理由如下：
，点B，C、D在同一条直线上，
．
在和中，，，，
，
．
（3）过点D作交的延长线于点F，过点F作交的延长线于点M，交的延长线于点N，延长交于点G．
则四边形、四边形和四边形是矩形，
，，，，．
在中，，，
，，
，
，
．
在和中，，，，
，
，．
设，则，
在中，，，
，
．
，
，即，
解得，
，
故装饰的花墙的长度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定方法，正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形．
活动目的
测量居民楼的高度
测量工具
皮尺、测角仪
测量示意图及说明
说明：测量仪、居民棱．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内
测量过程及数据
测量小组在距离居民楼（）处的斜坡上的点D处放置测角仪，测得居民楼楼顶A的仰角为，斜坡的坡度，，
参考数据
，，
备注
测量过程注意安全