重庆市璧山中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市璧山中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有( )
A.3种B.504种C.24种D.12种
2．已知函数，则( )
A.B.0C.D.2
3．若A，B，C，D，E，F六人站队照相，要求A､B相邻且C､D不相邻，则所有不同的站法有( )
A.36B.72C.108D.144
4．的展开式中的系数为( )
A.B.60C.750D.1215
5．现有6个评优名额要分配给3个班级，要求每班至少一个名额，则分配方案有( )
A.8种B.10种C.18种D.27种
6．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为( )
A.36B.400C.420D.480
7．已知，则的值为( )
A.B.0C.1D.2
8．若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为( )
A.2B.C.3D.
二、多项选择题
9．下列求导正确的是( )
A.B.
C.D.
10．若m，n为正整数且，则( )
A.B.
C.D.
11．关于函数，，下列说法正确的是( )
A.若过点可以作曲线的两条切线，则
B.若在R上恒成立，则实数k的取值范围为
C.若在上恒成立，则
D.若函数有且只有一个零点，则实数t的范围为
三、填空题
12．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为__________.
13．方程中的解_____.
14．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n项和，则__________.
四、解答题
15．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的系数.
16．已知.
(1)求函数的平行于的切线方程；
(2)求的单调性.
17．已知函数.
(1)若，当时，证明：.
(2)若，证明：恰有一个零点.
18．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数a的取值范围.
19．设函数，
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，曲线与有两条公切线，求实数a的取值范围；
(3)若对恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种.
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意得，所以.故A正确.
故选：A.
3．答案：D
解析：由于A､B相邻捆绑再一起有种方法，
再与E，F一起安排有种方法，最后插空安排不相邻的C､D有种方法，
根据分步乘法计数原理可得所有不同的站法有种.
故选：D.
4．答案：D
解析：的展开式通项为，
令，解得，所以的系数为.
故选：D.
5．答案：B
解析：现有6个评优名额要分配给3个班级，要求每班至少一个名额，
利用隔板法，把6个元素排成一列形成5个空，再在5个位置放置2个隔板，
则共有种方案，
故选：B.
6．答案：C
解析：根据题意，分4步进行分析：
①，对于区域A，有5种颜色可选；
②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；
③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；
④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，
若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，
则区域D、E有种选择，
则不同的涂色方案有种；
故选：C.
7．答案：B
解析：因为，展开式第项，
当时，，当时，，
故，即.
故选：B.
8．答案：B
解析：由题意得，，即，
令，因为，所以函数在上单调递增，
则不等式转化为，所以，则.
令，则，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，即，则的最大值为.
故选：B.
9．答案：BC
解析：，，
，.
故选：BC.
10．答案：BD
解析：对A：，又，故A错误；
对B：
，
故B正确；
对C：，
，即，故C错误；
对D：，
，即，故D正确.
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：对A：由题意知可知当点在曲线的下方和x轴上方才可以作出两条切线，
所以，故A正确.
对B：由在R上恒成立，等价于在R上横在上方，
设的切点坐标为，其切线方程为，
对应的切线经过坐标原点，将代入解得，其切线斜率，
所以实数k的取值范围为，故B正确.
对C：若在上恒成立，则在时恒成立，
即，，设，，则，
当时，，当，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
当时，取到极大值也是最大值为，所以，故C正确.
对D：由C知，当时，，当时，，
当时，，
所以在区间，上单调递减，上单调递增，
当时，取到极小值，当时，取到极大值，
而时，恒成立，故可画出函数的图象如下：
要求函数零点，即求与图象的交点个数，
所以可知或时，有且只有一个零点，故D错误.
故选：ABC.
12．答案：
解析：.的展开式中第3项的二项式系数为，，
解得，所以.
令，得到展开式中所有项系数之和为.
故答案为：.
13．答案：2
解析：原式可化为
，上式化简为解得(舍去)或，
即为原方程的解.
故答案为：2.
14．答案：
解析：由可得：，
所以，
所以
，
所以.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)10
解析：(1)由题意可得，，解得；
(2)，
二项展开式的通项为
由，得.
展开式中的系数为.
16．答案：(1)
(2)函数在上单调递减，在上单调递增
解析：(1)， ，
由，切线的斜率，设切点坐标为，
则，解得，
则，切点坐标为，
所以切线方程为；
(2)由，，
令即，解得，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
17．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)证明：因为，所以，.
当时，，则在上单调递增，
所以当时，.
(2).
令，则.
令，则.
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，所以，
则在上单调递增.
因为，所以恰有一个零点，则恰有一个零点.
18．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
(2)由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
(3)，则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在R上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是R上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数a的取值范围是.
19．答案：(1)单调递增区为，单调递减区间为
(2)
(3)
解析：(1)当时，，
，
当时，，当时，，
的单调递增区为，单调递减区间为；
(2)设公切线切于点，切于，
则有，即，
得，代入得.
解法一：构造函数，.
当递减，当递增，
，又当时，，当时，，
根据题意有两根，即，得；
解法二(同构)：令，时，，
当时，，当时，，
故，且当时，当时，，
根据题意有两根，
，得.
所以实数a的取值范围为.
(3)对恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令，则在上为增函数，
当时，，即，在上为增函数，
若，有，不合题意.
当时，由得(舍去)，
时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
的最小值为，由，
只有，才能满足恒成立，解得.
综上可知，若对恒成立，有.