02第8章 立体几何初步 单元综合检测（难点）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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第8章 立体几何初步 单元综合检测（难点）一、单选题1．在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（    ）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形2．三棱台中，平面，，，为中点．则以下命题：（1）平面；（2）平面平面；（3）平面；（4）延长线上，存在点，使平面.其中正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．43．如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　）A． B．平面C．平面 D．平面平面4．已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题：①中可能有4条直线与a异面；②中可能有5条直线与a异面；③中可能有8条直线与b异面；④中可能有10条直线与b异面．A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④5．如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为（    ）    ①直线平面②平面与平面的夹角大小为③三棱锥的体积为定值④异面直线与所成角的取值范围是A．①② B．①③ C．①③④ D．①④7．已知中，为的中点. 将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，下列说法不正确的是（    ）A．平面平面B．三棱锥的体积为定值C．当二面角的平面角为时，三棱锥的体积为D．当二面角为直二面角时，三棱锥的内切球表面积为8．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（    ）A．B．多面体的体积为定值C．侧面上存在点，使得D．直线与直线所成的角可能为二、多选题9．如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点P，则在原图中下列说法正确的是（   ）A．四边形ABCD的面积为14B．与同向的单位向量的坐标为C．在向量上的投影向量的坐标为D． 最小值为1310．正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（    ）A． B． C．2 D．11．如图，已知二面角的棱上有A，B两点，，，，，且，则（   ）A．当时，直线与平面所成角的正弦值为B．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则三棱锥的外接球体积的为D．若，则二面角的余弦值为12．如图，在菱形中，，，沿将翻折至，连接，得到三棱锥，是线段的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）A．在棱上总存在一点，使得平面B．当时，三棱锥的体积为C．当平面平面时，D．当二面角为120°时，三棱锥的外接球的半径为三、填空题13．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知堑堵中，，.若堑堵外接球的表面积是，则堑堵体积的最大值是 .14．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，为底面圆的一条直径，若为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为 ．  15．已知如图（1）为梯形，，，点E在CD上，，，，现将沿AE折成如图（2）位置，使得二面角的大小为，则直线AB与平面APE所成角的正弦值是 .  16．在棱长为1的正方体中，点是对角线的动点（点与不重合），则下列结论正确的有 .①存在点，使得平面平面；②分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，存在点，使得；③对任意的点，都有；④对任意的点的面积都不等于.四、解答题17．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．18．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长.19．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D．  (1)求证：平面；(2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积；(3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由．20．如图，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，．  (1)求二面角的大小；(2)求三棱锥的体积；(3)点N在直线上，满足，在直线上是否存在点M，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．  (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围．22．在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点．  (1)若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由；(2)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．参考答案第8章 立体几何初步 单元综合检测（难点）一、单选题1．在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（    ）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】C【分析】找到截面与长方体的平面的交线，判断为五边形.【解析】如图所示，延长、，使，连接、，∵、、，∴、，∵、分别为棱、的中点，∴，∴，∵，又、、三点共线，∴、、三点共线，∴在截面上，延长、，使，连接，使，∴在截面上，连接、，∵，且∴，∴且=，又为中点，、、三点共线，∴、、三点共线，∴截面为五边形，故选：C．2．三棱台中，平面，，，为中点．则以下命题：（1）平面；（2）平面平面；（3）平面；（4）延长线上，存在点，使平面.其中正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意，结合线面垂直的判定方式，面面垂直的判定方法，线面平行的判定方法等逐个分析即可.【解析】  对（1）：因为平面，平面，所以，又，、平面，,所以平面，又因为平面，所以，取中点为，则，所以，即，又、平面，，故平面，故（1）正确；对（2）：因为，，所以为二面角的平面角，因为，所以，故（2）错误；对（3）、（4）：取中点为，延长至，使，连接，则，根据棱台特点知点四点共面，又因为平面平面，平面平面，平面平面，则，则，则点四点共面，若平面，平面平面，平面，则，与条件不符，故（3）错误；又且，所以，又 平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又,故平面平面，又平面，所以平面，故（4）正确.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过合理作辅助线，结合线面平行、面面平行以及线面垂直的判定与性质并结合反证法证明即可.3．如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　）A． B．平面C．平面 D．平面平面【答案】D【分析】利用反证法可判断A；由二面角的变化可判断B；利用反证法结合面面平行的性质可判断C；利用面面垂直的判定定理可判断D．【解析】对于D选项，翻折前，，，翻折后，，，因为，、平面，则平面，因为平面，所以平面平面，故D正确；对于B选项，因为，，则二面角的平面角为，在翻折的过程中，的大小会发生变化，故与不一定垂直，所以与平面不一定垂直，故B错误；对于A选项，设，在图一中，，又因为，所以，，因为，所以，所以，则，在图二中，过点在平面内作，交于点，连接，则，故，则，因为，所以不是的中点，因为，，则，若，因为，、平面，则平面，因为平面，所以，因为、平面，且，所以，因为为的中点，则为的中点，与已知矛盾，故A错误；由选项A知，因为，平面，平面，所以平面，若平面，则，、平面，所以平面平面，因为平面平面，平面平面，则，因为为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，故C错误．故选：D．4．已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题：①中可能有4条直线与a异面；②中可能有5条直线与a异面；③中可能有8条直线与b异面；④中可能有10条直线与b异面．A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④【答案】C【分析】利用异面直线的判断逐一分析即可得解.【解析】当直线取时，中只有四条直线（、、、）与直线异面，故①正确；因为直线平面，所以不可能与直线异面，当直线过底面两个顶点时，若直线为底面边所在直线，则由①可知，此时只有四条直线与直线异面；若直线为底面对角线，不妨设为，此时有超过5条直线与直线异面；当直线只过底面一个顶点（不妨设过顶点）时，此时至少有超过5条直线与直线异面；当直线不过底面任何一个顶点时，此时至少有超过5条直线与直线异面；综上，中不可能有5条直线与a异面，故②错误；当直线取线段AD中点与线段的中点连线时，中除了AD和之外的10条棱均与直线异面，故④正确；当直线取A点与线段的中点连线时，中除了AD、、AB和之外的8条棱均与直线异面，故③正确；故选：C.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是对异面直线的充分理解.5．如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可发现始终垂直平面，则只需过点作出平行的直线，找到该线与平面的交点，连接该点与即可得到与平面所成角，而后通过计算研究该角的正切值即可得.