37 空间中的五种距离问题- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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重难点专题15 空间中的五种距离问题【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．【典型例题】题型一：点线距【典例1-1】已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________．【典例1-2】（2024·高二·山东济南·期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（    ）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）  A． B． C． D．题型二：异面直线的距离【典例2-1】（2024·高二·上海杨浦·期中）如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 .【典例2-2】（2024·高二·上海浦东新·期末）在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是 ．【变式2-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，高．  (1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求异面直线与的距离．题型三：点面距【典例3-1】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在边长为的菱形中，，点分别是边的中点，，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图所示的五棱锥．(1)在翻折过程中是否总有平面平面?证明你的结论；(2)在翻折过程中当四棱锥的体积最大时，求此时点到平面的距离；【典例3-2】（2024·四川·一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面．(1)证明：平面；(2)已知，且，求点D到平面的距离．【变式3-1】（2024·高三·河南·期末）在平面四边形中，，，点为的靠近的三等分点，，将沿折起，使得平面平面，已知点在线段上，且满足，点为的中点.(1)证明：平面；(2)若为的中点，求点到平面的距离.题型四：线面距【典例4-1】（2024·高二·上海杨浦·期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,求到平面的距离.【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离．【变式4-1】（2024·高二·重庆巫山·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F.(1)求证：平面；(2)求直线到面的距离.题型五：面面距【典例5-1】（2024·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.  (1)证明：平面平面；(2)求平面与平面间的距离.【典例5-2】（2024·高一·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的距离．【变式5-1】（2024·高一·福建厦门·期末）如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；(2)求平面与平面的距离.【过关测试】1．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，.求点B到平面PAC的距离； 2．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，点在线段上，，，，.(1)求证：．(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．3．（2024·高二·云南曲靖·开学考试）如图，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，点F在AD上，且．(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD到平面PBC的距离．4．（2024·高一·湖南·课后作业）如图，在几何体中，平面ABC，平面ABC，，，．(1)求证：平面ABE；(2)求直线DC与平面ABE的距离．5．（2024·高一·山东济宁·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面之间的距离.6．（2024·高三·全国·专题练习）单位正方体中，分别是它们所在棱的中点，求与间的距离．重难点专题15 空间中的五种距离问题【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．【典型例题】题型一：点线距【典例1-1】已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________．【答案】【解析】如图，连接，过B作，则即为点B到直线的距离，在正方体中，平面，，在直角中，，且，所以 ，点B到直线的距离为.故答案为：.【典例1-2】（2024·高二·山东济南·期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P到直线AB距离的最小值即直线到直线的距离，又//，平面，平面，故//平面.又，故四边形为菱形，则//.平面，平面，故//平面.又，平面，故平面//平面.故直线到直线的距离为平面到平面的距离.则到平面的距离即为P到直线AB距离的最小值.设与交于，则易得为正四棱锥中心.则，，故为直角三角形，故.设到平面的距离为，则由，故，故，解得. 故选：B【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，取的中点F，连接，，∵，底面，∴四边形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面，∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离，过点作，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，过点M作交于点P，则，取，连接，则四边形是矩形．可得平面，在中，，得，∴点P到直线的距离的最小值为．故选：B．题型二：异面直线的距离【典例2-1】（2024·高二·上海杨浦·期中）如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 .【答案】【解析】因为平面，所以，所以，所以，因为因此我们将四棱锥构建成长方体.接下来我们寻找异面直线的公垂线在平面上的投影为，，易证平面，故得，，连接，与相交于，则为的中点，作的中点，连接，则，，，所以是的公垂线段，即的长度就是异面直线与之间的距离.且，故答案为：.【典例2-2】（2024·高二·上海浦东新·期末）在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是 ．【答案】1【解析】如图，取AC与的中点，因为,为的中点，则，同理，所以直线AC与直线的距离为线段长，又，所以直线AC与直线的距离为1.故答案为：1.【变式2-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，高．  (1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求异面直线与的距离．【解析】（1）连接，，，，如图所示：在正四棱柱中，因,且，则四边形是平行四边形，故得，则异面直线与所成角为或其补角，设，因则，∴异面直线与所成角的余弦值为．（2）连接，过作，垂足为，如图所示：在正四棱柱中，平面，平面，则,故是异面直线与的公垂线，在中，由，即，故异面直线与的距离为．题型三：点面距【典例3-1】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在边长为的菱形中，，点分别是边的中点，，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图所示的五棱锥．(1)在翻折过程中是否总有平面平面?证明你的结论；(2)在翻折过程中当四棱锥的体积最大时，求此时点到平面的距离；【解析】（1）证明：在翻折过程中总有平面平面；证明如下：点分别是边的中点，，菱形中，，是等边三角形，是的中点，，；菱形的对角线互相垂直，，；，平面，平面，平面，平面，平面平面.