2024年上海市黄浦区高三一模数学试卷及答案

这是一份2024年上海市黄浦区高三一模数学试卷及答案，共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则__________．
2. 若函数为偶函数，则_______
3. 已知复数（i为虚数单位），则满足的复数为__________．
4. 若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为__________．
5. 已知向量，则向量与夹角的余弦值为__________．
6. 若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．
7. 某城市30天的空气质量指数如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．则这组数据的第75百分位数为__________．
8. 在中，三个内角的对边分别为，若，则的值为__________．
9. 某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为__________．
10. 若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是__________．
11. 设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为__________．
12. 若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为__________．
二、选择题
13. 设，则“”是“” 的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
15. 若实数满足，则必有（ ）
A. B. C. D.
16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点O最近点为点，此最近距离为．当点P在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（ ）
A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立
C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立
三、解答题
17. 已知等比数列是严格增数列，其第3、4、5项的乘积为1000，并且这三项分别乘以4、3、2后，所得三个数依次成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的正整数n，数列的前n项和，向量的模为，求数列的前n项和．
18. 如图，平面平面，四边形是正方形，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正切值．
19. 某公园的一个角形区域如图所示，其中．现拟用长度为100米的隔离档板（折线）与部分围墙（折线）围成一个花卉育苗区，要求满足．
（1）设，试用表示；
（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计？请说明理由．
20. 设a为实数，是以点为顶点，以点为焦点的抛物线，是以点为圆心、半径为1的圆位于y轴右侧且在直线下方的部分．
（1）求与的方程；
（2）若直线被所截得的线段的中点在上，求a的值；
（3）是否存在a，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
21. 设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．
（1）判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由；
（2）已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；
（3）对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围．
参考答案：
一．填空题：
1、；2、1；3、；4、；5、；6、；7、56；8、；9、；
10、；11、25；12、8；
二．选择题：
13、A； 14、B； 15、D； 16、C；
三．解答题：
17、（1）因为等比数列为严格增数列，所以其公比，
由分别乘以4,3,2后依然成等差数列，得，
有，即，
由，解得，
所以；
（2）由题意知，设等比数列的公比为，
则，又，
所以，解得，
所以，
则，
所以数列的前n项和为
.
18、（1）由于，所以四边形是等腰梯形，
，所以到的距离是，
所以.
依题意，平面平面，四边形是正方形，
由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
，
由于，所以，所以平面.
（2）平面的一个法向量为，
，，
设平面法向量为，
则，故可设，
设二面角为，由图可知为锐角，
则，则，
所以.
19、（1），，
，，，
设,，则,，
则，，
则，则，
即，即
则，
则，
则
可得：
则，
则，
则，则，
则，则，
即，即，即.
（2）设，
由（1）得，
则，
，
，
，，，
要使花卉育苗区的面积最大，则，即，
故当,时，花卉育苗区的面积最大，最大为1250.
20、（1）设，则，解得，故，
依题意有.
（2）设被所截得的线段为，中点为，
联立和有，故，
故，代入得：
，解得.
（3）如图，在的上方时，抛物线和圆无交点，联立和有
且，解得，
显然，切线斜率存在，设切线方程为，
由为四分之一圆知，
又圆心到切线的距离等于半径：，故，
切线方程为，与联立得，
设被所截得的线段为，则，
，
记，则，，
记，则，
依题意有：对给定的，使得和有两个交点，
由知
使即可，
否则在上单调，不存在使得，
而，故只需，
解得，
综上所述：.
21、（1）由，，
得，，
令，解得：，
，且，
即不存在，满足且，
则函数与不是“局部趋同”；
（2）函数，
则，
若函数与“局部趋同”，
则存在，满足且，
即，且，
则若有解，不论为何值，都存在，满足且，
即对任意正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，
即，其，
即有解，
所以对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，
（3）若函数与“局部趋同”，
则且，
由，得，
即，则，
代入，得，
即，
则若有解，函数与就“局部趋同”，
即有解，
令，则，
在上，，在上，，
则在上，，在上，，
即在上单调递增，在上单调递减，最大值为，
从趋向于0时，趋向于，趋向于0，
则在从趋向于0时，趋向于，
则，
则要使有解，即，即，
故实数的取值范围为.