【解析】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，，故四边形为正方形，且，，又由点关于折叠而来，故，且，又、平面，且，故平面，过点作于点，由、，故，又平面，故平面，连接，则为与平面所成角，由平面，故，故与平面所成角的正切值即为，由，，，故与全等，故，，过点作于点，则有，设，则，当点在线段上（可在点，不可在点）时，则，有，则，则，易得在上时随的增大而增大，故，当点在线段上（不在两端）时，，则，则，则，易得在上时随的增大而增大，此时，综上所述，，即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为.故选：D.【点睛】本题难点在于在翻折过程中如何找到与平面所成角，可以发现翻折过程中平面始终是固定的平面，即虽然在动，但实际上平面并不会动，只需找到点在平面上投影即可得到该角.6．如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为（    ）    ①直线平面②平面与平面的夹角大小为③三棱锥的体积为定值④异面直线与所成角的取值范围是A．①② B．①③ C．①③④ D．①④【答案】B【分析】由线面垂直的性质定理与判定定理证明直线平面判断①，找出平面角后可判断②，由线面平行的性质可判断③，由异面直线所成的角的定义判断④．【解析】如图，连接，正方形中，，正方体的棱平面，平面，，，平面，所以平面，又平面，所以，同理．，平面，所以平面，①正确；因为平面，平面，所以，又平面平面，，平面，平面，则是平面与平面的夹角，显然三角形为等腰直角三角形，则该角大小为，②错；因为，，，所以，所以四边形为平行四边形，因此有，又平面，平面，所以平面，，因此到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，③正确；由于，因此异面直线与所成角就是与所夹的角，即图中或，设正方体棱长为1，易知，当点为中点时，此时，因为是等边三角形，在线段，因此或中较小的角的范围是，④错误．故选：B．  【点睛】关键点睛：本题对于较难的④的判断需要通过直线平移，从而将异面直线夹角进行转化，再根据等边三角形的性质和异面直线夹角的定义即可得到其范围.7．已知中，为的中点. 将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，下列说法不正确的是（    ）A．平面平面B．三棱锥的体积为定值C．当二面角的平面角为时，三棱锥的体积为D．当二面角为直二面角时，三棱锥的内切球表面积为【答案】B【分析】对于A，由已知条件可证得平面，然后由面面垂直的判定定理判断，对于B，由于的面积不是定值，从而可进行判断，对于C，由题意可得二面角的平面角为，从而可求得，进而可求得三棱锥的体积，对于D，由题意可得，然后利用等体积法可求出三棱锥的内切球的半径，从而可求出球的表面积.【解析】如图：  A选项，在中，为的中点，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，故平面平面，A正确，B选项，由选项A知平面，但的面积不是定值，故三棱锥的体积不是定值，B错误， C选项，因为，所以二面角的平面角为，当时，因为中，为的中点. 所以所以，由选项A知平面，所以三棱锥的体积为，C正确， D选项，当二面角为直二面角时，，所以，因为，，所以三棱锥的表面积为，设内切球半径为，则由等体积法知，解得，所以内切球表面积，D正确.故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判断，考查棱锥体积的求法，考查二面角，考查棱锥外接球问题，考查由平面图形折叠成立体图形问题，解题的关键是弄清折叠前后边角关系，考查空间想象能力，属于较难题.8．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（    ）A．B．多面体的体积为定值C．侧面上存在点，使得D．直线与直线所成的角可能为【答案】D【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【解析】对A：连接，作图如下：因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线，故可得，则，故A正确；对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变，故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；对C：取的中点分别为，连接，作图如下：容易知在△中，，又，，面面，故面面，又G在侧面上运动，且满足平面，故的轨迹即为线段；又因为为正方体，故面面，故，则当与重合时，，故C正确；对D：因为，故直线与所成角即为直线与所成角，即，在中，，故，而当直线与直线BC所成的角为时，，故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误.故选：D.二、多选题9．如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点P，则在原图中下列说法正确的是（   ）A．四边形ABCD的面积为14B．与同向的单位向量的坐标为C．在向量上的投影向量的坐标为D． 最小值为13【答案】AB【分析】根据直观图可得四边形为直角梯形，从而可求得原图形的面积，即可判断A；以点为坐标原点建立平面直角坐标系，写出的坐标，再根据与同向的单位向量为，即可判断B；根据在向量上的投影向量的坐标为即可判断C；设，根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示即可判断D.