01第07讲：空间几何体外接和内接球模型期中题型考点讲与练- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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第07讲：空间几何体外接和内接球模型期中题型考点讲与练【考点梳理】考点一：直接法(公式法)考点二：构造法(补形法)考点三：确定球心位置法考点四：球表面积和体积最值问题【技巧归纳】1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq \r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq \s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq \r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq \r(3)a.【题型归纳】题型一：直接法(公式法)1．（23-24高一下·浙江金华·期中）已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，，则此三棱锥外接球的体积为（    ）A． B． C． D．2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（     ）A． B． C． D．3．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（    ）A． B． C． D．题型二：构造法(补形法)4．（2024·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．5．（2024·宁夏固原·一模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．6．（2024·浙江·二模）在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．题型三：确定球心位置法7．（2024·内蒙古赤峰·一模）在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ）A． B． C． D．8．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（    ）A． B． C． D．9．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．题型四：球表面积和体积最值问题10．（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥的顶点都在体积为的球面上，底面为面积为32的正方形，则当四棱锥体积最大时，该四棱锥的表面积为（    ）A．66 B．96 C． D．12811．（2024·陕西安康·模拟预测）在菱形中，，，将该菱形沿对角线折起，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，其内切球的表面积为（    ）A． B． C． D．12．（2024·陕西商洛·模拟预测）某圆柱的轴截面是面积为12的正方形为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，平面与球的交线长为（    ）A． B． C． D．【强化精练】一、单选题13．（2024·吉林·模拟预测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（    ）A． B． C． D．14．（2024·湖北·二模）已知圆锥的顶点为，其三条母线，，两两垂直．且母线长为6．则圆锥的内切球表面积与圆锥侧面积之和为（    ）A． B．C． D．15．（2024·河北唐山·一模）已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（   ）A．2：3 B．3：4 C．7：8 D．6：1316．（23-24高三下·贵州·阶段练习）若一圆锥的内切球半径为2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（　　）A． B． C． D．17．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，O为AC，BD的交点，平面，，则四棱锥的内切球的表面积为（    ）  A． B． C． D．18．（2024·全国·模拟预测）已知两个圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，它们的上底面半径都为2，下底面半径都为4，高之差为2，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．19．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（    ）A． B． C． D．20．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（    ）A． B． C． D．21．（2024·天津·一模）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（    ）A． B． C． D．22．（2024·广西柳州·三模）已知P，A，B，C是半径为2的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（    ）A． B． C． D．23．（2024·天津和平·一模）若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（    ）A． B．8 C．6或8 D．或6二、多选题24．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为，则该球的体积不可能为（    ）A． B． C． D．25．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）如图，正八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则下列结论正确的是（    ）A．点D到平面的距离为 B．一蚂蚁从点A爬到点C的最短距离为4C．此八面体的外接球半径为 D．此八面体的内切球半径为26．（23-24高三上·江西·期末）在棱长为2的正方体中，点，，分别是线段，线段，线段上的动点，且.则下列说法正确的有（    ）A．B．直线与所成的最大角为C．三棱锥的体积为定值D．当四棱锥体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为27．（2024高三·全国·专题练习）(多选)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面最高点上，则下列说法正确的有（    ）A．球O的半径是2B．当矩形ABCD是正方形时，四棱锥P-ABCD的体积最大C．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是D．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是三、填空题28．（2024·青海西宁·二模）已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为 ．29．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为 .30．