四川省凉山州宁南县初级中学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并在答题卡背面上方填涂座位号，同时检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题目标号的框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
A卷（共 100 分）
一、单选题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形，是解题的关键．根据中心对称图形的定义，对选项逐个判断即可．
【详解】解：对于A选项，不是中心对称图形，不符合题意；
对于B选项，不是中心对称图形，不符合题意；
对于C选项，是中心对称图形，符合题意；
对于D选项，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，二次根式的化简，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B．，故本选项错误，不符合题意；
C．，故本选项正确，符合题意；
D．，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，二次根式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3. 下列命题是假命题的是( )
A. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 同角(或等角)的余角相等
C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的概念，余角的性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质逐项进行判断即可.
【详解】A.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项是假命题，符合题意；
B.同角(或等角)的余角相等，是真命题，不符合题意；
C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是真命题，不符合题意；
D.正方形的对角线相等，且互相垂直平分，是真命题，不符合题意，
故选A.
【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握轴对称图、中心对称图形、余角的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的性质是解本题的关键.
4. 若一组数据2，3，4，5，x的平均数与中位数相等，则实数x的值不可能是( )
A. 6B. 3.5C. 2.5D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．
【详解】（1）将这组数据从小到大的顺序排列为2，3，4，5，x，
处于中间位置的数是4，
∴中位数是4，
平均数为（2+3+4+5+x）÷5，
∴4=（2+3+4+5+x）÷5，
解得x=6；符合排列顺序；
（2）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，4，x，5，
中位数是4，
此时平均数是（2+3+4+5+x）÷5=4，
解得x=6，不符合排列顺序；
（3）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，x，4，5，
中位数是x，
平均数（2+3+4+5+x）÷5=x，
解得x=3.5，符合排列顺序；
（4）将这组数据从小到大的顺序排列后2，x，3，4，5，
中位数是3，
平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，
解得x=1，不符合排列顺序；
（5）将这组数据从小到大的顺序排列后x，2，3，4，5，
中位数是3，
平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，
解得x=1，符合排列顺序；
∴x的值为6、3.5或1．
故选C．
【点睛】考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
5. 若关于x的方程没有实数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式小于零列式求解即可．
【详解】解：关于x的方程没有实数根，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
6. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解
【详解】解：依题意，得：．
故选：C．
7. 如图，为的内切圆，，，，点D，E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（ ）

A. 9B. 7C. 11D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要是考查了切线长定理，根据切线长定理列出方程是关键．记，，，和圆的切点分别是P，N，M，Q，设，根据切线长定理列方程， 求出，即可求出的周长．
【详解】记，，，和圆的切点分别是P，N，M，Q，
设，
根据切线长定理， 得，，，
则有，
解得，
所以的周长．
故选：C．

