2023-2024学年广东省梅州市东山中学高一（下）月考数学试卷（一）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省梅州市东山中学高一（下）月考数学试卷（一）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合M={x∈N|0≤x<3}的子集的个数是( )
A. 16B. 8C. 7D. 4
2.下列函数中，表示同一函数的是( )
A. f(x)=x，g(x)= x2B. f(x)=lgx2，g(x)=2lgx
C. f(x)=lnex，g(x)=xD. f(x)=sinx,g(x)=cs(x+π2)
3.函数f(x)=x+lnx−5的零点所在的一个区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.已知α、β都是锐角，sinα=45,cs(α+β)=513,则sinβ的值为( )
A. 5365B. 3365C. 1665D. −1365
5. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( )
A. 34AB−14ACB. 14AB−34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC
6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20⁓79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取lg2=0.30，lg3=0.48)( )
A. 7小时B. 6小时C. 5小时D. 4小时
7.已知函数f(x)= 22sin(ωx−π4)(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
A. (0,18]B. (0,14]∪[58,1)C. (0,58]D. (0,18]∪[14,58]
8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)−f(x)f(y)=0，f(−1)=1，则( )
A. f(0)=0B. f(x)为奇函数C. f(8)=−1D. f(x)的周期为3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 0⋅a=0
B. 若a≠0，则对任一非零向量b都有a⋅b≠0
C. 若向量a,b满足|a|=3，且a与b夹角为π3，与b同方向的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量为32e
D. 若向量AB,CD共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A. φ=π3
B. 函数f(x)的周期为π2
C. 函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
D. 将函数f(x)的图象向右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x+π6)的图象
11.一般地，若函数f(x)的定义域为[a,b]，值域为[ka,kb]，则称[a,b]为函数f(x)的“k倍伴随区间”，另函数f(x)的定义域为[a,b]，值域也为[a,b]，则称[a,b]为f(x)的“伴随区间”，下列结论正确的是( )
A. 若[2,b]为函数f(x)=x2−4x+6的“伴随区间”，则b=3
B. 函数f(x)=1+2x存在“伴随区间”
C. 若函数f(x)=m− x+1存在“伴随区间”，则m∈[−14,0]
D. 二次函数f(x)=−12x2+x存在“3倍伴随区间”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)=x3+ax2+x为奇函数，则f(1)= ______．
13.已知两个单位向量a，b满足|4a+b|= 13，则向量a，b的夹角为 ．
14.若xi≥0(i=1,2,3,4,5)，i=15xi=1，则min{max{x1+x2,x2+x3,x3+x4,x4+x5}}=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知α是第二象限的角，若csα=−817，求sinα，tanα的值；
(2)已知tanα=2，求3sinα−csα2sinα+3csα的值．
16.(本小题15分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,b,c∈R)满足条件：①f(x)>0的解集为{x|−1(1)求a，b，c的值；
(2)在区间[−1,1]上，二次函数f(x)的图象恒在一次函数y=4x+m图象的下方(无公共点)，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3sin2x+2cs2x+m在区间[0,π2]上的最小值为3．
(1)求常数m的值；
(2)求函数f(x)单调递减区间．
18.(本小题17分)
如图，有一条宽为30m的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中△ABC)种植荷花用于观赏，C，B两点分别在两岸l1，l2上，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE=h1，AD=h2，设∠ABD=α．
(1)若α=30°，求荷花种植面积(单位：m2)的最大值；
(2)若h2=4h1，且荷花的种植面积为150m2，求sinα．
19.(本小题17分)