（2024·四川遂宁·二模）一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为 ．31．（2024·辽宁大连·一模）在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积是 ；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是 ．32．（2024高三下·河北）已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为 .参考答案【题型归纳】题型一：直接法(公式法)1．（23-24高一下·浙江金华·期中）已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，，则此三棱锥外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三棱锥的三条侧棱两两垂直，知其外接球就是所在长方体的外接球，设出棱长，求出体对角线，即可得出球的直径得解.【详解】三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，其外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，设，则有，可求得，即长方体的对角线的长为，所以球的直径是，半径为，所以外接球的体积．故选：A．2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，再设外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，求得，利用求得表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，在中，，且，由余弦定理得，设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即 再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为，在直角中，可得，所以球的表面积为.故选：B.  3．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，  则圆台侧面积为，上、下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.题型二：构造法(补形法)4．（2024·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中由余弦定理求得，由题意证得平面ABC，进而确定外接球球心O，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.【详解】在中，，即，又，因为，所以，同理，又由平面ABC，平面.设的外接圆半径为，所以，所以，所以外接球的半径R满足，∴三棱锥外接球的表面积为.故选：A.5．（2024·宁夏固原·一模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果.【详解】因为平面平面，，，所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，所以直三棱柱的外接球的半径，则球的表面积，故选：A.6．（2024·浙江·二模）在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】记球心为，取中点为、中点为，连接，易得，，由，即可求出，由此即可求出答案.【详解】如图所示：记球心为，取中点为、中点为，连接，记外接球半径为，在中，，,，在中，，, 在中，，所以AC与BD所成角为，即，在中,，，所以，解得：，所以该外接球的表面积为：故选：A.  题型三：确定球心位置法7．（2024·内蒙古赤峰·一模）在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设上下两个底面的中心分别为，连接，则直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积.【详解】设上下两个底面的中心分别为，连接，因为所有棱长为2的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，所以直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在等边中，，在直角中，，所以直三棱柱外接球的半径，所以球的表面积为.故选：A8．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，取的中点为，连接，设为的中心，为的中心，由对称性可得在平面中，且平面，平面，结合解三角形可得，从而可求外接球半径，故可得其体积.【详解】如图，取的中点为，连接，因为，故为等边三角形且，因为为等边三角形，故，由余弦定理可得，故，而为等边的边上的中线，故，同理，故，而为三角形内角，故.设为的中心，为的中心，则在上且在上，因为、均为等边三角形其它们有公共边，由对称性可得在平面中，设为外接球的球心，连接，则平面，平面，而平面，平面，故，连接，则由四点共圆可得，故，所以即外接球半径为，故棱锥的外接球的体积为.故选：A9．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正三棱锥的结构特征可求解高的长度，进而根据勾股定理即可求解半径，即可由表面积公式求解，或者利用空间直角坐标系求解半径.【详解】方法一：如图，取正三角形的中心为，连接，则三棱锥的外接球球心在上，连接.在正三角形中，，所以.在中，，所以.设外接球的半径为，由，，解得，所以三棱锥的外接球表面积.故选:C.  题型四：球表面积和体积最值问题10．（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥的顶点都在体积为的球面上，底面为面积为32的正方形，则当四棱锥体积最大时，该四棱锥的表面积为（    ）A．66 B．96 C． D．128【答案】D【分析】先根据球的体积公式求得球的半径；再分析四棱锥的体积最大时四棱锥的结构特征；最后根据正棱锥的性质求出该四棱锥的高及侧面的高即可求解.【详解】设球的半径为，球心为，则，解得：．    因为底面为面积为32，所以.所以要使四棱锥体积最大，只需使点到底面的距离最大.根据四棱锥的结构特征分析得出：当四棱锥为正四棱锥且球心在四棱锥的内部时，该四棱锥的高最大，体积也最大.设是线段的中点，是正方形的中心，连接.设正方形的边长为，则，解得，所以正方形的外接圆半径， ，球心到底面的距离．当四棱锥的体积最大时，四棱锥的高，因为四棱锥为正四棱锥，所以，则，所以.此时该四棱锥的表面积为，故选：D．11．（2024·陕西安康·模拟预测）在菱形中，，，将该菱形沿对角线折起，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，其内切球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算内切球问题即可得.【详解】由，其中为定值，为点到的距离，则当三棱锥的体积最大时，点到的距离需取最大，连接点与中点，则平面时，到的距离最大，且，由，，故，设三棱锥的内切球的半径为，则有，，，，则，故 ，即，即，即，故.故选：B.12．（2024·陕西商洛·模拟预测）某圆柱的轴截面是面积为12的正方形为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，平面与球的交线长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件知当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，作出图形后，计算即可.