广西“贵百河“2024届高三下学期4月质量调研数学试卷(含答案)

这是一份广西“贵百河“2024届高三下学期4月质量调研数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,i为虚数单位,则( )
A.B.C.D.
3．抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为81,84,82,86,87,92,90,85,则该学生这8次成绩的分位数为( )
A.85B.85.5C.87D.88.5
4．被9除的余数为( )
A.2B.4C.6D.8
5．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
6．已知圆,当圆心C到直线的距离最大时,实数k的值是( )
A.B.C.-3D.3
7．“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具,升装满后沿升口刮平,称为“平升”.已知某种升的形状是正四棱台,上、下底面边长分别为和,高为（厚度不计）,则该升的1平升约为( )
（精确到）
A.B.C.D.
8．已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为( )
A.B.C.eD.
二、多项选择题
9．平面直角坐标系中,的三个顶点的坐标分别是,,则( )
A.B.锐角三角形
C.的面积为D.的外接圆半径大于2
10．如图,在平面四边形ABCD中,是等边三角形,且,M是AD的中点.沿BD将翻折,折成三棱锥,连接BM,翻折过程中,下列说法正确的是( )
A.存在某个位置,使得CM与BD所成角为锐角
B.棱CD上总恰有一点N,使得平面ABC
C.当三棱锥的体积最大时,
D.一定是二面角的平面角
11．抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点（点A在x轴的下方）,则下列结论正确的是( )
A.若,则中点到y轴的距离为4
B.弦的中点的轨迹为抛物线
C.若,则直线的斜率
D.的最小值等于9
三、填空题
12．已知向量,的夹角为,,则_____________.
13．已知,则_____________.
14．设,分别为椭圆的左､右焦点,B为椭圆C的上顶点,直线与椭圆C的另一个交点为A.若,则椭圆C的离心率为_______________.
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为,公差d为整数,,且,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
16．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中,每两球交换发球权,每赢一球得1分,先得11分且至少领先2分者胜,该局比赛结束;当某局比分打成后,每球交换发球权,领先2分者胜,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛,比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,各球的比赛结果相互独立,且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值;
(2)求第一局比赛甲获胜的概率;
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率,求该场比赛甲获胜的概率.
17．已知四棱锥中,,,,,,
(1)求证：
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
18．已知双曲线G的中心为坐标原点,离心率为,左、右顶点分别为,.
(1)求G的方程;
(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M,N两点,若直线与交于点P.
（i）证明：点P在定直线上：
（ii）若直线与交于点Q,求证：.
19．已知函数,若存在恒成立,则称是的一个“下界函数”.
(1)如果函数为的一个“下界函数”,求实数t的取值范围;
(2)设函数,试问函数是否存在零点？若存在,求出零点个数;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：,,
则,
故选：B.
2．答案：C
解析：因为,则,故.
故选：C.
3．答案：D
解析：8次的数学成绩由小到大排列为：81,82,84,85,86,87,90,92,
因,故分位数为,
故选：D.
4．答案：B
解析：因为
,
其中
能被9整除,
又,
所以被9除的余数为4.
故选：B.
5．答案：D
解析：,
为偶函数,排除A.
,排除B和C.
故选：D.
6．答案：B
解析：因为圆C的方程为：,化为标准方程得：,
所以圆心为,半径,
直线恒过定点,
当直线l与垂直时,圆心C到直线l的距离最大,
由斜率公式得直线的斜率为：,
由垂直关系的斜率公式得：,解得,
故选：B.
7．答案：B
解析：由题设,上底面积为,下底面积为,
所以1平升为,约为.
故选：B.
8．答案：A
解析：由题意得在上恒成立,
,故,
即,
令,,
则在上恒成立,
故在上单调递减,
故,
故,故a的最小值为.
故选：A.
9．答案：CD
解析：,,
所以,由正弦定理得,故A错误;
由余弦定理,得,所以角B是钝角,故B错误;
由,得,
的面积为,故C正确;
设的外接圆半径为R,
则,,故D正确.
故选：CD.
