广东省揭阳市惠来县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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说明：
1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、学校、班级、姓名、考场号、考场座号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡按时交回．
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下面的四个图形中，与是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据定义判断即可：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有B选项中的与是对顶角，其它都不是，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角的定义．掌握定义是解题关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算法则进行求解判断即可．
【详解】A. 和不是同类项，不能合并，错误，该选项不符合题意；
B. ，正确，该选项符合题意；
C. ，错误，该选项不符合题意；
D. ，错误，该选项不符合题意；
故选：B.
3. 的运算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键.
根据多项式乘多项式的法则计算即可.
【详解】
故选：D.
4. 已知，，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 12D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟记平方差公式是解此题的关键．
根据平方差公式可将原式化，然后将已知条件代入求值即可．
【详解】解：
，，
原式，
．
故选：D．
5. 已知是一个完全平方式，则m的值为( )
A. B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，可知m为的2倍，由此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查逆用完全平方公式，能够熟练运用完全平方公式是解决本题的关键．
6. 如图，直线与直线都相交．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行同位角相等结合対顶角相等即可得到答案
【详解】解：∵，，
，
∴，
∴，
故选：B．
7. 如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：由，可以判定（内错角相等，两直线平行），故A符合题意；
由，不能判定，故B不符合题意；
由，能判定（同位角相等，两直线平行），不能判定，故C符合题意；
由，可以判定（同旁内角互补，两直线平行），不能判定，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．
8. 某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据，若旅客携带了40千克的行李，他应该支付的运费为（ ）
A. 450元B. 500元C. 560元D. 600元
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了从表格中找出数字的规律，并用这个规律解决实际问题，找出数字的变化规律是解题的关键．
先确定旅客可免费携带行李的质量，再利用表格找出增加的行李质量数与增加的运费数之间的关系，算出超过20千克的行李，每千克收取的费用，据此计算即可．
【详解】观察表格可得：
旅客携带了20千克的行李是免费的，
∵（千克）,（元）,
∴超过20千克的行李，每千克收费为：（元）
∴若旅客携带了40千克的行李，他应该支付的运费为：（元）．
故选：D．
9. 如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹是（ ）

A. 以点B为圆心，OD为半径的弧
B. 以点C为圆心，DC为半径弧
C. 以点E为圆心，OD为半径的弧
D. 以点E为圆心，DC为半径的弧
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据题意，所作出的是∠OBF=∠AOB，，
根据作一个角等于已知角的作法，是以点E为圆心，DC为半径的弧．
故选D．
10. 在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A. 小汽车共行驶
B. 小汽车中途停留
C. 小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时
D. 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查从函数图像中获取信息，涉及行程问题公式：路程速度时间，数形结合逐项判断是解决问题的关键．
【详解】解：A、由图可知，小汽车共行驶，选项正确，不符合题意；
B、由图可知，小车在1小时到1.5小时之间，路程没有变化，中途停留，选项正确，不符合题意；
C、小车前3小时共行驶，故小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时，选项正确，不符合题意；
D、由图可知，小汽车自出发后3小时至5小时是匀速行驶，速度不变，选项错误，符合题意；
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 如图，直线，相交，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，即可得解．
【详解】∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查邻补角的概念及其计算，属于基础题目．
12. 若把数字用科学记数法表示为的的形式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法将，表示出来，即可求出的值．
【详解】解：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，是解题的关键．
13. 已知，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】逆运用同底数幂相乘的法则进行运算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘的法则，正确理解和运用法则是解题的关键．
14. 小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，所行路程与时间的关系如图所示，若返回时上坡、下坡的速度仍与去时上坡、下坡的速度分别相同，则小明从学校骑车回家用的时间是__________．