【解析】由直观图可得，四边形为直角梯形，且，则四边形的面积为，故A正确；如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，则，所以与同向的单位向量的坐标为，故B正确；，则在向量上的投影向量的坐标为，故C错误；设，则，则，，当时，取得最小值，故D错误.故选：AB.10．正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（    ）A． B． C．2 D．【答案】BD【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解.【解析】设该正方体为，且其棱长为，若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况.①若中间的两个平面为平面和平面，如图1所示，则过作截面，截面图如图2所示，其中分别为中点，则，设相邻两平面间距离即为A到的距离，可得，解得，即相邻两平面间距离即为A到的距离，可知，解得；②若中间的两个平面如图3所示，过作截面，截面图如图4所示，其中分别为中点，则，设相邻两平面间距离即为到的距离，可得，解得，即相邻两平面间距离即为到的距离，则，解得；故选：BD.【点睛】方法点睛：根据题意分类讨论平面的位置分布，结合正方体的结构特征以及截面分析求解.11．如图，已知二面角的棱上有A，B两点，，，，，且，则（   ）A．当时，直线与平面所成角的正弦值为B．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则三棱锥的外接球体积的为D．若，则二面角的余弦值为【答案】ABD【分析】对A：借助空间垂直的转化可得线线垂直，结合线面角的定义计算即可得；对B：借助二面角的定义，作出平行直线且与相交的直线即可计算异面直线夹角；对C：找到底面外接圆圆心，作出过该点且垂直底面的直线，则球心必在该直线上，设出半径，结合勾股定理可得半径，即可得外接球体积；对D：借助二面角定义作出该二面角的平面角，结合意义计算即可得.【解析】对A选项：当时，因为，，所以，所以直线与平面所成角为，又因为，所以，因为，，所以，所以，故A正确；对B选项：如图，过A作，且，连接，， 则四边形为正方形，所以，所以（或其补角）即为直线与所成角，因为，四边形为正方形，有，所以，又因为，所以即为二面角的平面角，即，由、、且、平面，所以平面，又四边形为正方形，所以，所以平面，又平面，所以.由且四边形为正方形，，所以，所以，即，即直线与所成角为，故B正确；对于D，如图，作，且，则二面角的平面角为，不妨取， 由，在中，易得，在中，由余弦定理得，，过C点作交线段的延长线于点O，则平面，过O点作，交线段的延长线于点H，连接，则为二面角的平面角，易得，，，所以，故D正确.对C选项：同选项D可知， 如图，分别取线段，的中点G，M，连接，过G点作平面的垂线， 则球心必在该垂线上，设球的半径为R，则，又的外接圆半径，而平面平面，所以平面，即的长为点到平面的距离，则，所以四面体的外接球的体积为，故C错误．故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题C选项中外接球半径半径的计算关键是先找到底面外接圆圆心，则球心必在过外接圆圆心且垂直于底面的直线上.12．如图，在菱形中，，，沿将翻折至，连接，得到三棱锥，是线段的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）A．在棱上总存在一点，使得平面B．当时，三棱锥的体积为C．当平面平面时，D．当二面角为120°时，三棱锥的外接球的半径为【答案】AC【分析】由线面平行的判定定理可判断A；求出三棱锥的体积可判断B；由平面平面可证得，由此求出可判断C；求出三棱锥的外接球的半径可判断D.【解析】对于A，取的中点，连接，∵E，F分别是，的中点，∴，∵平面，不包含于平面，∴平面，故A正确；对于B，易得，为等边三角形，取的中点，连接，，则，，，∴，则点到平面的距离为，∴三棱锥的体积，故B错误；对于C，当平面平面时，平面平面，因为为等边三角形，所以，平面，所以平面，又因为平面，所以，∴，故C正确；对于D，设三棱锥外接球的球心为，，的中心分别为，，易得平面，平面，且，，，四点共面，，，在中，，又，则三棱锥外接球半径，故D错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：求棱锥外接球的半径的方法是借用图形，寻找直角三角形（外接球的球心、截面圆的圆心、截面圆的内接三角形的顶点所构成的直角三角形），适时运用勾股定理或解三角形，得到外接球的半径R所满足的方程（组）.三、填空题13．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知堑堵中，，.若堑堵外接球的表面积是，则堑堵体积的最大值是 .【答案】【分析】因为，所以外接圆的圆心为的中点，所以堑堵外接球的球心是矩形的中心，由此根据堑堵外接球的表面积是，列出方程即可求出，进一步即可求解.【解析】    将堑堵补成直四棱柱，底面为矩形，设，则.通过分析可知堑堵外接球的球心是矩形的中心，则堑堵外接球的半径满足，从而，解得，即.设，，则，故，当且仅当时，等号成立，故堑堵的体积.故答案为：.【点睛】关键点睛：发现堑堵外接球的球心是矩形的中心，是本题关键入手点.14．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，为底面圆的一条直径，若为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为 ．  【答案】【分析】设在底面的投影为，连接，，，则平面，则，，在中由勾股定理表示出和，由，设，得出，求出其范围即可得出的取值范围．