19第八章《立体几何初步》单元达标高分突破必刷卷(培优卷）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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第八章《立体几何初步》单元达标高分突破必刷卷(培优卷）一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（    ）  A． B．2cm C． D．1cm2．如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，若，，则在原平行四边形ABCD中，（    ）  A．3 B． C． D．93．如图是一个空间几何体的三视图，若该空间几何体的体积为，则该几何体的侧面积为（    ）  A． B． C． D．4．已知三棱锥中，，E，F分别是SA，BC的中点，，则EF与AB所成的角大小为（    ）A． B． C． D．5．在三棱柱中，点在棱上，且所在的平面将三棱柱分割成体积相等的两部分，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．66．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，O为AC，BD的交点，平面，，则四棱锥的内切球的表面积为（    ）  A． B． C． D．7．正三棱锥中为的中点，为上的任意上点，设与所成的角的大小为，与平面所成的角的大小为，二面角的大小为，则（    ）A． B． C． D．8．如图，在棱长为1的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列三个结论：①；②点到直线的距离的最小值是；③当时，三棱锥外接球的表面积为．其中所有结论正确的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3二：多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且，则以下结论正确的是（    ）A．异面直线与所成的角是B．三棱锥的体积为C．存在点，使得D．点到平面距离的最小值为10．如图，正八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则下列结论正确的是（    ）A．点D到平面的距离为 B．一蚂蚁从点A爬到点C的最短距离为4C．此八面体的外接球半径为 D．此八面体的内切球半径为11．在长方体中，，，P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（    ）A．平面B．与所成角的正切值的最大值是C．以A为球心，5为半径的球面与侧面的交线长是D．若P为靠近B的三等分点，则该长方体过的截面周长为12．如图，为圆锥底面的直径，，点是圆上异于的动点，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面相切），点是球与圆锥侧面的交线上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．若⊥，三棱锥体积的最大值为8B．若⊥，平面与底面所成角的取值范围为C．若，内切球的表面积为D．若，的最大值为4三：填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图：矩形的长为，宽为，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为 .  14．如图，在直三棱柱中，为等边三角形，，，则三棱柱的外接球的表面积为 .15．如图，在矩形中，，，点为的中点，将△沿翻折到△的位置，在翻折过程中，不在平面内时，记二面角的平面角为，则当最大时，的值为 ．16．如图，的棱长为2，点P在正方形的边界及其内部运动，则四面体的体积的最大值是 ；记所有满足的点P组成的平面区域为W，则W的面积是 ．  四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；   18．如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为，为的中点，在线段上，平面．(1)记五棱锥的体积为，四面体的体积为，求；(2)求与平面所成角的正弦值．19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，，，与相交于点．  (1)若点在棱上，且满足，求证：直线∥平面．(2)当，时，试求直线与平面所成角的正弦值．20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，、、分别为、、的中点.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．22．如图1，在边长为4的菱形中，，，分别为，的中点，将沿折起到的位置，得到如图2所示的三棱锥．    (1)证明：；(2)为线段上一个动点（不与端点重合），设二面角的大小为，三棱锥与三棱锥的体积之和为，求的最大值．第八章《立体几何初步》单元达标高分突破必刷卷(培优卷）一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（    ）  A． B．2cm C． D．1cm【答案】A【分析】小虫爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求.【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求，  在中，，，∴.故小虫爬行的最短距离是.故选：A.2．如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，若，，则在原平行四边形ABCD中，（    ）  A．3 B． C． D．9【答案】D【分析】根据斜二测画法规则把直观图还原为原图形即可求解.【详解】在直观图中，，，则，，把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得，，所以.  