广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第四次六校联考数学试卷(含答案)

这是一份广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第四次六校联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．展开式中第3项的系数是( )
A.90B.-90C.-270D.270
2．在等差数列中,若,则公差( )
A.1B.2C.3D.4
3．已知向量,满足,且,则向量在向量上的投影向量为( )
A.1B.-1C.D.
4．在中,“”是“为钝角三角形”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知三棱锥,是以为斜边的直角三角形,为边长是2的等边三角形,且平面平面,则三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
6．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是,当血氧饱和度低于时,需要吸氧治疗,在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律,其中为初始血氧饱和度,K为参数.已知,给氧1小时后,血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到,则至少还需要给氧时间（单位：时）为( )
（精确到0.1,参考数据：）
A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9
7．已知双曲线的左,右焦点分别为,,过的直线与双曲线C分别在第一、二象限交于A,B两点,内切圆的半径为r,若,,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．函数在开区间的零点个数为( )
A.5B.6C.7D.8
二、多项选择题
9．给定数集,,x,y满足方程,下列对应关系f为函数的是( )
A.,B.,
C.,D.,
10．已知z为复数,设,,在复平面上对应的点分别为A,B,C,其中O为坐标原点,则( )
A. B.C. D.
11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根b,c,其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线,切线与x轴交点的横坐标为;用代替,重复以上的过程得到;一直下去,得到数列.记,且,,下列说法正确的是( )
A.（其中）
B.数列是递减数列
C.
D.数列的前n项和
三、填空题
12．将1到10这10个正整数平均分成甲、乙两组,每组5个正整数,且甲组的中位数比乙组的中位数小1,则不同的平分方法共有__________种.
13．已知圆,圆,直线上存在点P,过点P向圆A引两条切线和,切点是C和D,再过点P向圆B引两条切线和,切点是E和F,若,则实数t的取值范围为___________.
四、双空题
14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质:将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点P.若，则______若，则的值为_____.
五、解答题
15．已知椭圆,抛物线的焦点均在x轴上,的中心和的顶点均为坐标原点O,从,上分别取两个点,将其坐标记录于下表中：
(1)求和的标准方程;
(2)若和交于不同的两点A,B,求的值.
16．如图,在四棱锥中,为正三角形,底面为直角梯形,,,,,.
(1)求证：平面平面;
(2)点M为棱的中点,求与平面所成角的正弦值.
17．某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色,但操控水平需要十分娴熟,才能发挥更大的作用.已知在单位时间内,甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为和,假设每次操作能否成功相互独立.
(1)随机选择两种无人运输机中的一种,求选中的无人运输机操作成功的概率;
(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时,随机选择两种无人运输机中的一种,若初次操作成功,则第二次继续使用该类型设备;若初次操作不成功,则第二次使用另一类型进行操作;
方案二：在初次操作时,随机选择两种无人运输机中的一种,无论初次操作是否成功,第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作.
假定方案选择及操作不相互影响,试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值.
18．已知函数,.
(1)求证：当,;
(2)若,恒成立,求实数a的取值范围.
19．已知集合A中含有三个元素x,y,z,同时满足①;②;③为偶数,那么称集合A具有性质P.已知集合,对于集合的非空子集B,若中存在三个互不相同的元素a,b,c,使得,,均属于B,则称集合B是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否具有性质P,并说明理由;
(2)若集合具有性质P,证明：集合B是集合的“期待子集”;
(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合的“期待子集”.
参考答案
1．答案：A
解析：展开式的第3项为,故第3项系数为90,
故选：A.
2．答案：B
解析：在等差数列中,因为,所以,求得.
故选：B.
3．答案：C
解析：因为,且,所以,即,
所以,
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
4．答案：C
解析：为钝角三角形.
在中,“”是“为钝角三角形”的充要条件.
故选：C.
5．答案：A
解析：直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点,过该点作一条垂直于平面的直线.
因为平面平面,
所以所作直线在平面内,且经过等边三角形的中心,
所以等边三角形的中心就是三棱锥外接球的球心,
所以外接圆的半径也是三棱锥外接球的半径.
由正弦定理知,(R是的外接圆的半径),即,
所以,
于是三棱锥外接球的半径为,
故三棱锥外接球的表面积为.
故选：A.
6．答案：B
解析：设使得血氧饱和度达到正常值,给氧时间至少还需要小时,
由题意可得,,两边同时取自然对数并整理,
得,,
则,则给氧时间至少还需要0.5小时
故选：B.
7．答案：A
解析：不妨设内切圆与三边切点分别为P,Q,R,所以,,
点A在双曲线上,
,
又,
,,
点B在双曲线上,
,
,
,
设内切圆圆心为I,连接,,如图所示,
,
,
即,
为等边三角形,,
在由余弦定理得：,
即：,
.
故选：A.
8．答案：D
解析：法一：
,
,
令,则或,
即：或或,
如图所示：
由图像可知,
函数共8个零点.