【解析】由题可知，点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的投影为，连接，，，则平面，，又，平面，所以，，所以，，，设，则，，因为，所以，所以，故答案为：．  15．已知如图（1）为梯形，，，点E在CD上，，，，现将沿AE折成如图（2）位置，使得二面角的大小为，则直线AB与平面APE所成角的正弦值是 .  【答案】/【分析】根据题意分析可得二面角的平面角为，平面平面，利用面面垂直的性质可证平面，再利用线面夹角的定义分析运算.【解析】在图（1）中，，在图（2）中，，则二面角的平面角为，且，平面，可得平面，因为平面，所以平面平面，在中，作边的高线，垂足为，连接，可得，因为，平面平面，平面平面，平面，可得平面，则直线AB与平面APE所成角为，所以，即直线AB与平面APE所成角的正弦值是.故答案为：.  【点睛】方法点睛：求解平面图形折叠问题的关键和方法1.关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．2.方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥，四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何中解决．16．在棱长为1的正方体中，点是对角线的动点（点与不重合），则下列结论正确的有 .①存在点，使得平面平面；②分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，存在点，使得；③对任意的点，都有；④对任意的点的面积都不等于.【答案】①②③【分析】当直线交平面于点时，根据面面平行的判定定理即可判断①正确；设根据面积可解得即可判断②正确；利用线面垂直判定定理可证明当直线交平面于点时满足，可得③正确，由③可知当点是线段上靠近点的三等分点时，的面积等于，即④错误.【解析】对于①，根据题意，连接，如下图所示：由正方体性质可得，平面，平面，所以可得平面，同理可平面，又，且平面，所以可得平面平面，当直线交平面于点时，有平面，即①正确；对于②，设，则在平面上的正投影图形的面积为，在平面上的正投影图形的面积与在平面上的的面积相等，即，若，则可得，解得或，又因为，所以可得，故存在点，使得，即②正确；对于③，取的中点为，的中点为，连接交于点，如下图所示：由正方形性质可知，，且，又，平面，所以平面； 又，所以平面，可得，由的中点为，所以可得即为线段的垂直平分线，可知，即③正确；对于④，利用正方体性质可得平面,平面,所以；同理可得平面,平面,所以；又，所以平面，易知平面，所以；结合③的结论即可得即为和的公垂线，即的高的最小值即为，易知，，可得，所以此时，即，即的面积，即当点是线段上靠近点的三等分点时，的面积等于，即④错误；故答案为：①②③【点睛】方法点睛：处理立体几何中动点问题时，往往利用面面平行、线面垂直等判定定理首先确定满足条件的动点位置，再利用几何体性质验证是否符合题意，即可求出最值或范围等问题.四、解答题17．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）由已知，可得面SFD，由面面垂直的判定定理可得证；（2）利用线面垂直的性质定理证明即可；（3）设S在面AEF上的射影为O，则为直线SE与平面DEF所成角．设，利用体积法，由求得，从而得的表达式，结合换元法及函数的单调性求出的最大值．【解析】（1）因为ABCD是正方形，，又，面SFD，面SFD，又平面，所以平面平面SFD；（2）证明：因为，面，面，所以面，又因为面面，所以.（3）设S在面AEF上的射影为，连接EO，则为直线SE与平面DEF所成角． 设，则．．在中，，．可得，，，又，，令，令，，当且时，，则，可得在上单调递减，当，即时，最大为，最大值为．18．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长.【答案】(1)证明见解析(2)(3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，.【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；（2）由题干数据结合即可求解；（3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解.【解析】（1）点在底面上的射影是与的交点，平面，平面，，四边形为菱形，，，平面，平面，平面，；（2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，，，，，设点到平面的距离为，由得，即，解得.故点到平面的距离为.（3）设直线与平面所成的角为，，到平面的距离即为到平面的距离.过作垂线平面交于点，则，此时，要使最大，则需使最小，此时.由题意可知：，，平面，且，，，在中，由余弦定理可得：，，由面积相等，即，解得：，，，即点在线段上靠近点的4分点处，此时，.19．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D．  (1)求证：平面；(2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积；(3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见详解；(2)(3)【分析】（1）通过几何图形的性质证明即可；（2）构造线面平行，求得F到平面的距离结合三棱锥的体积公式计算即可；（3）根据二面角的定义结合（1）作出其平面角，解三角形即可.