2024年上海市松江区高三一模数学试卷及答案

这是一份2024年上海市松江区高三一模数学试卷及答案，共12页。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1. 已知全集为，集合，则集合________．
2. 双曲线的右焦点坐标是________．
3. 已知复数（其中是虚数单位），则________
4. 已知向量，，则________
5. 已知，，则的值为________
6. 已知，则的最小值为________
7. 二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________；
8. 有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为________．
9. 在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长________．
10. 已知函数，．对任意，存在，使得，则实数的取值范围是________．
11. 若函数是定义在上不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则________．
12. 已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是________．
二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分．
13. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
14. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是 （ ）
A. 甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；
B. 甲队数据平均值小于乙队数据的平均值；
C. 甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差；
D. 乙队数据的第75百分位数为27．
15. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
16. 关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（ ）
A. ①、②都正确 B. ①正确 ②错误 C. ①错误 ②正确 D. ①、②都错误
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小．
18. 已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）若集合，求集合中的元素个数．
19. 为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：
第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；
第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；
第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米.
（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）；
（2）已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求值.
20. 已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆方程；
（2）若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段与长度的大小，并说明理由；
（3）若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值．
21. 已知函数，记，．
（1）若，判断函数的单调性；
（2）若，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，则曲线上是否存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案：
一．填空题：
1、；2、；3、；4、0；5、；6、；7、10；8、；9、；
10、；11、；12、；
二．选择题：
13、D； 14、D； 15、C； 16、C；
三．解答题：
17、（1）由底面，平面，得，
由，得，而平面，
所以平面．
（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，
因此是二面角的平面角，
在中，，
显然，四边形为矩形，于是，
而四棱锥的体积，
解得，
在中，，因此，
所以二面角的大小为.
18、（1）证明：设数列的公差为，则，
即，
解得，所以原命题得证.
（2）由（1）知，所以，
因为，所以，解得,
由，，故，即，
所以满足等式的解．
故集合中的元素个数为6.
19、（1）依题意，函数解析式为：
（2）解法一：
由一月份数据可得：，
通过计算前5个月用量：，
前5个月燃气总费用：，
由（1）中函数解析式，计算可得：，
所以，
又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同，
所以12月份为第三档，.
解法二：
1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同．
所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，
则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．
从而得到，.
20、（1）由题意得，即：，又，所以，
由，得，所以椭圆的方程为.
（2）由题意得过点的直线的斜率存在，设直线方程为，
设，，，，
联立，消去得：，
则，，
所以.
抛物线的方程为：，
联立，消去得：，
则，
所以，
所以
，
即
（3）设，，，，
当直线的斜率存在且不为零时，
设直线方程为，
则直线方程为，
由（2）的过程可知：，
由，以替换，可得，
所以
，
因为，所以，，；
当直线的斜率不存在时，，，
所以；
综上所述：，所以四边形面积的最小值为.
21、（1）因，当且仅当在时，，
所以函数在上是增函数．
（2）由题意得，，于是．
令，则，
令，则，
所以在上是严格减函数，于是
由于，于是在上是严格减函数，
所以，因此，即．
（3）解法一：
设、、，则曲线在三点处的切线分别为直线，
，
，
．
因为直线互相重合，所以，
且．
因为，
所以，，．
①若，，．
则，，，
于是，
因为，
所以，与三点互不重合矛盾．
②若，，中至少一个成立，
不妨设成立，则，
若，则，矛盾，舍去，
于是，，
所以满足要求的切线方程为或
解法2：
假设存在三个不同点在曲线上满足条件，
则，且互不相同.
曲线在三点处的切线方程分别为：
，
，
，
依题意，有
由①得，.
情形1：若，代入②得，
.
即，而，故，，
此时满足条件的切线方程为.
情形2：若，代入②得，
.
即，两式相减，
得，由于，故，
此时，与矛盾，舍去.
情形3：若，代入②得，
.
即，故，
则，与矛盾，舍去.
情形4：若，与情形3完全类似，舍去.
综上，满足条件的切线方程为.
解法3：
假设存在三个不同点在曲线上满足条件，
则，且互不相同.
曲线在三点处的切线方程分别为：
，
，
，
依题意，有
由①得，，
由②，令，
则，
即有，
平方，得
，
即
由于互不相同，即，
相减，得，于是，则，
此时满足条件的切线方程为.月份
1
2
3
4
5
9
10
12
当月燃气用量（立方米）
56
80
66
58
60
53
55
63
当月燃气费（元）
168
240
198
174
183
174.9
186
264.6