【详解】由题意知，当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，因为正方形的面积为12，所以，如图1，记所在底面的圆心为所在底面的圆心为，平面与球的交线为圆形，如图即为截面圆的直径，易知，易知RtRt，故，所以，所以交线长为.故选:D.【强化精练】一、单选题13．（2024·吉林·模拟预测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，由题意知：，两式相除解得，；所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高，设圆锥的内切圆半径为，，解得.故选：D.14．（2024·湖北·二模）已知圆锥的顶点为，其三条母线，，两两垂直．且母线长为6．则圆锥的内切球表面积与圆锥侧面积之和为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由三条母线两两垂直且长为6可得，圆锥的底面圆内接正边长，进而由正弦定理得底面圆的半径，再求出圆锥的高，就可得圆锥轴截面面积，又圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径，等面积即可得内切球的半径，进而得所求.【详解】因为，，两两互相垂直且长度均为6，所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长，由正弦定理得底面圆的半径，所以圆锥的高．如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径，轴截面三角形面积为，所以内切球的半径．内切球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以其和为.故选：C.15．（2024·河北唐山·一模）已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（   ）A．2：3 B．3：4 C．7：8 D．6：13【答案】B【分析】作出圆台的轴截面，利用切线长定理可得母线与半径的关系；结合60°可得圆台的上下半径以及球的半径的关系，即可利用面积公式求解.【详解】设圆台上下底面圆的半径为，母线为球的半径为取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形，圆台的外接球球心为，则球心在截面内，在截面内，设圆切梯形的边、、、分别于点、、、，由切线长定理可得，，故，即；由于,所以，解得；故选：B．  16．（23-24高三下·贵州·阶段练习）若一圆锥的内切球半径为2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆锥侧面展开图扇形弧长可构造方程求得，利用圆锥轴截面面积可构造方程求得的值，代入圆锥体积公式即可.【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，高为 ，圆锥侧面展开图为一个半圆，侧面展开图扇形弧长为，则，作出圆锥的轴截面如下图所示，其中为圆锥内切球球心，  ，，又，，解得或（舍去），，圆锥体积为.故选：C17．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，O为AC，BD的交点，平面，，则四棱锥的内切球的表面积为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等积法可求内切球的半径，故可求它的表面积.【详解】因为四边形为菱形，，所以是正三角形，则，．因为平面，，平面，所以，．设，则，．在中，由余弦定理可得，解得，所以，，．因为O为的中点，所以．因为，，所以．同理可证，，所以．设四棱锥的内切球的半径为r，则，所以，所以四棱锥的内切球的表面积，故选：C．【点睛】结论点睛：（1）棱长为a的正四面体的斜高为，高为，外接球的半径为，内切球的半径为．（2）如果三棱锥的三条侧棱互相垂直，那么可以将其补形为长方体或正方体（三棱锥的三条侧棱相等时补形为正方体，不相等时补形为长方体），则长方体或正方体的外接球的球心即三棱锥的外接球球心，长方体或正方体的体对角线的长即三棱锥外接球的直径．（3）一个棱锥的内切球半径r可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积公式求得．18．（2024·全国·模拟预测）已知两个圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，它们的上底面半径都为2，下底面半径都为4，高之差为2，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据几何体的空间结构，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求解.【详解】不妨取两个圆台的摆放方式如图所示，记为高度低的圆台的下底面圆心，在圆上，连接，由题意得，所以，所以球的表面积为．备注：当两个圆台共下底面摆放时，可得其外接球的表面积仍为.故选：C19．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球的表面积公式即可得.【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，画出该轴截面如图，由母线长为，底面半径为可得该圆锥的高，设内切球的半径为，则有，解得，即内切球表面积为.故选：A.20．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出棱锥的高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出半径，进而得到表面积.【详解】设内切球的半径为的中点为，则⊥平面，因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以，因为，由勾股定理得，故棱锥的体积为，棱锥的表面积为，设内切球的半径为，  则由等体积法可得，解得，所以．故选：A21．（2024·天津·一模）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助圆锥的性质可计算出母线、高，由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，可得在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，即可得，代入数据计算即可得球的半径，借助球的表面积公式计算即可得解.【详解】底面周长为，则母线长度，则圆锥的高为，由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，故在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，设球的半径为，则有，即，解得，故球的表面积等于.故选：B.22．（2024·广西柳州·三模）已知P，A，B，C是半径为2的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理可求得外接圆半径r，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值， 从而得解.【详解】设的边长为a，则，所以，  设的外接圆的圆心为M，半径为r，则，得，则球心到平面的距离，当共线且位于之间时，三棱锥的高最大，为，此时三棱锥的体积也最大，最大值为故选：B．23．