10．答案：BC
解析：对A,取BD中点E,连接CE,ME,如图,因是正三角形,有,
而M是AD的中点,有,
而,则,,CE,平面CME,
于是得平面CME,平面CME,所以,A不正确;
对B,取CD的中点N,连MN,因M是AD的中点,则,
平面ABC,平面ABC,所以平面ABC,B正确;
对C,因,要三棱锥C﹣ABD的体积最大,当且仅当点C到平面ABD距离最大,
由选项A知,点C到直线BD的距离,是二面角的平面角,
当时,平面ABD,
即当C到平面ABD距离最大为时,三棱锥的体积最大,此时,有,
而,,CE,平面BCD,则有平面BCD,平面BCD,
所以,C正确;
对D,若是二面角的平面角,则,因为M为AD中点,故,
这不一定成立,故D错误.
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：抛物线的焦点,准线方程为,设,,
对于A,依题意,,解得,
线段中点的横坐标,该点到y轴的距离为,A错误;
对于B,显然直线l不垂直于y轴,设直线,
由消去x得,,
则,,,
设线段中点坐标为,则,消去t可得,
因此弦中点的轨迹为抛物线,B正确;
对于C,显然,,由,得,,
由选项B知,有,又,则,,
因此直线的斜率,C正确;
对于D,由选项B知,,
则,
因此,
当且仅当,即时取得等号,D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为,所以,,
.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,可得,
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意得,,,则,
直线的斜率为,即,联立方程组,,
可得,而,
故,代入直线中得,故,
可得,由题意得,
可得,化简得,
即,化简得,
同除得,且,解得.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,所以,
又因为,,成等比数列,所以,
即,所以,
联立解得,
所以.
（2）由（1）可得,
所以.
16．答案：(1)分布列见解析,均值
(2)
(3)
解析：（1）依题意,X的所有可能取值为0,1,2
设打成后甲先发球为事件A,则乙先发球为事件,且,
所以,
.
所以X的分布列为
故X的均值为.
（2）设第一局比赛甲获胜为事件B,则,
,,
由（1）知,,,,
由全概率公式,得
解得,即第一局比赛甲获胜的概率.
（3）由（2）知,故估计甲每局获胜的概率均为,根据五局三胜制的规则,
设甲获胜时的比赛总局数为,因为每局的比赛结果相互独立,
所以Y的所有可能取值为3,4,5,
因此可得,,;
故该场比赛甲获胜的概率.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）在梯形ABCD中,,,,,
可算得,,
所以,所以,
在中,,,满足,所以,
又平面PBD,平面PBD,且,
所以平面PBD,又因为平面PBD,
所以;
（2）由(1)证明可知,平面PBD,因为平面ABCD,
则平面平面ABCD,取BD中点O,连OP,OC,
因为,所以,而平面ABCD,且平面平面,
平面PBD,
所以就是PC与平面PBD所成的角,
在中,易得,
在中,,,计算可得,
所以,
所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
解法由(1)证明可知,平面PBD,因为平面ABCD,
则平面平面ABCD,
通过计算可得,
建立以,为x轴,y轴的正方向,
以过D与平面ABCD垂直的向量为在z轴的正方向建立如图空间直角坐标系,
显然z轴再平面PBD中且垂直于BD,
则,,,,
所以,,,
设平面PBD的法向量为,
则,即
取,
设直线PC与平面PBD所成角为,
则,所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由点A,B的坐标可知,
离心率为,故,所以,
所以双曲线G方程为;
（2）（ⅰ）设直线l为：,联立双曲线G得,
消去x得：,
根据题意得：,
设,,则,,
,,故,
直线,因为M在G上,所以,
直线,直线,
令,
可得
,
解得,故点P在直线上;
（ⅱ）由双曲线对称性可知,点Q也在直线上,
设,,点P在直线上,所以,
点Q在直线上,所以,
,所以.
19．答案：(1)
(2)函数是否存在零点,理由见解答
解析：（1）由恒成立,可得恒成立,
所以恒成立,令,所以,
当时,,在单调递减;
当时,,在单调递增;
所以的最小值为,所以,
实数t的取值范围;
（2）由（1）可知,所以,所以,①
又,所以,
令,所以,
当时, ,在单调递减;
当时,,在单调递增;
所以,②
所以,
又①②中取等号的条件不同,所以
所以函数没有零点.
X
0
1
2
P