上海市奉贤区2024届高三第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知复数（为虚数单位），则____________．
2. 不等式的解集为______．
3. 抛物线上一点到点的距离最小值为____________．
4. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为____________．
5. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
6. 已知，且，则____________．
7. 某商品成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于____________时，平均成本最少.
8. 已知向量，，则在方向上的投影向量为____________．
9. 已知多项式对一切实数恒成立，则____________
10. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____________.
11. 点是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点的个数为____________．
12. 函数图像记为曲线F，如图所示.A，B，C 是曲线与坐标轴相交的三个点，直线BC与曲线的图像交于点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，则直线的斜率为____________.(用，表示)
二、填空题（本大题共有4题，满分18分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接涂写结果．
13. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A. y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心（，）
C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
14. 已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A. B.
C. D.
15. 有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）．
A. 甲与乙相互独立B. 乙与丙相互独立
C. 甲与丙相互独立D. 乙与丁相互独立
16. 如图，在等腰梯形中，∥，，，.点是线段上一点，点在线段上，.
命题①：若，则随着的增大而减少.
命题②：设，若存在线段把梯形的面积分成上下相等的两个部分，那么，随着的增大而减少.
则下列选项正确的是（ ）．
A. 命题①不正确，命题②正确B. 命题①，命题②都不正确
C. 命题①正确，命题②不正确D. 命题①，命题②都正确
三、解答题（本大题共有 5 题，满分78分，第 17-19题每题14分，第 20-21题每题 18分）需要写出相应的过程．
17. 已知是公差的等差数列，其前项和为，是公比为实数的等比数列，，．
（1）求和的通项公式；
（2）设，计算．
18. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若某天的空气质量等级为或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，请根据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？（规定显著性水平）
附：，
19. 如图是由两个三角形组成的图形，其中，，，．将三角形沿折起，使得平面平面，如图．设是的中点，是的中点．

（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）连接，设平面与平面交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由．
20. 已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点.
（1）当与轴垂直时，求的面积；
（2）过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；

（3）过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.

21. 已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数.
（1）求函数在点的切线方程；
（2）已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？
（3）若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由. 锻炼人次
空气质量等级
1（优）
3
18
25
2（良）
6
14
3（轻度污染）
5
5
6
4（中度污染）
6
3
0
人次≤400
人次>400
总计
空气质量好
空气质量不好
总计