已知集合M是具有下列性质的函数f(x)的全体，存在有序实数对(m,n)，使得f(m+x)⋅f(m−x)=n对定义域内任意实数x都成立．
(1)判断函数f(x)=2x，g(x)=2x是否属于集合M，并说明理由；
(2)若定义域为R的函数f(x)∈M，存在满足条件的实数对(0,1)和(1,4)，当x∈[0,1]时，f(x)值域为[1,2]，求当x∈[0,2018]时函数f(x)的值域．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合M={x∈N|0≤x<3}={0,1,2}，
集合M含有3个元素，
所以集合M的子集个数是23=8．
故选：B．
先判断集合M含有3个元素，再求子集个数即可．
本题考查了集合的子集的个数的判断，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：A选项，g(x)=|x|，与f(x)不是同一个函数；
B选项，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，
所以f(x)与g(x)不是同一个函数；
C项，f(x)=g(x)=x，定义域都为R，是同一函数，正确；
D选项，f(x)=sinx，g(x)=−sinx，
所以f(x)与g(x)不是同一个函数．故选C．
判断函数三要素是否相同逐项检验即可．
本题考查同一函数的判断，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，x>0，函数f(x)=x+lnx−5在定义域上单调递增，
f(1)=1+ln1−5=−4<0，f(2)=2+ln2−5<2+lne−5=−2<0，
f(3)=3+ln3−5<3+lne2−5=0，f(4)=4+ln4−5>4+lne−5=0，
∴零点所在的一个区间是(3,4)．
故选：D．
根据函数表达式，结合零点定理即可得出零点所在的一个区间．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵α、β都是锐角，
又∵sinα=45,cs(α+β)=513，
∴csα=35，sin(α+β)=1213
∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)⋅csα−cs(α+β)⋅sinα=1213⋅35−513⋅45=1665
故选C
由已知中α、β都是锐角，sinα=45,cs(α+β)=513，我们根据同角三角函数关系公式，可以求出csα，sin(α+β)，代入两角差的正弦函数公式，即可求出答案．
本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系公式，两角差的正弦函数公式，其中根据已知条件求出csα，sin(α+β)，为两角差的正弦函数公式的使用准备好所有的数据是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，以及平面向量基本定理，属于较易题．
根据向量的加法运算法则运算即可得解．
【解答】
解：如图，
BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC)
=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，
所以EB=34AB−14AC．
故选A．
6.【答案】B
【解析】解：设需要休息x小时，依题意，100×(1−25%)x=100×(34)x<20，
整理得(34)x<210，
两边取以10为底的对数得xlg34所以x>lg2−lg10lg3−lg4=lg2−1lg3−2lg2=0.3−10.48−2×0.3=≈5.8，
所以至少需要6小时．
故选：B．
根据已知条件列不等式，由此求得正确答案．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：若函数在区间内无零点，则f(π)⋅f(2π)≥0T2=πω≥2π−π⇒sin(πω−π4)sin(2πω−π4)≥0ω≤1
此时需要分情况讨论：当sin(πω−π4)≥0sin(2πω−π4)≥0时，2kπ≤πω−π4≤2kπ+π2kπ≤2πω−π4≤2kπ+π，k∈Z，
解得2k+14≤ω≤2k+54k+18≤ω≤k+58，k∈Z，
又因为0<ω≤1，所以当k=0时，可得14≤ω≤58．
当sin(πω−π4)≤0sin(2πω−π4)≤0时，2kπ−π≤πω−π4≤2kπ2kπ−π≤2πω−π4≤2kπ，k∈Z，
解得2k−34≤ω≤2k+14k−38≤ω≤k+18，k∈Z，
又因为0<ω≤1，所以当k=0时，可得0<ω≤18，
综上可知，ω的取值范围为(0,18]∪[14,58]．
故选：D．
利用三角函数性质，再进行分情况讨论，最后对得出的不同取值范围取并集即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：依题意，f(−1)=1，f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，
令x=y=0，得f(0)+f(0)=f(0)f(0)，
所以f(0)=0或f(0)=2，
当f(0)=0时，f(x)=0，不符合题意，
所以f(0)=2，故A错误；
令x=0得f(y)+f(−y)=f(0)f(y)=2f(y)，
所以f(y)=f(−y)，故f(x)为偶函数，故B错误；
令y=−1，得f(x−1)+f(x+1)=f(x)，所以f(x)+f(x+2)=f(x+1)，
所以f(x+2)=−f(x−1)，所以f(x+3)=−f(x)，
所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，
所以f(x)的周期为6，故D错误；