【解析】（1）  如图所示，连接，由题意可知面ABC，四边形是菱形.∵面ABC，∴，又∵D是AC中点，是正三角形，∴，显然面，∴面，∵面，∴，在菱形中，有，而D，E分别是线段的中点，则，∴,∵面，∴面;（2）  如图所示，取的中点S，连接，过F作交于I，过I作分别交的延长线于H、N，易知分别是的中点，则由条件可得，面，面，故面，即到面的距离等于到面的距离，由（1）得，面，所以面，是直角三角形，在菱形中，易得，所以，即到面的距离为，，所以；（3）    如图所示，假设存在G点满足题意，取的中点S，连接，过G作交于M，连接MD，易得，面，面，故面，又结合（1）的结论有，故二面角为，所以，在菱形中，作，易得，易知为直角三角形，故.  【点睛】本题关键在于求F到面BDE的距离，通过构造线面平行来转化是求点面距离的常用方法；另一个关键在于求二面角的平面角，结合（1）的结论找出垂直关系解三角形即可.20．如图，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，．  (1)求二面角的大小；(2)求三棱锥的体积；(3)点N在直线上，满足，在直线上是否存在点M，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的值为或．【分析】（1）作出二面角的平面角，求得相关线段长，解三角形可得答案；（2）证明为三棱锥的高，根据棱锥的体积公式可求得，即可求得答案；（3）假设直线上存在点M，使平面，讨论N点的位置，根据三角形相似以及线面平行的性质，即可求得的值，即得答案.【解析】（1）∵四边形，为两个全等的等腰梯形，且，过点E作，，分别交，于G、H，连接，  ∴为二面角的平面角，∵四边形为正方形，∴，，则四边形为矩形，故；又，，，则，同理，则，∴，即二面角的大小为.（2）过点E作，垂足为O．∵，平面，平面，∴平面，∵，，∴∵平面，∴平面，∵平面，∴∵平面，∴平面，∴为三棱锥的高，由（1）可得，故，∵，∴.（3）假设直线上存在点M，使平面，当N在线段上时，连接交于R，连接，      则∽，所以，∵平面，平面，平面平面∴，∴；当点N在延长线上时，连接交于S，连接，  则∽，则，∵平面，平面，平面平面．∴，所以， 综上，在直线上存在点M，使平面，的值为或．21．在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．  (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围．【答案】(1)点G为棱上靠近点的三等分点，理由见解析(2)(3)【分析】（1）延长，相交于点P，证明，可确定点G的位置；（2）利用几何方法找到截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的，求得相应有边长，可得二面角的正切值；（3）由，通过构造函数，利用单调性求取值范围．【解析】（1）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面，则有平面平面，，即A，G，P三点共线．因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以，所以，即点G为棱上靠近点的三等分点．（2）在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面，在平面内作于点M，则平面ABC，又平面，所以，在平面内作于点N，连接，又平面，，所以平面，平面，所以，所以为截面与底面所成锐二面角的平面角．在中，作于点H，，，，，，，由余弦定理，则，，可得，所以，又，所以，故截面与底面所成锐二面角的正切值为.（3）设，则，．设的面积为S，所以，又因为，所以，且，故，令，则，设，当时，，，，，则，即，所以在上单调递减，所以，，所以，所以．【点睛】方法点睛：空间图形中确定点在直线上的位置，三角形相似和比例线段比较常用；作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；边长比、面积比的限值范围，可以通过构造函数，利用单调性解决.22．在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点．  (1)若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由；(2)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）取的中点，连接交于，利用线面垂直的判定定理证明平面即可．进而根据面面平行可得平面，即可确定点F的轨迹为三角形，结合余弦定理即可求解长度.（2）根据比例关系可得线线平行，即可由线线角的定义得到，结合线面垂直得线线垂直可得，利用消元法转化为三角函数，利用三角函数的性质进行求解即可．【解析】（1）在图（1）中，，四边形是正方形，在图（2）中，，，，平面，平面，分别取的中点为,，连接,则,平面,平面,所以平面，同理平面，由于平面，故平面平面，平面，因此点在平面上运动，故点F的轨迹为三角形，由，，所以即为二面角A－BD－C的平面角，故，由于，因此，故点F的轨迹长度为  （2）在线段取点使得由于平面，平面，，，，，易得，，从而有，则则  【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.