广东省深圳市实验学校坂田校区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各式中，计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法、除法法则，幂的乘方，合并同类项法则计算判断即可．
【详解】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为，所以D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．即同底数幂相乘（相除），底数不变，指数相加（相减），幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦”．每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰．据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小数时的形式为 ，其中 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0 的数字后面即可，确定n的值时，n等于该数从左起第一个不为0的数字前所有0的个数．
【详解】解：0.0000105
，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的方法．
3. 与互为余角．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了余角的求解，根据题意可知，已知，即可求出的度数．
【详解】解：与互为余角，
，
，
，
故选：B．
4. 下列生活实例中，数学原理解释错误的是（ ）
A. 测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短
B. 用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线
C. 测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段的基本事实，直线的基本事实，点到直线的距离即可求解．
【详解】解：选项，测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短，正确，不符合题意；
选项，用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线，正确，不符合题意；
选项，测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不符合题意；
选项，从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故原选项不正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查直线的基本事实，线段的基本事实，两点之间垂线段最短，点到直线的距离，理解并掌握相关概念是解题的关键．
5. 如图，折线是一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，若从C村修建水渠与方向一致，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的判定得出，可得，进而得出的度数即可得出答案．
【详解】解：如图所示：延长到E，延长至N，

由题意可得：，
当保持与的方向一致，
则，
则，
故．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了方向角以及平行线的性质，得出的度数是解题关键．
6. 若与乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先利用多项式乘以多项式运算法则计算，再令一次项的系数为0，据此求解即可．
【详解】解：，
乘积中不含的一次项，
，解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
7. 如图，图象（折线）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）

A. 汽车共行驶了120千米B. 汽车在整个行驶过程中平均速度为40千米
C. 汽车返回时的速度为80千米/时D. 汽车自出发后小时至2小时之间速度不变
【答案】C
【解析】
【分析】横轴代表时间，纵轴代表行驶路程，利用图象判断相应的路程和时间，再结合速度路程时间，逐项分析，即可得到答案．
【详解】解：A、由图象可以看出，最远处到达距离出发地120千米处，但又返回原地，所以行驶的路程为240千米，原说法错误，不符合题意，选项错误；
B、平均速度总路程总时间，总路程为240千米，总时间为小时，所以平均速度为千米/时，原说法错误，不符合题意，选项错误；
C、汽车返回所用的时间是小时，则平均速度为：千米/时，原说法正确，符合题意，选项正确；
D、汽车自出发后1.5小时至2小时之间静止不动，原说法错误，不符合题意，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，解题关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，熟练掌握速度路程时间．
8. 如果，那么代数式的值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，然后再化简，最后将整体代入求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
=
=
=
=
=1．
故选C．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，正确的运用整式的混合运算法则化简是解答本题的关键．
9. 如图，已知，，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据平行线的性质，可得，，得到，根据即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，，
，
，
故选D．
10. 为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A 1或6秒B. 8.5秒C. 1或8.5秒D. 2或6秒
【答案】C
【解析】
【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设灯旋转的时间为秒，
灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，
灯先转动2秒，灯才开始转动，
，即，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得，符合题设；
②如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得符合题设；
③如图，当时，，
，
同理可得：，即，
解得，不符题设，舍去；
综上，灯旋转的时间为1秒或秒，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，先算零指数幂、负整数指数幂，再计算加法即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 一个角比它的补角小，则这个角的度数为__________．
【答案】84
【解析】
【分析】设这个角为，利用补角的定义列等式，求出这个角的度数．
【详解】解：设这个角为，则它的补角为，
，
，
这个角的度数为．
故答案为：84．
【点睛】本题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义和角度的换算．
13. 已知，则______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，先根据同底数幂除法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用即可求解，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：9．
14. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满.
【答案】4
【解析】
【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案.
【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm；
没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒
前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒
将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满.
故答案：4
【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键.