（2024·天津和平·一模）若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（    ）A． B．8 C．6或8 D．或6【答案】C【分析】由题可知，三棱台为正三棱台，上下底面的中心，连线构成的线段为高，根据球的性质可得，，进而可得.【详解】设球的半径为，则，得，如图所示，为的中心，为的中心，由题意可知，三棱台为正三棱台，为其高，球心在上，在中，在中，故，，当在线段上时，，当在线段的延长线上时，，故选：C二、多选题24．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为，则该球的体积不可能为（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】把四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，求出外接球的半径R，再计算外接球的体积．【详解】四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，由四棱锥的体积为，解得；，解得；∴外接球的体积为．故选：ACD．【点睛】关键点睛：关键是由四棱锥的结构特征补形成长方体，由此即可顺利得解.25．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）如图，正八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则下列结论正确的是（    ）A．点D到平面的距离为B．一蚂蚁从点A爬到点C的最短距离为4C．此八面体的外接球半径为D．此八面体的内切球半径为【答案】ACD【分析】根据给定的几何体，利用等体积法求出距离判断A；把置于同一平面求出两点间距离判断B，确定正八面体的外接球球心判断C；借助体积求出内切球半径判断D.【详解】连接，由四边形、、是正方形，得相交于点，且平面，，四棱锥的体积，对于A，令点D到平面的距离为，，由，得，解得，A正确；对于B，把置于同一平面，如图，连接，显然都是边长为2的正三角形，则，B错误；对于C，显然，因此点在以为半径的球面上，所以此八面体的外接球半径为，C正确；对于D，设此八面体的内切球半径为，显然八面体的表面积为，体积为，又，即，解得，所以此八面体的内切球半径为，D正确.故选：ACD26．（23-24高三上·江西·期末）在棱长为2的正方体中，点，，分别是线段，线段，线段上的动点，且.则下列说法正确的有（    ）A．B．直线与所成的最大角为C．三棱锥的体积为定值D．当四棱锥体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为【答案】BCD【分析】，可判断A；进而可得为中点时，直线与所成的角最大为，判断B；，可判断C；当为点时，四棱锥体积最大，计算可判断D．【详解】对于A，由，可得，因为，所以与不垂直，因此A不正确；对于B，因为，所以，因此直线与所成的角就是直线与所成的角，当为中点时，此时,直线与所成的角最大为，因此B正确：对于C，由于平面平面,平面,所以为定值，C正确：对于D，,由于为上的点，故到平面的距离为定值，所以到平面的距离为定值，要使最大，只需要最大，故当为点时，四棱锥体积最大，该四棱锥的外接球即正方体的外接球，直径为，所以，故其表面积为，因此D正确．故选：BCD．27．（2024高三·全国·专题练习）(多选)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面最高点上，则下列说法正确的有（    ）A．球O的半径是2B．当矩形ABCD是正方形时，四棱锥P-ABCD的体积最大C．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是D．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是【答案】ABD【详解】因为球O的表面积是16π，所以S＝4πR2＝16π，解得R＝2.四棱锥PABCD的底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上．设矩形的长、宽分别为x，y，则x2＋y2＝(2R)2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时S正方形ABCD＝2R2＝8.点P在球面上，当PO⊥底面ABCD时，PO＝R，即hmax＝R，则四棱锥PABCD体积的最大值为.故选ABD.三、填空题28．（2024·青海西宁·二模）已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为 ．【答案】【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由正弦定理可得外接圆的半径，从而可得球的半径，然后分别计算三棱锥的底面积与高，即可得到结果.【详解】设球的半径为外接圆的半径为，在中，，则由余弦定理得，即，所以，所以．因为球的表面积为，则，解得，所以球心到平面的距离，即三棱锥的高为，又，所以三棱锥的体积．故答案为：29．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为 .【答案】【分析】根据图象找到三棱柱外接球球心位置，利用几何关系求出半径，再求出外接球体积；然后求出水的体积表达式，结合基本不等式求出水体积的最大值，最后计算结果即可.【详解】如图，取的中点，连接，取的中点，连接，则为外接圆的圆心，为三棱柱外接球的球心，所以为外接圆半径，且，所以直三棱柱的外接球的体积为，又水的体积，且，当且仅当时取等号，则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为，故答案为：.30．（2024·四川遂宁·二模）一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为 ．【答案】【分析】设圆锥高为，底面半径为，推出，求出体积的表达式，利用导数判断单调性求解函数的最值，即可根据侧面积公式得到结果．【详解】设圆锥高为，底面半径为，则，，，，令得或（舍去），当时，，函数是增函数；当时，．函数是减函数，因此当，时函数取得极大值也最大值，此时圆锥体积最大．故侧面积为故答案为：．31．（2024·辽宁大连·一模）在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积是 ；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是 ．【答案】 【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径，所以三棱锥外接球的表面积为，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心的大圆，此时截面圆的面积为，最小截面为过点垂直于球心与连线的圆，此时截面圆半径（其中MN长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为，所以过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为．故答案为：;32．（2024高三下·河北·专题练习）已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为 .【答案】【分析】先求出正四面体的外接球半径，再利用，结合外接球知识求出该八面体的外接球半径即可求解.【详解】如图：设为正四面体的外接球球心，为的中心,为的中心, 为的中点，由正四面体可知平面，因为平面，所以，又因为棱长为8，所以，，设正四面体外接球球心为，则在，则为外接球半径，由得，解得，即,在正四面体中，易得，，所以，则该八面体的外接球半径,所以该球形容器表面积的最小值为，故答案为：