福建省莆田市秀屿区毓英中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 下列各数中是无理数（ ）
A. 1.010010001B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．根据无理数的定义即可判定选择项．
【详解】是无理数，
1.010010001，，是有理数，
故选：C．
2. 杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，有最高2600000人同时在抖音收看直播． 将数字2600000用科学记数法表示应为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，确定与的值是解题的关键．
【详解】解：，共有位数字，的后面有位，
，
故选：D．
3. 按如图摆放的几个几何体，左视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的左视图判断即可．
【详解】A、左视图是长方形，不符合题意；
B、左视图是三角形，符合题意；
C、左视图是圆，不符合题意；
D、左视图是长方形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了常见几何体的左视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
4. 下列说法不正确的是（ ）
A. 矩形的对角线相等且互相平分
B. 菱形的对角线互相垂直平分
C. 正方形的对角线相等且互相垂直平分
D. 平行四边形、矩形、菱形都是轴对称图形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，根据正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，轴对称图形，即可逐一判断．
【详解】解：A．矩形的对角线相等且互相平分，故A正确，不符合题意；
B．菱形的对角线互相垂直平分，故B正确，不符合题意；
C．正方形的对角线相等且互相平分，故C正确，不符合题意；
D．平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故D不正确确，符合题意．
故选：D．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂、幂的乘方、积的乘方运算法则及完全平方公式计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
7. 已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米／小时，设轮船在静水中的速度为x千米／小时，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/小时，根据“轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设轮船在静水中的速度为x千米／小时，列方程为：，
故选C．
8. 在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表：
若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是（ ）
A. 39B. 40C. 41D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确获得函数解析式是解题关键．根据题意，可知鞋号与脚长的对应关系为一次函数，设鞋号与脚长的关系式为，利用待定系数法解得函数解析式，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可知鞋号与脚长的对应关系为一次函数，
设鞋号与脚长的关系式为，
根据题意，可得，解得，
所以鞋号与脚长的关系式为，
若小华的脚长为259毫米，可令，
则有，
解得，
所以，他的鞋号（码）是41．
故选：C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为，连接，以为边，为直角，在右侧作等腰直角三角形，则点D的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质；
首先求出点，进而得，，过点D作轴于点E，证，得，，由此求出，据此可得点D的坐标．
【详解】解：对于，当时，，
则点，
又∵点C的坐标为，
∴，，
过点D作轴于点E，如图所示：

∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴点D的坐标为．
故选：A．
10. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（ ）
A. m≤2或m≥3B. m≤3或m≥4C. 2＜m＜3D. 3＜m＜4
【答案】B
【解析】
【分析】把A（4，4）代入抛物线y=ax2+bx+3得4a+b=，根据对称轴x=-，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0【详解】把A(4,4)代入抛物线y=ax2+bx+3得：
16a+4b+3=4，
∴16a+4b=1，
∴4a+b=，
∵对称轴x=−,B(2,m)，且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0∴0<|2−(−)|≤1
∴0<||≤1，
∴||≤1，
∴a≥或a≤−，
把B(2,m)代入y=ax2+bx+3得：4a+2b+3=m，
2(2a+b)+3=m，
2(2a+−4a)+3=m，
−4a=m，
a=-，
∴-≥或-≤-，
∴m≤3或m≥4.
故答案选：B.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，运用公式法分解即可
【详解】解：
，
故答案：
12. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13. 若一个圆锥的底面半径是3cm，母线长是8cm，则其侧面展开图的面积是_____cm2．（结果保留π）
【答案】24π
【解析】
【分析】利用圆锥的侧面积公式计算．
【详解】圆锥侧面展开图的面积＝×2×3π×8＝24π（cm2），
故答案24π．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积：S侧=×2πr•l=πrl是解题的关键．
14. 若一组数据的方差为，则这组数据的众数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据方差的计算公式得出这组数据为、、、、、、、，，再由众数的概念可得答案．
【详解】解：由题意知，这组数据为、、、、、、、，，
所以这组数据的众数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和众数的定义．
15. 如图，点，，，，，分别是正六边形各边的中点，则六边形与六边形的周长比为______．
【答案】
【解析】
【分析】设正六边形的中心为，周长是，连接，，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到结论．
【详解】解：设正六边形中心为，连接，，
设正六边形的周长是，
，
，
顺次连接正六边形各边的中点、、、、、得到的六边形为正六边形，
，
六边形的周长是，
与六边形的周长比，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16. 如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，，点E为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，点D关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上，则_____．

【答案】
【解析】
【分析】过点B作x轴的垂线交反比例函数与F，由题意可得直线的解析式为：，设，由点C在反比例函数的图象上，求得，进而求得点D的坐标为：，由于可设直线的解析式为：，则：点，，由点D和点F关于直线的对称，点F的坐标为：，由点F在反比例函数的图象上，求得，（舍去），进而可得点B的坐标为：，进而可求得，利用相似三角形的判定及性质可得，则利用即可求解．
【详解】解：过点B作x轴的垂线交反比例函数与F，如图所示：