令x=y=−1，得f(−2)+f(0)=f2(−1)，又f(−1)=1，f(0)=2，
可得f(−2)=−1，
所以f(2)=f(−2)=−1，
所以f(8)=−1，故C正确．
故选：C．
利用赋值法令x=y=0，即可求出f(0)，从而判断A；令x=0，可判断函数的奇偶性，从而判断B；令y=−1，可得f(x)+f(x+2)=f(x+1)，从而可得f(x+2)=−f(x−1)，进而推出函数的周期，即可判断D；令x=y=−1，可求出f(−2)，由奇偶性可得f(2)，再由周期性求得f(8)，即可判断C．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由向量数量积的计算公式，0⋅a=0，故A正确，
对于B，当非零向量a⊥b时，必有a⋅b=0，故B错误．
对于C，|a|⋅csπ3=3×12=32，则a在b方向上的投影向量为32e，故C正确，
对于D，▱ABCD中，满足AB/​/CD，即向量AB,CD共线，显然点A，B，C，D不在同一直线上，故D错误．
故选：AC．
根据题意，根据平面向量的数量积的计算公式分析A、B，由投影向量的计算公式分析C，由共线向量的性质分析D，综合可得答案．
本题考查向量数量积的运算、投影向量的计算以及向量共线的定义，注意向量数量积的计算公式，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由图知T4=7π12−π3=π4，所以T=π，故选项B错误，
又由T=2π|ω|=π，得到|ω|=2，又ω>0，所以ω=2，
由图易知，A=1，且图象过点(7π12,−1)，所以2×7π12+φ=3π2+2kπ,k∈Z，
得到φ=π3+2kπ,k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=π3，所以选项A正确，
因为f(x)=sin(2x+π3)，由2x+π3=kπ,k∈Z，得到x=−π6+kπ2,k∈Z，
令k=0，得到x=−π6，即f(x)的一个对称中心为(−π6,0)，所以选项C正确，
又将函数f(x)的图象向右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x−π6+π3)=sin(2x+π6)的图象，所以选项D正确．
故选：ACD．
根据图象，求出f(x)的周期，即可判断出选项B的正误，利用图象过点(7π12,−1)，可求得φ值，从而可判断出选项A的正误，利用y=sinx的图象与性质，求出f(x)的对称中心，即可判断出选项C的正误，再利用图象的平移，即可判断出选项D的正误，从而求出结果．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于选项A，∵f(x)=x2−4x+6在x∈[2,b]上单调递增，且f(2)=22−4×2+6=2，
∴f(b)=b，即b2−4b+6=b，
∴b=2(舍)或b=3，故A正确；
对于选项B，f(x)=1+2x在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，
若存在“伴随区间”[a,b]，则f(a)=b，f(b)=a，
即1+2a=b，1+2b=a，
解得a=2b=2或a=−1b=−1，与b>a矛盾，故选项B错误；
对于选项C，f(x)=m− x+1在上x∈[−1,+∞)单调递减，
假设存在“伴随区间”，[a,b]⊆[−1,+∞)，
则m− b+1=a且m− a+1=b，
∴m= a+1+b= b+1+a, b+1− a+1=b−a=(b+1)−(a+1)，
∴ b+1+ a+1=1，即 b+1=1− a+1或 a+1=1− b+1，
因此m=1− a+1+am=1− b+1+b，
∴m=1− x+1+x在[−1,+∞)内有两个不同根，
令t= x+1，∴t≥0，t2=x+1，x=t2−1，m=t2−1−t+1=t2−t，
∴m∈(−14,0]，故选项C错误；
对于选项D，不妨取x∈[a,0]，则y∈[3a,0]，
所以−12a2+a=3a，解得a=−4，
故存在x∈[−4,0]，y∈[−12,0]，故选项D正确．
故选：AD．
对于ABC：利用伴随区间的定义来判断；对于D：不妨取x∈[a,0]，则y∈[3a,0]，列方程求解即可．
本题考查了函数的定义域和值域，是中档题．
12.【答案】2
【解析】解：若函数f(x)=x3+ax2+x为奇函数，
则f(−x)=−f(x)恒成立，
即−x3+ax2−x=−x3−ax2−x，
故ax2=0，
所以a=0，f(x)=x3+x，
所以f(1)=2．
故答案为：2．
先由奇函数定义求出a，然后可求f(1)．
本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．
13.【答案】120°
【解析】【分析】
本题考查向量夹角的求法，涉及向量数量积的计算，属于基础题．
根据题意，设向量a，b的夹角为θ，由数量积的运算性质可得16a2+b2+8a⋅b=17+8csθ=13，求出csθ的值，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设向量a，b的夹角为θ，
若|4a+b|= 13，两边平方可得16a2+b2+8a⋅b=17+8csθ=13，
解可得csθ=−12，
又由0°≤θ≤180°，故θ=120°，
故答案为120°．
14.【答案】13
【解析】解：因为x2+x3，x3+x4的地位相同，x4+x5，x2+x5地位相同，故只要讨论其一，
假设x2+x3最大，设为a，则a+x1+x4+x5=1，
要使得a最小，则其余数尽可能大，x1+x2最大取a，最大取x1=x3，
剩下的x4+x5也要尽可能的大，取x4+x5=a，则a+a+x3=1，x2+x3=a，
要使x3尽可能大，则x3=a，x2=0，
故a=13．
故答案为：13