法二：因为,
由,得,或,
所以,或,即,或,,
因为,
所以,或,,,,,,共8个零点.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：对于A,,,均有唯一确定,符合函数定义,A正确;
对于B,,,均有唯一确定,符合函数定义,B正确;
对于C,,取,,不符合函数定义,C错误;
对于D,,,均有唯一确定,符合函数定义,D正确.
故选：ABD.
10．答案：AB
解析：设,,
,,
,,
,,,,
对于A,,故选项A正确;
对于B, ,,故选项B正确;
对于C,,
当时,,故选项C错误;
对于D, ,
可以为零,也可以不为零,所以不一定平行于,故选项D错误.
故选:AB.
11．答案：AD
解析：对于A选项,由得,所以,故A正确.
二次函数有两个不等式实根b,c,
不妨设,
因为,
所以,
在横坐标为的点处的切线方程为：,
令,则,
因为
所以,即：
所以为公比是2,首项为1的等比数列.
所以故BC错.
对于D选项,,得故D正确.
故选：AD.
12．答案：36
解析：依题意,甲组的中位数必为5,乙组的中位数必为6,
所以甲组另外四个数,可从1,2,3,4和7,8,9,10这两组数各取2个,共有.
故答案为：36.
13．答案：
解析：连接圆心和切点,如图所示,则有,
易知,,
故,,,
不妨设,,,
,化简得,
P的轨迹为以圆心,为半径的圆,
又P在直线上,直线与圆有交点,
,故.
故答案为：.
14．答案：，
解析：设外接圆半径为R，则，由正弦定理，可知，即，由于是锐角，故，又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即，故，所以.设，，，则，，，由于，不妨假设，，，则，，，如图，设AD，CE，BF为三角形的三条高，由于，，故，则，同理.在中，，同理在中可得，所以.
15．答案：(1),
(2)
解析：（1）设抛物线的标准方程为,则,
结合表格数据,因为,
所以点,在抛物线上,且,解得,
所以抛物线的标准方程为.
将点,代入椭圆的标准方程中,
得,解得,,
所以椭圆的标准方程为.
（2）根据对称性,可设A,B两点坐标分别为,,
联立方程组,消y得,
解得,,
因为,
所以.
所以.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：如图,取的中点K,连接,
为正三角形,, 且.
,K为的中点, ,
又底面为直角梯形,即,故四边形为平行四边形,
而,所以四边形为矩形, ,.
平面,∴平面.
平面,平面平面.
（2）由（1）得,,由（1）又可得,
如图,以K为坐标原点,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,,
设平面的法向量为,
由,得,令,则,,
设与平面所成的角为,
则,
与平面所成角的正弦值为
17．答案：(1)
(2)方案一大于方案二
解析：（1）用事件表示选择甲种无人运输机,用事件表示选择乙种无人运输机,
用事件B表示“选中的无人运输机操作成功”
则
（2）设方案一和方案二操作成功的次数分别为,,则,的所有可能取值均为0,1,2,
方案一：,
,
,
所以.
方案二：
,
,
,
所以.
所以,即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）设,
则,所以在区间上单调递增,
所以,即,
设,,
则,
由时,,即,
所以,
设,则,
当时,,所以函数在区间上单调递增,
故在区间上,,即在区间上,,
所以,
所以在区间上单调递增,
所以,即,
所以得证.
（2）由在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,
设,则在区间上恒成立,
而,
令,则,
由（1）知：在区间上,,
即,所以在区间上函数单调递增,
①当时,,
故在区间上函数,所以函数在区间上单调递增,
又,故,即函数在区间上恒成立;
②当时,,
,
故在区间上函数存在零点,即,
又在区间上函数单调递增,
故在区间上函数,
所以在区间上函数单调递减,
由,所以在区间上,与题设矛盾.
综上,a的取值范围为.
19．答案：(1)不具有,理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：（1）集合不具有性质P,理由如下：
（i）从集合A中任取三个元素x,y,z均为奇数时,为奇数,不满足条件③
（ii）从集合A中任取三个元素x,y,z有一个为2,另外两个为奇数时,不妨设,,
则有,即,不满足条件②,
综上所述,可得集合不具有性质P.
（2）证明：由是偶数,得实数a是奇数,
当时,由,得,即,不合题意,
当时,由,得,即,或（舍）,
因为是偶数,所以集合,
令,,,解得,,
显然a,b,,
所以集合B是集合的“期待子集”得证.
（3）证明：先证充分性：
当集合M是集合的“期待子集”时,存在三个互不相同的a,b,c,使得,,均属于M,
不妨设,令,,,则,即满足条件①,
因为,所以,即满足条件②,
因为,所以为偶数,即满足条件③,
所以当集合M是集合的“期待子集”时,集合M具有性质P.
再证必要性：
当集合M具有性质P,则存在x,y,z,同时满足①;②;③为偶数,
令,,,则由条件①得,
由条件②得,
由条件③得a,b,c均为整数,
因为,
所以,且a,b,c均为整数,
所以a,b,,
因为,,
所以,,均属于M,
所以当集合M具有性质P时,集合M是集合的“期待子集”.
综上所述,集合M是集合的“期待子集”的充要条件是集合M具有性质P.
x
1
2
y
2
0