15. 如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则______度．
【答案】155
【解析】
【分析】首先根据平行线的性质，可设，再根据折叠的性质可得，，，再根据平行线的性质，可得，即可求得x的值，据此即可求得．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
设，
，，
，
由沿AD折叠可知：，
，
由沿EF折叠可知：，
，
，
即，
解得，
，
，
故答案为：155．
【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，折叠的性质，平行线的性质，找准相等的角是解决本题的关键．
三、解答题（共6小题）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（１）根据幂的运算法则及单项式的乘除法法则依次计算即可得解；
（２）根据多项式乘以多项式及单项式乘以多项式的法则依次计算，再合并同类项即可得解．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
【点睛】本题考查了幂的运算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式等，解题关键是熟练掌握相关运算法则．
17. 若，求代数式值．
【答案】
【解析】
【分析】原式中括号里利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出与的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
，
，，
解得：，，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，以及非负数的性质，绝对值及偶次方，掌握平方差公式，多项式除以单项式法则，以及非负数的性质是解本题的关键．
18. 如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
【答案】（1）平方米
（2）平方米
（3）休息区的面积大于游泳池面积
【解析】
【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可；
（2）利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可；
（3）利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可．
【小问1详解】
长方形游泳池面积为：
平方米；
【小问2详解】
∵长方形空地的面积为：
平方米，
∴休息区面积
平方米；
【小问3详解】
∵
，
∴休息区的面积大于游泳池面积．
【点睛】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键．
19. 某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下的主视图．上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1，轴1（安装在点B处）可以控制椅背以顺时针旋转，按下开关2，轴2（安装在点A处）可以控制腿托以顺时针旋转．
（1）课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请作出此时腿托所在的直线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）如图3，按下开关1，使椅背从与発面垂直时的状态顺时针旋转，此时测得，求的度数；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角的性质：
（1）以点A为顶点，作，即可得到所在的直线；
（2）延长，交于点，利用外角的性质和两直线平行，同位角相等，进行求解即可；
熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键．
【小问1详解】
解：（1）如图所示，直线即为所求；
，
，
直线即为所求．
【小问2详解】
延长，交于点，如图：
当时，．
又，
；
，
．
20. 知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
（1）直接应用：若，直接写出的值______；
（2）类比应用：填空：①若，则______；
②若，则_______；
（3）知识迁移，两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若，求一块三角板的面积．
【答案】（1）11 （2）1，20
（3）一块直角三角板的面积为34．
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式的变形可得答案；
（2）①设，，则，，由进行计算即可；
②设，，则，，由进行计算即可；
（3）设，，由题意可得，，，由求出的值即可．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①设，，则，，
，
故答案为：1；
②设，，则，，
，
故答案为：20；
【小问3详解】
解：设，，
，，
，，
即，，
，
即，
，
答：一块直角三角板的面积为34．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键．
21. 已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积与移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答下列问题：
（1）图1中____________；
（2）图2中____________； ____________．
（3）当的面积y为1时，请直接写出x的值____________．
【答案】（1）3 （2）9，26
（3）或25或27
【解析】
【分析】（1）由图象可得点P在B点时，，，进而可得答案；
（2）由图象可得点P在点D时，，，由三角形面积公式可求解；由点P在线段上，且在直线上时，，即可求出n的值；
（3）由三角形面积公式可求得点P到直线的距离为，分别在线段上，线段上求解即可．
【小问1详解】
解：由图象可得：点P在B点时，，，即，
故答案为：3；
【小问2详解】
解：由图象可得：时，点P在上运动；时，点P在上运动，时，点P在上运动，时，点P在上运动，时，点P在上运动，
∴，
当点P在线段上，且在直线上时，，
∴，
故答案为：9，26；
【小问3详解】
解：∵的面积y为1，，
∴点P到直线的距离为，
∴当点P在上时，，
当点P在上时，或，
∴或25或27，
故答案为：或25或27．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，函数图象的识别，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键．
22. 【感知】（1）如图1，为之间的一点，连接，得到．求证：．
图1 图2 图3
小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．
证明：如图①，过点作．
（已知），
______（______）
（______）
（等式性质），
（2）【类比探究】请你利用上述【感知】中的结论进行，证明下面的问题：
如图2，已知，点在上，，
请你说明；
（3）【拓展延伸】如图3，平分平分．若，请直接写出的度数为______．
【答案】（1）；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，
（1）利用平行线的性质和判定可得结论；
（2）利用平行线的性质、平角的定义及等角的补角相等即可证明；
（3）先利用（1）的结论用表示出，再利用平行线的性质用表示出即可求解．
【详解】解：（1）；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；
故答案为：；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；
（2）解：因为，
所以（两直线平行，同旁内角互补）．
因为（平角的定义），
又因为，
所以（等角的补角相等），
即．
所以．
由（1）知，
．
（3）平分，平分，
，．
，
由（1）知，即．
，
，即．
．
，
，即．
．
．
故答案为：．