8. 如图，米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，若梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向左移（ ）
A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；在直角C中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据即可求得的长度，在直角中，已知，即可求得的长度，根据，即可求得的长度．
【详解】解：在直角中，已知米，米，
则由勾股定理得（米）.
∵，
∴（米）.
∵在直角中，，且为斜边，
∴由勾股定理得（米），
∴（米）.
故选：C．
9. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，根据题意分以下两种情况讨论，①当时，②当时，利用一次函数与反比例函数图象的性质进行分析判断即可解题．
【详解】解：当时，过一、三象限，且过一、三、四象限，故A图象正确，符合题意，C、D错误，不符合题意；
当时，过二、四象限，且过一、二、四象限，故B错误，不符合题意．
故选：A．
10. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为( )
A. πB. πC. πD. π
【答案】A
【解析】
【详解】∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形．由题意得S△AED＝S△ABC，由图形可知S阴影＝S△AED＋S扇形ADB－S△ABC，∴S阴影＝S扇形ADB＝＝π，故选A.
11. 用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了扇形的弧长，求圆锥的高，勾股定理，先求出扇形的弧长，设底面圆的半径为，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，求出，再利用勾股定理即可求出纸帽的高，掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，扇形的弧长，
设底面圆的半径为，
则，
∴，
∴这个纸帽的高，
故选：．
12. 如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，直线是对称轴，有下列结论：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；其中正确结论有（ ）个．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称轴为求出，即可判定①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断②；根据二次函数开口向下，离对称轴越远函数值越大即可判断③；求出，结合即可判断④．
【详解】解：二次函数对称轴为直线，
，即，故①正确；
二次函数经过，
二次函数与轴的另一个交点坐标为，
当时，，故②正确；
抛物线开口向下，
离对称轴越远函数值越小，
是抛物线上两点，，且，
，故③正确；
，，
，即
，故④正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式3a，然后再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14. 已知点点关于轴对称，点，点关于原点对称，则______ ．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标以及关于原点对称的点的坐标特点．根据关于轴对称的两点纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横纵坐标与原来的互为相反数求出、，再代入计算即可．
【详解】解：点点关于轴对称，
．
点，点关于原点对称，
，
．
故答案为：．
15. 已知实数x，y满足，则的平方根为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件，可得x、y的值，最后，再进行计算即可．
【详解】解：∵实数x，y满足，
∴．
∴．
∴的平方根为．
故答案为：．
16. 如图，矩形的对角线相交于点，，垂足为点，，垂足为点，且是的中点．若，则的长为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据矩形的性质可以得到CO=BO，再根据 及E点为CO的中点，由三线合一证明得到等边三角形CBO，从而得到∠DBA=30°，后根据30°直角三角形的性质求得BO长，BD=2BO，即可得出答案．
【详解】解：由题有，E点为CO的中点，矩形ABCD
∴△CBO为等腰三角形，BC=BO
∵CB=BO=CO
∴∠CBD=60°，∠DBA=30°
∵，OF=2
∴BO=2OF=4
∵O点为BD中点
∴BD=2BO=8
故答案为：8
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，30°直角三角形性质等知识点，熟练掌握并运用等边三角形性质和判定并求出∠DBA=30°是本题解题的关键．
17. 已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是______．

【答案】
【解析】
【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
【详解】解：由图形可得：
如图：过作轴，

∵
∴
∴,
同理：
∴点的横坐标为1，点的横坐标为2，点的横坐标为3，……纵坐标三个一循环，
∴的横坐标为2023，
∵，674为偶数，
∴点在第一象限，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规律是解答本题的关键．
三、解答题
18. 计算与解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的意义和算术平方根计算即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，
，
或，
∴．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程和特殊角的三角形函数值，负整数指数幂、绝对值的意义、算术平方根及实数的运算等知点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，2018
【解析】
【分析】本题考查分式运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
根据分式的运算法则进行化简，然后将代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
20. 某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．
（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为_____人，在扇形统计图中，m的值为_____；
（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？
（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．
【答案】（1）40，30
（2）800人 （3）a同学参加的概率为
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
（1）总人数乘以A对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C方案人数，再用C方案人数除以总人数即可得出m的值；
（2）总人数乘以样本中B方案人数所占比例；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为（人），
则选择“书画展览”的人数为（人），
∴在扇形统计图中，，即，
故答案为：，；
【小问2详解】
估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”学生大约有（人）；
【小问3详解】
列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果，
所以a同学参加的概率为．
21. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）

【答案】（70﹣10）m．
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解得到DF的长度；通过解得到CE的长度，则
【详解】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．

则DE=BF=CH=10m，
在中，∵AF=80m−10m=70m，
∴DF=AF=70m．
在中，∵DE=10m，
∴
∴
答：障碍物B，C两点间的距离为
22. 如图，是的直径，的角平分线交于点C，过点C作于D，的延长线与的延长线相交于点P，的角平分线交于点F、交于E．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，根据是的角平分线，证明，进而考点与相切；
（2）根据是的直径，可得，根据，，可得，再根据勾股定理和垂径定理即可得线段的长．
【小问1详解】
如图，连接，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
与相切；
【小问2详解】
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、角平分线的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握切线的判定定理．
B卷（共 50 分）
四、填空题：（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）
23. 若关于x的方程 =2+的解是正数，则m的取值范围是____________.
【答案】m0，求出m的范围，再把使分母为0的x值排除.
【详解】解方程＝2＋得，x＝6－2m.
因为x为正数，所以6－2m＞0，即m＜3.
把x＝3代入方程x＝6－2m得，3＝6－2m，解得m＝.
所以m的取值范围是m