故选：D.3．如图是一个空间几何体的三视图，若该空间几何体的体积为，则该几何体的侧面积为（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】由三视图可知，该几何体为上、下底面的直径分别为2，6的圆台，由圆台的体积公式和侧面积公式求解即可.【详解】由三视图可知，该几何体为上、下底面的直径分别为2，6的圆台，设圆台的高为，母线长为，则圆台的体积为，得，则．故圆台的侧面积为，故选：A．4．已知三棱锥中，，E，F分别是SA，BC的中点，，则EF与AB所成的角大小为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中点G，然后根据异面直线所成角的定义证明（或其补角）是与所成的角，进而求得答案.【详解】取的中点G，连接，如图，又E为的中点，所以，同理可得，所以（或其补角）是与所成的角.取的中点H，连接，则，所以，则，所以与所成的角为.故选：B.5．在三棱柱中，点在棱上，且所在的平面将三棱柱分割成体积相等的两部分，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】首先说明为的中点，在上取点，使得，连接、，即可证明平面平面，由面面平行的性质得到，从而得到，即可求出.【详解】如图，连接，则，又所在的平面将三棱柱分割成体积相等的两部分，所以，即，即，设到平面的距离为，则，，所以，所以为的中点，在上取点，使得，连接、，因为，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以.故选：D6．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，O为AC，BD的交点，平面，，则四棱锥的内切球的表面积为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等积法可求内切球的半径，故可求它的表面积.【详解】因为四边形为菱形，，所以是正三角形，则，．因为平面，，平面，所以，．设，则，．在中，由余弦定理可得，解得，所以，，．因为O为的中点，所以．因为，，所以．同理可证，，所以．设四棱锥的内切球的半径为r，则，所以，所以四棱锥的内切球的表面积，故选：C．【点睛】结论点睛：（1）棱长为a的正四面体的斜高为，高为，外接球的半径为，内切球的半径为．（2）如果三棱锥的三条侧棱互相垂直，那么可以将其补形为长方体或正方体（三棱锥的三条侧棱相等时补形为正方体，不相等时补形为长方体），则长方体或正方体的外接球的球心即三棱锥的外接球球心，长方体或正方体的体对角线的长即三棱锥外接球的直径．（3）一个棱锥的内切球半径r可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积公式求得．7．正三棱锥中为的中点，为上的任意上点，设与所成的角的大小为，与平面所成的角的大小为，二面角的大小为，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意作出示意图，分别通过线段长度表示出的正切值，然后根据线段长度比较的正切值的大小，由此确定出的大小关系.【详解】如图所示，记在底面的投影点为点，取中点，连接，显然过点，过作交于点，连接，过作交于点，连接，因为，所以二面角的平面角为，所以，所以，又因为平面，所以与平面所成角即为，所以，所以，又因为，所以，所以，结合正切函数的单调性可知，因为，所以与所成的角为，所以，所以，当点在点时，此时，又，所以，所以，所以，当由向运动时，此时增大，减小，所以增大，所以增大，综上可知：，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解异面直线所成角、线面角以及二面角的概念以及通过线段长度表示出每个角的正切值，将不直观的角度大小关系通过比值的形式直观表示出来.8．如图，在棱长为1的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列三个结论：①；②点到直线的距离的最小值是；③当时，三棱锥外接球的表面积为．其中所有结论正确的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①根据正方体的特征即可通过线面垂直证得线线垂直；②，当时，最小，解三角形即可求得；③当时，作出外接球的直观图，利用勾股定理可以求出外接球的半径，进而求得表面积；【详解】因为在正方体中，，所以平面，因为平面，所以，故①正确；设，连接，  因为平面，所以，即为到直线的距离，当时，最小，此时，，故②正确；三棱锥外接球主视图如图所示，  ，，关于直径的对称点为，，设，则即，解得，故，所以，故③错误；故选：C二：多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且，则以下结论正确的是（    ）A．异面直线与所成的角是B．三棱锥的体积为C．存在点，使得D．点到平面距离的最小值为【答案】BCD【分析】运用空间中直线和平面的位置关系，几何法求点线距离等方法分析即可.【详解】对于A，∵，可知异面直线与所成的角等于与所成的角，因为为正三角形，则，所以异面直线与所成的角是，故A错；对于B，因为，面，面，可知面，因为，面，面，可知面，且，面，所以面面，点，在平面内，则点，到面的距离相等，三棱锥的体积为，故B正确；对于C，当为中点时，满足点在平面内且，因为，，则，即，故C正确；对于D，分别取，的中点，，三棱锥为正三棱锥，过作面于，则为正的中心，因为，则，，由，得，即，解得，因为，则，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即正的内切圆，该内切圆与的交点为E，如图，当P与E重合时，点P到平面距离取最小值，作于，，面，，，即点到平面距离的最小值为，故D正确.故选：BCD.10．如图，正八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则下列结论正确的是（    ）A．点D到平面的距离为B．一蚂蚁从点A爬到点C的最短距离为4C．此八面体的外接球半径为D．此八面体的内切球半径为【答案】ACD【分析】根据给定的几何体，利用等体积法求出距离判断A；把置于同一平面求出两点间距离判断B，确定正八面体的外接球球心判断C；借助体积求出内切球半径判断D.