2024年上海市浦东区高三一模数学试卷及答案

这是一份2024年上海市浦东区高三一模数学试卷及答案，共12页。

2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．已知全集，集合，则____________．
2．若复数（其中表示虚数单位），则____________．
3．已知事件与事件互斥，且，，则________．
4．已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量____________．
5．已知是等差数列的前项和，若，则满足的正整数的值为____________．
6．已知向量，向量，则向量在向量上的投影为____________．
7．已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为___________．
8．在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为____________（结果精确到0.01）．
9．小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是____________．
10．如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________．
11．已知曲线 ，曲线 ，若△的顶点的坐标为，顶点分别在曲线和上运动，则△周长的最小值为____________．
12．已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程都有两个相等的实根．若，则满足条件的不同实数的个数为____________个．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分,否则一律得零分．
13．如果，则下列不等式中一定成立的是（ ）．
A．B．C．D．
14．某组样本数据由10个互不相同的数组成，去掉其中的最小数和最大数后，得到一组新的样本数据，则下列选项一定成立的是（ ）．
A．两组样本数据的平均数相同B．两组样本数据的方差相同
C．两组样本数据的中位数相同D．两组样本数据的极差相同
15．已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ）．
A．3B．4 C．6 D．8
16．对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论：
= 1 \* GB3 ①在区间上优于；
= 2 \* GB3 ②当时，在区间上优于．
那么（ ）．
A． = 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②均正确B． = 1 \* GB3 ①正确， = 2 \* GB3 ②错误
C． = 1 \* GB3 ①错误， = 2 \* GB3 ②正确D． = 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②均错误
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数，其中．
（1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求点到平面的距离．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．
（1）若，，求休闲步道总长（精确到米）；
（2）若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围；
（3）过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
= 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②；
（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
（3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
浦东新区2023学年度第一学期期末教学质量检测
高三数学答案
一、填空题
1．． 2．． 3．0.7． 4．（答案不唯一）． 5．6． 6．．
7．． 8．． 9．． 10．． 11．． 12．．
12题【解答】由已知，当时，得，
又，得；
反之，若，，所以.
设，则
……，，
成立，
于是对任意，有
由，可得，从而，即
结合，知，利用正弦函数在上是非负的，且是严格递增的，可得有个不同的实数，使得.
二、选择题
13．D 14．C 15．B 16．B
三、解答题
17．【解析】
（1）法一：由，，
且是奇函数，满足，解方程得.………………………4分
（利用解得的同样得4分）
当时，，其定义域为R，
对任意给定的，都有，并且，
因此当时，是奇函数.……………………………………………………7分
法二：根据题意，假设存在实数，使函数是奇函数，
定义域为R, 对任意给定的，都有，且.……………3分
（没有定义域为R的只得2分）
即，变形可得：对于任意实数恒成立，解得,
因此当时，是奇函数.……………………………………………………7分
（2），若关于的不等式恒成立，则.…………2分
令，所以.……………………………………………4分
等号当且仅当，即时成立. ………………………………………………………5分
故，所以,…………………………………………………………6分
因此，实数的取值范围是.………………………………………………………7分
18．【解析】
（1）证明：取线段中点，连，…………………………………………2分
在△中，因为分别为的中点，可得且，
又因且，
所以四边形为平行四边形，得， ……………………………………4分
因为平面，不在平面内，…………………………………………6分
所以平面. ………………………………………………………………………7分
（2）法一：由题，，,………………………2分
设三棱锥的体积为，点D到平面的距离为，
则……………………………………………………4分
即，得，……………………………………6分
因此，点D到平面的距离为.………………………………………………7分
解法二：以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴建立空间直角坐标系，…………………………………………………………………………………………1分
可得，………………………………………………2分
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以, …………………………………………4分
设点D到平面的距离为，则，………………………6分
因此，点D到平面的距离为.………………………………………………7分
19．【解析】
（1）休闲步道总长为……………………………………………2分
……………4分
米.
所以休闲步道总长为231米. ………………………………………………………………6分
（2）方案一：设………………………………………………1分
中，由正弦定理得，
得 …………………………………3分
故的面积
………………………………………………………………5分
因为，所以
当，即时有平方米………………………………7分
因此，当亲水平台区的面积最大时，是以为底边的等腰三角形. ……………8分
方案二：设………………………………………………………1分
中，由正弦定理得，
得 …………………………………3分
故的周长
……………………………………5分
因为，所以
当，即时有 米……………7分
因此，当亲水平台区的周长最长时，是以为底边的等腰三角形. ……………8分
（本题也可用余弦定理、均值不等式解决）
20．【解析】
（1）由题，，……………………………………………………………………2分
因此双曲线的离心率为…………………………………………………………4分
（2）法一：当直线斜率不存在时，设直线为，
则得，，此时………………………………………………2分
当直线斜率存在时，设直线方程为：，设，
则联立方程得：…………………………3分
则由题意得…………………………4分
，
因而的取值范围为.………………………………………………………6分
法二：由题意，直线不与轴重合，因而设方程为：，设，
则联立方程得：……………………………2分由题意，直线与双曲线恒有交点，且交点均在右支上，
则 ………………………………………………………4分
，由，得,
因而的取值范围为.………………………………………………………6分
（3）由题，渐近线方程为，设点…………………………………2分
则………6分
（点到直线距离公式给2分，绝对值转化2分）
因而不存在点，使得成立…………………………………………8分
（另解：）
又因为，因而不存在点，使得成立）
21．【解析】
（1）是含谷函数，谷点为0………………………………………………………2分
记， 因为，
所以在上严格增，因此不是含谷函数. ……………………………………4分
（2）设，则的定义域为，
求导可得，
令得到函数的驻点（不在定义域内，舍）…3分
当时，，函数严格减；
当时，，函数严格增；
又是含谷函数的一个含谷区间，
则，得.
因此，的取值范围为.………………………………………………………………6分
（3）解：…………………………………2分
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，因此不是含谷函数，与题设矛盾.
因此，关于的方程有两个相异实根，即
记为，不妨设.
因为，所以函数在区间上不为严格增.
但是当时，，严格增，
所以在区间上的单调性至少改变了一次，从而必有一个驻点，即.
同理，因为，所以.
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减；
从而函数的含谷区间必满足………………………………4分
（直观来看，的图像呈“M”形，而且，所以驻点只能是极小值点，即为谷点）
即.
此时，由和得且. 即…6分
所以当时，，
而当时，.
因此的最小值为，当时取得.……………………………………8分