【答案】37.2
【解析】
【分析】根据图表可计算出上坡的速度以及下坡的速度，又已知返回途中的上下坡的路程正好相反，故可计算出共用的时间．
【详解】由图可得，去校时，上坡路的距离为2000米，所用时间为18分，
∴上坡速度=3600÷18=200米/分，
下坡路的距离是9600-3600=6000米，所用时间为30-18=12分，
∴下坡速度=6000÷ 12=500米/分；
∵去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡，
∴小明从学校骑车回家用的时间是：6000÷+3600÷500=30+7.2=37.2分钟．
故答案为37.2．
【点睛】本题主要考查学生的读图获取信息的能力，解题时需要注意去学校时的上坡，返回家时是下坡，而去学校时的下坡，返回家时是上坡．
15. 我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为______．
【答案】450
【解析】
【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加，
所以，当导热率为时，温度为，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题3小题，共24分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，多项式除以单项式．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，多项式除以单项式的法则是解题的关键．
（1）先算乘法、负整数指数幂、零指数幂，再算加减法；
（2）把多项式的每一项除以单项式，据此求解．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
17. 如图三角板和直尺放置．
（1）与的关系是 ；
（2）若的补角比的2倍多，求的大小．
【答案】（1）互余 （2）
【解析】
【分析】本题考查余角和补角，一元一次方程的应用，找准等量列方程是解题的关键．
（1）根据可以得到两角的关系；
（2）根据题意列出关于的一元一次方程解题即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴与的关系是互余，
故答案为：互余；
【小问2详解】
解：根据题意可得：，
解得：．
18. 一汽车油箱里有油40L，在行驶过程中，每小时耗油2.5L，回答下列问题：
（1）汽车行驶1h后油箱里还有油______L，汽车行驶6h后油箱里还有油______L；
（2）这一变化过程中共有______个变量，其中______是变量，______是常量；
（3）设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q；
（4）这辆汽车最多能行驶多少小时？
【答案】（1）37.5；25
（2）2；油箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量
（3）
（4）16小时
【解析】
【分析】本题考查函数的概念，列函数表达式，求自变量的值，属于基础题，关键是掌握函数的基础知识.
（1）基本关系：油箱里剩下的油=油箱里原有的油-行驶过程中耗掉的油，据此求解即可；
（2）可以取不同的数值的量是变量，数值不变的量是常量，据此判定即可；
（3）根据（1）中的基本关系求解即可；
（4）当油箱里剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令，建立方程求解即可.
【小问1详解】
（L），（L），
故答案为：37.5；25
【小问2详解】
这一变化过程中，变量有：油箱里剩下的油量和行驶的时间，共2个，常量有：每小时耗油的油量；
故答案为：2；油箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量
小问3详解】
由题意，得：
【小问4详解】
当时，有，
解得：
即这辆汽车最多能行驶16小时.
四、解答题（二）（本大题3小题，共27分）
19. 如图，在四边形中，，的平分线交于点E．
（1）若，则＝ °；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）
（2）40°
【解析】
【分析】（1）根据四边形内角和360°以及，可求．
（2）因为，所以，进而可求出，再根据平分可求出，然后利用四边形内角和可求出．
【小问1详解】
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和四边形的内角和，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是本题的解题关键．
20. 如图，长方形的一边长为8，另一边长为x．
（1）长方形的面积y与另一边长x之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当x从6变化到12时（每次增加1），y的相应值；
（3）当x每增加1时，y如何变化？
（4）当时，y等于多少？此时它表示的是什么图形？
【答案】（1）；
（2）
（3）y增加8； （4）当时，，此时表示的图形是正方形．【解析】
【分析】（1）本题主要考查了列函数解析式，根据长方形面积公式求解即可，审清题意、掌握长方形的面积公式是解题的关键；
（2）本题主要考查了求函数值，根据（1）中的函数表达式列表计算即可，掌握函数图像上点一定满足函数解析式是解题的关键；
（3）本题主要考查了数字规律，观察（2）中表格的数据变换情况即可解答；发现规律是解题的关键；
（4）本题主要考查了求函数值，由（2）可知当时，，则长方形的另一边也为8，最后根据正方形的判定定理即可解答；掌握正方形的判定定理是解题的关键．
小问1详解】
解：由长方形的面积公式得：,
∴长方形的面积y与另一边长x之间的关系式是：．
【小问2详解】
解：根据题意列表如下：
【小问3详解】解：根据（2）的列表可以看出：当x每增加1时，y增加8．
【小问4详解】
解：由（2）的表可知：时，，则长方形的另一边也为8，根据邻边相等的长方形是正方形可知：此时表示的图形是正方形．
21. 阅读下面问题：你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：
①______．
②______．
③______．
④由此猜想______．
（2）利用得出的结论计算：．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，多项式乘法中规律性问题，掌握题中规律并正确计算是解题的关键．
（1）根据平方差公式可得①，根据多项式乘多项式可求②、③，根据①、②、③规律可求④；
（2）将式子乘以，利用（1）中规律求解即可．
【小问1详解】
①，
②，
③，
④由此猜想，
故答案为：，，，．
【小问2详解】
．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

（1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为与，且，则长方形的面积是______．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查乘法公式的几何背景，完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
（1）根据大正方形的面积等于中间小正方形的面积加上四个长方形的面积求解即可；
（2）利用（1）中的公式，结合平方根的定义求解即可；
（3）设，，则，，再用完全平方公式变形求解即可．
【小问1详解】
图②中，大正方形的面积=，
大正方形的面积=小正方形的面积+4个矩形的面积=，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）得：，
∵，，
∴，
解得：；
【小问3详解】
设，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理，得，
即长方形的面积是8．
故答案为：8．
23. 【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．
请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．
【实验操作】
（1）如图1，边和边重合摆成图1的形状，则______度；
（2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当是多少度时，？请说明理由；（）
【拓展延伸】
（3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．
【答案】
（1）105
（2）或
（3），，，
【解析】
【分析】本题考查的是角的和差运算，熟练的画出图形，清晰的分类讨论是解本题的关键．
（1）由角的和差关系可得答案；
（2）分两种情况画出图形，再利用角的和差运算可得答案；
（3）分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2）如图，
∵，，
∴，
∵，
∴；
如图，
∵，，，
∴；
（3）如图，
∵，，
∴，
∴；
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
综上：为或或或．x（千克）
20
23
26
29
32
y（元）
0
90
180
270
360
温度
100
150
200
250
300
导热率
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
x
6
7
8
9
10
11
12
48
56
64
72
80
88
96
x
6
7
8
9
10
11
12
48
56
64
72
80
88
96