【详解】连接，由四边形、、是正方形，得相交于点，且平面，，四棱锥的体积，对于A，令点D到平面的距离为，，由，得，解得，A正确；对于B，把置于同一平面，如图，连接，显然都是边长为2的正三角形，则，B错误；对于C，显然，因此点在以为半径的球面上，所以此八面体的外接球半径为，C正确；对于D，设此八面体的内切球半径为，显然八面体的表面积为，体积为，又，即，解得，所以此八面体的内切球半径为，D正确.故选：ACD11．在长方体中，，，P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（    ）A．平面B．与所成角的正切值的最大值是C．以A为球心，5为半径的球面与侧面的交线长是D．若P为靠近B的三等分点，则该长方体过的截面周长为【答案】ACD【分析】对于A，由长方体性质及线面平行判定证面、面，再由面面平行的判定和性质判断；对于B，由及异面直线夹角的定义得到与所成角即为（锐角），根据线面垂直的性质有，则即可确定其最大值；对于C，首先确定以为球心，5为半径的球面与面的轨迹，再判断球面与侧面的交线图形，即可求长度；于D，应用平面基本性质画出截面，结合长方体性质判定其为平行四边形，结合已知求边长即可判断.【详解】由长方体性质知：，面，面，则面，同理可证面，又，面，则面面，又面，则平面，A对；由，则与所成角即为（锐角），由面，面，则，所以，而，只需最大，即为4，故与所成角的正切值的最大值是，B错；以为球心，5为半径的球面与面的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以球面与侧面的交线是个圆弧，则交线长为，C对；如图，延长交于，过作交于，连接，结合长方体性质知：四边形为平行四边形，且为该长方体过，P，C的截面，又为靠近的三等分点，则，故，所以，，则的周长为，D对.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握立体的相关知识，逐一分析选项即可得解.12．如图，为圆锥底面的直径，，点是圆上异于的动点，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面相切），点是球与圆锥侧面的交线上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．若⊥，三棱锥体积的最大值为8B．若⊥，平面与底面所成角的取值范围为C．若，内切球的表面积为D．若，的最大值为4【答案】BCD【分析】A选项，由勾股定理和基本不等式，求出最大值，从而得到体积最大值；B选项，作出辅助线，找到平面与底面所成角的平面角为，利用，得到面面角的取值范围；C选项，作出辅助线，得到内切球的球心和半径，得到表面积；D选项，求出点的轨迹，设，表达出其他边长，证明出线面垂直，进而得到，平方后求出最大值，得到答案.【详解】A选项，因为⊥，，所以，故，由勾股定理得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积的最大值为，A错误；B选项，取的中点，连接，因为为的中点，故，所以⊥，因为，所以⊥，点是圆上异于的动点，故平面与底面所成角的平面角为，，，故，故，若⊥，平面与底面所成角的取值范围为，B正确；  C选项，若，则为等边三角形，故，，与球相切，设切点为，球的半径为，连接，则⊥，，故，则，解得，故内切球的表面积为，C正确；  D选项，点的轨迹为如图所示的小圆，由C选项得，，由⊥，，可知，故，，，，设点作⊥于点，连接，因为⊥小圆，小圆，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以，设，则，由∽可知，由勾股定理得，，故，，故，，故当时，取得最大值，最大值为16，故的最大值为4，D正确.  故选：BCD三：填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图：矩形的长为，宽为，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为 .  【答案】20【分析】根据斜二测画法还原出原图并求出相关线段的长度，进而求周长.【详解】由斜二测画法知：与轴平行或重合的线段其长度不变、与横轴平行的性质不变；与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变.还原出原图形如图所示的平行四边形，  其中cm，cm，cm，所以原图形的周长为cm.故答案为：2014．如图，在直三棱柱中，为等边三角形，，，则三棱柱的外接球的表面积为 .【答案】【分析】由条件确定三棱柱的外接球的球心的位置，结合球的截面性质求球的半径，利用球的表面积公式可得结论.【详解】如图所示，取，的外接圆的圆心分别为，，连接，取的中点，则是三棱柱外接球的球心，连接，．延长，交于点，由正三角形性质可得为的中点，为的中心，所以，因为，所以，由正三角形的性质可得设的外接圆的半径为，三棱柱的外接球的半径为，又，所以，所以，所以三棱柱的外接球的表面积为． 故答案为：.15．如图，在矩形中，，，点为的中点，将△沿翻折到△的位置，在翻折过程中，不在平面内时，记二面角的平面角为，则当最大时，的值为 ．【答案】【分析】取中点，易知在翻折过程中的射影在上且的轨迹是以为直径的圆，作，则、分别是二面角、的平面角、，由题设求、、、，即有，整理变形有即可求的范围，由正切单调性确定最大时值，即可求.【详解】取中点，易得，在翻折过程中的射影在上，且的轨迹是以为直径的圆， 如上图，在内作，垂足为，连，∴是二面角的平面角，即且．由，故，∴是二面角的平面角，设，由上下对称故只考虑即可．由，则，，，，而面，故，令，则且，∴，得， ∴由正切函数单调性，当最大时，故，此时．故答案为：【点睛】关键点点睛：应用几何法找到二面角、的平面角、，并得到它们之间的函数关系，结合辅助角公式、正弦函数的性质求的范围，进而由正切函数性质确定最大时值.16．如图，的棱长为2，点P在正方形的边界及其内部运动，则四面体的体积的最大值是 ；记所有满足的点P组成的平面区域为W，则W的面积是 ．  【答案】 【分析】空1：由平面,则是四面体以为底面时的高，所以当最大时，四面体的体积的最大；空2：连接，由，可得点的轨迹图形，从而可得其面积.