2023-2024学年高一下学期数学期中模拟考试02（人教A版2019）

这是一份2023-2024学年高一下学期数学期中模拟考试02（人教A版2019），共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，已知向量满足满足，，，则，下列有关复数的说法中等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第六章——第八章（人教A版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的虚部是（ ）
A．2B．C．1D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．B．1C．D．
3．如图，在中，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（ ）
A．B．1C．D．2
6．碗是人们日常必需的饮食器皿，碗的起源可追溯到新石器时代泥质陶制的碗，其形状与当今无多大区别，即口大底小，碗口宽而碗底窄，下有碗足．如图所示的一个碗口直径为9.3cm，碗底直径为3.8cm，高4cm，它的形状可以近似看作圆台，则其侧面积约为（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量满足满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)（ ）
A．53米B．55米
C．57米D．60米
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分）
9．下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数的虚部为2
C．若是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则的最大值为2
10．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，.则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
11．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则且
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有周长为的满足．判定下列命题错误的是（ ）
A．的面积为B．在中角
C．的外接圆半径为D．的内切圆半径为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知向量，，若，共线，且，则向量的坐标可以是 .（写出一个即可）
14.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的模为 .
15．在中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
16．如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是 .
三、解答题：共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.、
17．（本小题满分10分）设两个向量满足，
(1)求方向的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
18．（本小题满分12分）在锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求；
(2)若，求的面积.
19．（本小题满分12分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．
(1)求圆锥的表面积；
(2)如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积．
20．（本小题满分12分）已知，，，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，，求周长的取值范围.
21．（本小题满分12分）如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA=5∶8．
(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；
(2)假设存在满足条件（1）的点N，求线段MN的长．
22．（本小题满分12分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知的内角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求.
参考答案
第Ⅰ卷
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的虚部是（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【解析】，虚部为，故选C
2．已知向量，若，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为，所以，解得，故选A
3．如图，在中，，若，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以.
故选：C.
4．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，
由直观图可得原图，如图所示，可知：，
可得，
所以原三角形的周长.

故选：D.
5．在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】由余弦定理，得，
解得AC=1，故选B.
6．碗是人们日常必需的饮食器皿，碗的起源可追溯到新石器时代泥质陶制的碗，其形状与当今无多大区别，即口大底小，碗口宽而碗底窄，下有碗足．如图所示的一个碗口直径为9.3cm，碗底直径为3.8cm，高4cm，它的形状可以近似看作圆台，则其侧面积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：碗口半径为，碗底半径为，
可知母线为，
所以其侧面积约为，故选：C.
7．已知向量满足满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
，
，
因此，故选D．
8．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)（ ）

A．53米B．55米
C．57米D．60米
【答案】A
【解析】如图，连接，

在中，，则是等边三角形，，
由，得，而，在中，由余弦定理得：
（米）.
故选：A
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分）
9．下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数的虚部为2
C．若是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则的最大值为2
【答案】BD
【解析】对于A中，由复数的运算法则，可得，所以A不正确；
对于B中，由复数，可得，可得的虚部为，所以B正确；
对于C中，由若是关于的方程的一个根，
可得方程的另一根为，则，所以C不正确；
对于D中，由复数满足，可得在复平面内表示以为圆心，半径为的圆，
又由表示圆上的点到原点的距离，可其最大值为，所以D正确.
故选：BD.
10．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，.则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】由题意得：，，
对于A项，，
由题意得：，故A正确；
对于B项，，
，故B不正确；
对于C项，，故C项不正确；
对于D项，在上的投影向量为：，
又，，
，故D不正确.
故选：BCD
11．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则且
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若，则结论不成立，错误；
对于B，如图：

设，在l上选一点S，分别在平面内作，在PS和QS上分别选点P，Q，
过P，Q作的垂线，则有，所以四边形SQTP是平行四边形，相交于T点，
又，四边形是矩形，，
又，正确；
对于C，如图：

，在n上选一点S，在平面内作直线SP，使得，令为，在平面内作直线QS，使得，
由于，则根据二面角的定义有，，
又，正确；
对于D，

，在平面内作直线，使得，
如果不平行于n，则由于同在平面内，则必定相交于一点P，则，
在平面内，过P点作直线，使得，则有，与平行线的传递性质矛盾，
，正确；
故选：BCD.
12．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有周长为的满足．判定下列命题错误的是（ ）
A．的面积为B．在中角
C．的外接圆半径为D．的内切圆半径为
【答案】BCD
【解析】由题意结合正弦定理可得：，
设，
周长为，即，
，，，.
由题中公式得，故A正确；
由余弦定理得：，
而，则，故B错误；
设的外接圆半径为，由正弦定理得，解得，故C错误；
设的内切圆半径为r，则的面积，解得，故D错误.
故选：BCD.
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知向量，，若，共线，且，则向量的坐标可以是 .（写出一个即可）
【答案】或（写出一个即可）
【解析】由已知得，解得或，
即向量的坐标可以是或.
14.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的模为 .
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以表示的复数的模为.
15．在中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】因为在中，，，，
所以的面积为，
16．如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是 .

【答案】
【解析】将图中的和放置于同一平面内，如图所示，

则.
因为直三棱柱中，，，
所以中，.
同理，在中，,所以
所以在图中，,
所以,即.
所以的最小值是.
三、解答题：共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.、
17．（本小题满分10分）设两个向量满足，
(1)求方向的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【解】（1）由已知，
所以，
所以，
即方向的单位向量为；
（2）由已知，，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，且向量不与向量反向共线，
设，则，解得，
从而，
解得.
18．（本小题满分12分）在锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求；
(2)若，求的面积.
【解】（1）因为为锐角三角形，则
因为，则，
因为，可得，
所以．
（2）
因为，
由余弦定理可得，即，
整理得．则或（舍去）；
所以的面积为．
19．（本小题满分12分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．
(1)求圆锥的表面积；
(2)如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积．
【解】（1）设圆锥的底面半径为r，高为h
由题意，得：，∴，∴
∴圆锥的侧面积
圆锥的底面积
∴圆锥的表面积
（2）由（1）可得：圆锥的体积为
又圆柱的底面半径为，高为
∴圆柱的体积为
∴剩下几何体的体积为
20．（本小题满分12分）已知，，，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，，求周长的取值范围.
【解】（1）因为，，则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由（1）及，即，又，所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，解，
，
又，，，
，
所以周长的取值范围为.
21．（本小题满分12分）如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA=5∶8．

(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；
(2)假设存在满足条件（1）的点N，求线段MN的长．
【解】（1）存在，；理由如下：
假设存在，连接并延长，交于E，连接．

因为平面，平面，
平面，
所以，
则，
因为正方形中，，所以，
假设成立.
则此时.
（2）由（1）得，所以；
中，，
所以
所以；
因为，所以，
所以．
22．（本小题满分12分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知的内角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求.
【解】（1）由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，，，由
得：，整理得，
则