（2）要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，当平面时，点到平面的距离最大为，又，；，，设点到平面的距离为，，解得：，即点到平面的距离为.【典例3-2】（2024·四川·一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面．(1)证明：平面；(2)已知，且，求点D到平面的距离．【解析】（1）因为平面平面，平面平面，且， 平面，所以平面，又因为，所以平面．（2）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，过作直线的垂线，垂足为，则平面，由，，可得，，，，因为平面，平面，所以，则，可得，在直角梯形中，因为，可得，所以，在等腰中，，取的中点，连接，可得，且，所以，设点到平面的距离为，由，可得，解得，所以点到平面的距离为．【变式3-1】（2024·高三·河南·期末）在平面四边形中，，，点为的靠近的三等分点，，将沿折起，使得平面平面，已知点在线段上，且满足，点为的中点.(1)证明：平面；(2)若为的中点，求点到平面的距离.【解析】（1）证明：因为，，所以四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形，得，在折起后，，，因为平面平面，平面平面，平面,所以平面，因为平面，所以，因为，所以，，因为点在线段上，且满足，点为的中点，所以，，,因为，所以，即.因为平面，平面，，所以平面.（2）取的中点，连接，MN，FN，则，所以平面，为三棱锥的高，，，又，，，所以，，所以，，所以，设点到平面的距离为，由得，解得，即点到平面的距离为.题型四：线面距【典例4-1】（2024·高二·上海杨浦·期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,求到平面的距离.【解析】（1）连接,如图:因为,四边形为菱形,所以,又为棱的中点,所以,因为,所以,因为平面,平面,所以,又平面,平面,所以平面.（2）因为平面,平面,所以平面,则到平面的距离即为点到平面的距离,设点到平面的距离为,因为,,平面,,四边形为菱形,所以,解得,即到平面的距离为.【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离．【解析】连接BD、AC，为正方体，四边形ABCD为正方形，，，，平面，到平面的距离为，平面，到平面的距离即A到平面的距离，棱和平面的距离为.【变式4-1】（2024·高二·重庆巫山·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F.(1)求证：平面；(2)求直线到面的距离.【解析】（1）连接BD交AC于O，连接FO，∵F为AD的中点，O为BD的中点，则，∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.（2）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD.由于平面ACF，则PB到平面ACF的距离，即P到平面ACF的距离.又因为F为PD的中点，点P到平面ACF的距离与点D到平面ACF的距离相等.取AD的中点E，连接EF，CE， 则，因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面，所以，因为菱形且，，所以，，则，，，，设点D到平面ACF的距离为，由得即直线PB到平面ACF的距离为.题型五：面面距【典例5-1】（2024·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.  (1)证明：平面平面；(2)求平面与平面间的距离.【解析】（1）在正六棱柱中，因为底面为正六边形，所以，因为平面，平面，所以平面.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又，所以平面平面.（2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为.连接，则四面体的体积.因为，，，所以，从而，所以，所以，即平面与平面间的距离为.【典例5-2】（2024·高一·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的距离．【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，，在和中，，，即，又，平面平面．（2）由题意知，在中，，又，，平面，平面，平面，、分别为、的中点，，又，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，为平行平面与之间的距离，，即平面与之间的距离为．【变式5-1】（2024·高一·福建厦门·期末）如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；(2)求平面与平面的距离.【解析】（1）连接，由正方体性质可得，；又，所以平面平面；因为//平面，且，所以平面与平面重合，即平面就是截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面.（2）由（1）可知平面与平面的距离等于点到平面的距离；设点到平面的距离为，由题意可得，所以的面积为；的面积为；由可得，解得.所以平面与平面的距离为.【过关测试】1．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，.求点B到平面PAC的距离； 【解析】由平面，平面，得，而，则，又，则有，于是，而平面，因此平面，则为点到平面的距离，所以点到平面的距离为2.2．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，点在线段上，，，，.(1)求证：．(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．【解析】（1）连接，由题意得，，则，，记，易知，得，故，，，，又，，，可得，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，又，且，平面，平面，又平面，.（2）假设在线段上存在点满足条件，连接，则三棱锥的体积，设，在中，，，，则，，故的面积， 则，得，所以线段上存在点，使得点到平面的距离为，且．3．（2024·高二·云南曲靖·开学考试）如图，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，点F在AD上，且．(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD到平面PBC的距离．【解析】（1）连接AC，因为平面ABCD，又平面ABCD，∴PA⊥CF，又，，∴平面PAC，又平面PFC，∴平面PFC⊥平面PAC，平面PFC⊥平面PAC=PC，过点A作AH⊥PC于H，则AH⊥平面PFC，故AH即为所求，∵在梯形ABCD中，，，，，∴，∴在中，，∴，即点A到平面PCF的距离为；（2）∵，平面PBC，平面PBC，∴平面PBC，过点A作AE⊥PB于E，又因为平面ABCD，则BC，又AB⊥BC，，∴BC⊥平面PBA，则BC⊥AE，又∴AE⊥平面PBC，即AE的长为AD到平面PBC的距离，在等腰直角三角形PAB中，，∴，故AD到平面PBC的距离为.4．（2024·高一·湖南·课后作业）如图，在几何体中，平面ABC，平面ABC，，，．(1)求证：平面ABE；(2)求直线DC与平面ABE的距离．【解析】（1）由平面ABC，平面ABC，可得，，则在面中， 又平面ABE，平面ABE，则平面ABE（2）由平面ABE，可知直线DC与平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离△ABC中，，，，则由平面ABC，可得，又，，则平面ABE即为点C到平面ABE的距离，又故直线DC与平面ABE的距离为5．（2024·高一·山东济宁·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面之间的距离.【解析】（1）证明：∵正方体中E，F分别为，的中点，∴∥，=∴四边形是平行四边形.∴.又平面，平，∴平面.∵∥，=∴四边形是平行四边形.∴.又平向，平面，∴AE∥平面.又∵，∴平面平面.（2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h，∵正方体的棱长为2，∴，，∴的面积∴三棱锥的体积，.又三棱锥的体积.由可得，解得.∴平面与平面之间的距离为.6．（2024·高三·全国·专题练习）单位正方体中，分别是它们所在棱的中点，求与间的距离．【解析】如图所示：连接，且，设，，作于的中点为，连接，在中，可求得，在中，可求得，由此可知，延长到使，连接，则易知四边形为平行四边形，∴，且，则就是与所成的角，连接与交于，则，在中，由余弦定理可求得，则，根据公式（2）得，∴与间的距离是．