因为x2+x3，x3+x4的地位相同，x4+x5，x2+x5地位相同，故只要讨论其一，假设x2+x3最大，设为a，则a+x1+x4+x5=1，然后分析取得最值的条件可求．
本题主要考查了函数最值的求解，考查了逻辑推理的能力．
15.【答案】解：(1)csα=−817，α是第二象限的角，故sinα>0，
因为sin2α+cs2α=1，
所以sinα= 1−cs2α= 1−64289=1517，tanα=sinαcsα=1517−817=−158；
(2)因为tanα=2，所以3sinα−csα2sinα+3csα=3tanα−12tanα+3=3×2−12×2+3=57．
【解析】(1)根据同角三角函数关系结合α是第二象限的角，求出正弦值和正切值；
(2)化弦为切，代入求值．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为不等式f(x)>0的解集为{x|−1所以−1，3是方程ax2+bx+c=0的两根，
所以−1+3=2=−ba，−1×3=−3=ca，即b=−2ac=−3a，
函数f(x)=ax2+bx+c的对称轴为x=1，
且函数f(x)=ax2+bx+c在x=1处取得最大值4，即有a+b+c=−4a=4，
所以a=−1，因此a=−1，b=2，c=3．
(2)依题意，f(x)=−x2+2x+3<4x+m在[−1,1]上恒成立，
即有−x2−2x+3而g(x)=−x2−2x+3=−(x+1)2+4在[−1,1]上单调递减，
所以g(x)max=g(−1)=4，
必有m>4，即m的取值范围为(4,+∞)．
【解析】(1)根据不等式解集的端点即为对应方程的根，得到根与系数的关系，再由最大值可得出a，b，c；
(2)转化为不等式恒成立，分离参数后，由二次函数求区间上的最大值即可得解．
本题考查函数的恒成立问题，涉及二次函数的性质，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)= 3sin2x+2cs2x+m
= 3sin2x+cs2x+m+1
=2( 32sin2x+12cs2x)+m+1
=2sin(2x+π6)+m+1，
当x∈[0,π2]时，2x+π6∈[π6,7π6]，
所以−12≤sin(2x+π6)≤1，
则m≤f(x)≤m+3，
因为f(x)的最小值为3，
所以m=3；
(2)由(1)得f(x)=2sin(2x+π6)+4，
令2kπ+π2≤2x−π3≤3π2+2kπ,k∈Z，
则kπ+5π12≤x≤11π12+kπ,k∈Z，
即g(x)的单调递减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12],k∈Z，
【解析】(1)首先化简函数的解析式，再根据函数的定义域求函数的最小值，即可求解m；
(2)根据(1)的结果，代入正弦函数单调递减区间，即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
18.【答案】解：由题可得，AB=h2sinα，AC=h1csα．
(1)当α=30°时，AB=2h2，AC=2 3h1，
所以S△ABC=12AB⋅AC=2 3h1h2，
又因为h1+h2=30，h1，h2≥0，
所以S△ABC=2 3h1h2≤2 3(h1+h22)2=150 3，当且仅当h1=h2=15时取等号．
所以荷花种植区域面积的最大值为150 3m2．
(2)因为h1+h2=30，h2=4h1，所以h1=6，h2=24，
故AB=24sinα，AC=6csα，α∈(0,π2)，
从而S△ABC=12AB⋅AC=72sinαcsα=150，
所以sinαcsα=1225，①
所以(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=4925．
又因为α∈[0,π2]，所以sinα+csα=75，②
由①②解得：sinα=35或45．
【解析】(1)由三角形的面积公式和基本不等式计算即可求得；
(2)由三角形的面积公式和同角三角函数的基本关系计算即可．
本题考查解三角形的实际应用问题，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当f(x)=2x时，f(m−x)⋅f(m+x)=2(m−x)⋅2(m+x)=4(m2−x2)不是常数，所以f(x)=2x∉M；
当g(x)=2x时，g(m+x)⋅g(m−x)=2m+x⋅2m−x=2m+x+,−x=22m，故存在实数(0,1)，使得f(0+x)⋅f(0−x)=1对定义域内的任意实数都成立．故g(x)∈M．
(2)依题意得f(x)f(−x)=1且f(1+x)f(1−x)=4，
在f(1+x)f(1−x)=4中令x=x−1得f(x)f(2−x)=4，
当x∈[1,2]时，2−x∈[0,1]，f(x)=4f(2−x)∈[2,4]，
∴x∈[0,2]时，f(x)∈[1,4]，
又由f(x)⋅f(−x)=1得f(x)=1f(−x)，故1f(−x)=4f(2−x)，即4f(−x)=f(2−x)，则有f(2+x)=4(x)，
∴x∈[2,4]时，f(x)∈[4,16]，
x∈[4,8]时，f(x)∈[16,64]，
…
以此类推可知：x∈[2k,2k+2]时，f(x)∈[22k,22k+2]，
故x∈[2016,2018]时，f(x)∈[22016,22018]，
综上所述：x∈[0.2018]时，f(x)∈[1,22018].
【解析】本题考查了反函数，属难题．
(1)根据已知中集合M的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论；
(2)利用题中的新定义，列出两个等式恒成立将x用2+x代替，两等式结合得到函数的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．