2024年上海市嘉定区高三一模数学试卷及答案

这是一份2024年上海市嘉定区高三一模数学试卷及答案，共9页。试卷主要包含了不等式的解集为 ，已知，，则 ，已知，则 等内容，欢迎下载使用。

(考试时间120分钟，满分150分)
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.
1.不等式的解集为 .
2.已知，，则 .
3.函数的最小正周期为 .
4.已知，则 .
5.双曲线的离心率为 .
6.已知事件和独立，,,则 .
7.已知实数、满足，则的最小值为 .
8.已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
9.关于的方程有三个不同的实数解，则实数的值为 .
10.已知11个大小相同的球，其中个是红球，个是黑球，个是白球，从中随机取出个形成一组，其中三种颜色都有的概率为 .
11.已知复平面上一个动点对应复数,若,其中是虚数单位，则向量扫过的面积为 .
12.正四棱台, ,,,是的中点，在直线、上各取一个点、，使得、、三点共线，则线段的长度为 .
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.
13.直线倾斜角的取值范围为……（ ）

14.两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为……（ ）
甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙 甲的均分大于乙，甲的方差大于乙
甲的均分大于乙，甲的方差等于乙 甲的均分大于乙，甲的方差小于乙
15.已知等差数列，公差为，，则下列命题正确的是……（ ）
函数（）可能是奇函数
若函数（）是偶函数，则
若，则函数（）是偶函数
若，则函数（）的图像是轴对称图形
16.已知四面体,,.分别对于下列三个条件:
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③,
是的充要条件的共有几个……（ ）

三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
已知三角形，，三角形的面积，
（1）求角的值；
（2）若，求.
18．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知数列的前项和为，，其中,.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示.
（图片引自梁思成《营造法式.注释》卷五）
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，
（1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
（2）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点.考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数,如下图所示,请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理.
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
抛物线上有一动点，.过点作抛物线的切线，再过点作直线，使得，直线和抛物线的另一个交点为.
（1）当时，求切线的直线方程；
（2） 当直线与抛物线准线的交点在轴上时，求三角形的面积（点是坐标原点）；
（3）求出线段关于的表达式，并求的最小值.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
已知，.
（1）求函数、的单调区间和极值；
（2）请严格证明曲线、有唯一交点；
（3）对于常数，若直线和曲线、共有三个不同交点
、、，其中，求证：、、成等比数列.
2023学年第一学期高三年级质量调研
数学参考答案
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7) (8) (9) (10) (11) (12)
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.
(13) (14) (15) (16)
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
解（1），
，
两式相除得：，所以.
(2) ，所以或(舍)，所以
所以，
由正弦定理得，，,
所以,由（1），
所以即.
18．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
解(1)
，又，
所以.
(2) ，
所以，
所以.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
解：(1) 假设截面面积均为正常数，
，
，
，
所以，
又因为，所以，所以，
综上，，于是矩形截面的梁的截面形状最好.
(2) ,导函数，
所以当时，取到最大值，此时，于是，
的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践中总结的经验的实用价值.
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
解（1）因为，所以在曲线上运动，
，所以切线的斜率为，所以的直线方程为，
将代入，则的直线方程为.
(2) 设，将代入方程，得，
而直线的方程为，将代入，则直线的方程为，
联立，则，由韦达定理得，而，所以，所以三角形的面积.
(3) 设，联立方程，
得，因为，所以,所以，
因为,,所以.
对于 ，，
因为，；，；，，所以，
，，.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
解（1）对于， ， 对于，，


严格增区间；严格减区间； 严格增区间；严格减区间；
极大值为 极大值为
（2）对于函数，，
设，，
当时，，严格递减，，存在一个零点；
当时，，，，无零点；
当时，由（1）得 ，，所以，
所以，所以，无零点；
综上所述，曲线、有唯一交点，且横坐标.
(3) 因为在上严格单调递增，值域为,所以和在上有一个交点，同理 和在上有另一个交点；
因为在上严格单调递增，值域为,所以和在上有一个交点，同理 和在上有另一个交点，
由题意，共有三个不同交点，则上述四个交点中有两个重合，
于是和交点横坐标为、，和交点横坐标为、，
其中，，，
由题意，而， 因为、，
又因为在上严格单调递增，所以即，同理，
综上，，所以、、成等比数列.
第一跳
第二跳
第三跳
第四跳
第五跳
甲
85.5
96
86.4
75.9
94.4
乙
79.5
80
95.7
94.05
86.4
圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
为圆半径
为正方形边长
为矩形的长，
为矩形的宽，
抗弯截面系数
严格单调递增
极大值
严格单调递减
极大值
极大值