则，
，
又点D关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上，
点D关于直线的对称点为点F，
点A，点B分别在y轴，x轴上，，点E为的中点，
，，
直线的解析式为：，
设，
点C在反比例函数的图象上，
，
解得：，（舍去），
点C的坐标为：，
，
点D的坐标为：，
，
，
设直线的解析式为：，
则：点，，
点D和点F关于直线的对称，
，
点F的坐标为：，
点F在反比例函数的图象上，
，
解得：，（舍去），
点B的坐标为：，
，
，
，
，，
，
，即：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、正比例函数的解析式、函数图象上点的特征、轴对称的性质及相似三角形的判定及性质，本题综合性较强，设直线的解析式为，利用b表达点B的坐标为解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算二次根式，特殊的三角函数值，零指数幂，绝对值，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题是实数的混合运算，考查了二次根式，特殊的三角函数值，零指数幂，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．根据分式的混合运算法则将分式化简后，再代入求值即可．
【详解】
，
当时，原式．
19. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，根据旋转前后对应角相等、对应边相等，可得，，进而证明，推出，即可证明．
【详解】解：由旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，杭州某高校大学生积极参与志愿者活动，亚奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）该校参加志愿者活动的大学生共有 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，安保对应的圆心角为 度；
（3）现有甲、乙、丙、丁4名展示志愿者，亚奥组委决定在这4名展示志愿者中任选2人参加亚运会开幕式，请用列表法或树状图，求甲和乙同时被选中参加开幕式的概率．
【答案】（1）40，见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．
（2）利用样本容量计算出生活类的人数，利用扇形的知识计算求解可得到结论．
（3）利用画树状图计算即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
【小问1详解】
∵(人)，
∴联络人数为：（人），
故答案为：40．补图如下：
【小问2详解】
根据题意，得，
故答案为：．
【小问3详解】
根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，恰好是甲乙的可能性有2种，
∴恰好甲乙的概率是．
21. 如图，在中，，是的平分线，且交于点．

（1）在斜边上求作点，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，过点作的垂线，交于点；
（2）根据已知得出，根据角平分线得出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据求得，进而勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求；
【小问2详解】
，
，
，
，
平分，
，
，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作垂线，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示：
其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？
【答案】（1）W＝200x+140000；（2）最多可获得利润156000元．
【解析】
【分析】（1）根据两种蔬菜的每吨获利情况和蔬菜的总重量求得W与x之间的关系即可；
（2）首先根据两种蔬菜的运往市场的量的关系确定x的取值范围，然后即可确定W的最值．
【详解】解：（1）根据题意得：W＝1200x+1000（140﹣x）＝200x+140000．
（2）根据题意得，5%x+3%（140﹣x）≤5.8，
解得 ：x≤80．
∴0＜x≤80．
又∵在一次函数W＝200 x+140000中，k＝200＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W最大＝200×80+140000＝156000．
∴将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数的应用以及解一元一次不等式，属于基础题目，易于理解掌握．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：米；任务2：会被照射到；任务3：
【解析】
【分析】本题主要考查真实情景下的三角函数的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键．
（1）先过点作于点，过点作于点，再求出，从而得出。可证，最后利用三角函数即可得出的长度
（2）过点作交于点，因为点时，此时，通过三角函数即可求出的长度，在作比较即可；
（3）过点作交于点，时，在到之间，通过三角函数分别求出两种极端情况下的长度，即为的取值范围．
详解】解（1）如图1，过点作于点，过点作于点．
，，
，
，
，
．
，
，
，
，四边形为矩形，
，，
，
，
在中，（米）．

（2）方法1：
如图2，过点作交于点．
由（1）知，，
．
在中，，
，
．
在中，，
在中，，
在中，当时，，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到．

方法2：
如图2，过点作交于点．
与方法1同理得，得，，
．
在中，．
小明会被照射到．
（3）由（2）知，当时，；
由（1）知，，
当时，
在中，，
，
，
在中，，
在中，当时，，
；
．
24. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为．其中，．
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）如图，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标；
（3）如图，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）过点作轴于，过点作轴于，设点，由，得，列出关于m的方程即可求解；
（3）设，直线的解析式为：，表示出，，结合是一个定值，求出t的值，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点为，且经过点，
∴
解得，
∴该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则，
∵，，
∴，，
把代入得，，
∴，
∴，
设点，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得，，
解得或（不合，舍去），
∴；
【小问3详解】
解：设，
设直线的解析式为：，
∴，即，
∴直线的解析式为：，
设，
由，得，即：，
∴，
∴
=
∵线段的中点是，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即时，是定值，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，用参数表示一次函数的解析式和线段长时解题的关键．
25. 如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点．
（1）求证：；
（2）如图2，若点在上，直接写出的值；
（3）如图1，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）等腰直角三角形，证明见详解
【解析】
【分析】（1）利用“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明结论即可；
（2）如下图，连接，由（1）可知，，，由相似三角形的性质可得，利用等腰三角形“三线合一”的性质以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，即，再证明，易得，然后根据求解即可；
（3）延长交于点，连接，，设交于点，证明，得到，，再证明，得到，，进而得到，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
∴，即，，
∴；
【小问2详解】
解：如下图，连接，
由（1）可知，，，
∴，
∵，，是的中点，
∴，，即，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，证明如下：
延长交于点，连接，，设交于点，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形．
鞋号（码）
…
33
34
35
36
37
…
脚长（毫米）
…
…
销售品种
A种蔬菜
B种蔬菜
每吨获利（元）
1200
1000
探究遮阳伞下的影子长度
素材1
图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．

素材2
某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
16点
17点
太阳高度（度）
90
75
60
45
30
15
参考数据：，．
素材3
小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点．
问题解决
任务1
确定影子长度
某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2
判断是否照射到
这天点，小明坐在离支架米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3
探究合理范围
小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．