【详解】空1：在正方体中，平面，所以平面,则是四面体以为底面时的高.由，所以当最大时，四面体的体积的最大，因为点P在正方形的边界及其内部运动，所以当P在线段上时，最大，其最大值为，所以四面体的体积的最大值为；空2：连接,则，由，则，所以点在以为圆心1为半径的圆外的区域和以为圆心为半径的圆内的区域与正方形的公共部分，如图（2）阴影部分扇环部分.所以W的面积.故答案为：；  四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；  【答案】证明见解析【分析】连接，利用三棱柱性质和面面平行的判定定理可证明平面平面，由面面平行的性质可得平面；【详解】证明：连接，如下图所示：  因为，且，分别是棱的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.18．如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为，为的中点，在线段上，平面．(1)记五棱锥的体积为，四面体的体积为，求；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)10(2)．【分析】（1）根据线面平行可得线线平行，进而可判断为中点，即可由体积公式求解，（2）利用等体积法求解点到面的距离，即可根据线面角的定义求解.【详解】（1）设正六边形棱长为，延长交延长线于，连接．设点到平面的距离为，．因为面，面，面面，所以，所以，所以为中点所以，所以．（2）不妨设，设到平面的距离为，因为，所以，由于二面角的大小为，且，过作平面，则点到平面的距离，，又，故，因为，，由于，故所以，，所以，，即与平面所成角的正弦值为．19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，，，与相交于点．  (1)若点在棱上，且满足，求证：直线∥平面．(2)当，时，试求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由，可得，再由题意可得，从而得，∥，即可得证；（2）由题意可得平面平面，取的中点为，连接，由面面垂直的性质可得平面，在线段上取点，使得，连接，则直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，由题意可求得，从而得到平面的距离为，再根据线面角的定义求解即可．【详解】（1）证明：在梯形中，因为∥，所以．因为，所以．因为，所以，所以∥．又因为平面，平面，所以平面．（2）解：因为，所以．又因为，，所以平面．因为平面，所以平面平面．如图，取的中点为，连接．  因为，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．在线段上取点，使得，连接，如图．因为，所以．因为∥，，所以四边形为矩形，所以∥，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，记为．在中，，，，所以，即点到平面的距离为，又,所以点到平面的距离为到平面的距离的，即为．因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，、、分别为、、的中点.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【分析】（1）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可；（2）取中点，连接、，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果.【详解】（1）证明：∵是平行四边形，、、分别为、、的中点，∴，，又平面，平面，平面，平面，∴平面，平面，∵，且、平面，∴平面平面.（2）解：存在点是线段的中点，使得平面，且.证明如下：取中点，连接、，∵、、分别是、、的中点，∴，且，即，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，且.21．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）由已知，可得面SFD，由面面垂直的判定定理可得证；（2）利用线面垂直的性质定理证明即可；（3）设S在面AEF上的射影为O，则为直线SE与平面DEF所成角．设，利用体积法，由求得，从而得的表达式，结合换元法及函数的单调性求出的最大值．【详解】（1）因为ABCD是正方形，，又，面SFD，面SFD，又平面，所以平面平面SFD；（2）证明：因为，面，面，所以面，又因为面面，所以.（3）设S在面AEF上的射影为，连接EO，则为直线SE与平面DEF所成角． 设，则．．在中，，．可得，，，又，，令，令，，当且时，，则，可得在上单调递减，当，即时，最大为，最大值为．22．如图1，在边长为4的菱形中，，，分别为，的中点，将沿折起到的位置，得到如图2所示的三棱锥．    (1)证明：；(2)为线段上一个动点（不与端点重合），设二面角的大小为，三棱锥与三棱锥的体积之和为，求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在菱形中连接交于点，则，即可得到，，从而得到平面，即可得证；（2）在菱形中，连接交于点，即可得到是二面角的平面角，即，过作于点，过作于点，即可得到平面，平面，则、分别为三棱锥、的高，即可表示出，，再由锥体的体积公式及二倍角公式公式计算可得.【详解】（1）在菱形中连接交于点，所以为的中点，，在三棱锥中，，，，平面，所以平面，平面，所以.      （2）在菱形中，连接交于点，因为，分别为，的中点，所以且，所以，在三棱锥中，，，所以是二面角的平面角，所以，  过作于点，过作于点，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，同理可证平面，所以、分别为三棱锥、的高，因为菱形边长为，所以，所以，在中，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以当时取得最大值.【点睛】关键点睛：第二问解答的关键是用的式子表示出、，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算出体积最大值.