29空间中的五种距离问题- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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微专题17 空间中的五种距离问题【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．【典型例题】题型一：点线距【典例1-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ）A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·山东济南·期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（    ）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）  A． B． C． D．题型二：异面直线的距离【典例2-1】（2024·高一·全国·课后作业）边长为1的正方体中，直线和之间的距离为 .【典例2-2】（2024·高三·全国·专题练习）单位正方体中，求与间的距离．【变式2-1】（2024·高二·广西桂林·期中）是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.  (1)求证：是和的公垂线；(2)求异面直线和之间的距离.题型三：点面距【典例3-1】（2024·四川自贡·一模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点.(1)判断直线与平面的位置关系；(2)若与平面所成角为，求到平面的距离.【典例3-2】（2024·上海杨浦·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形.  (1)求证：平面平面；(2)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.【变式3-1】（2024·四川达州·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.题型四：线面距【典例4-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，且.(1)求直三棱柱的表面积与体积；(2)求证：平面，并求出到平面的距离.【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.  【变式4-1】（2024·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.  (1)求直线与平面所成的角的正切值；(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.题型五：面面距【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离．【典例5-2】（2024·高二·天津河北·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面与平面的距离.【变式5-1】（2024·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面EGF与平面的距离．【过关测试】1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．2．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点是棱的中点，点为与交点.  (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.3．（2024·高一·新疆省直辖县级单位·期末）如图，在正方体中，.  (1)求证：∥平面；(2)求点到面的距离.4．（2024·上海·三模）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；（1）求的值；（2）求直线到平面的距离.5．（2024·高二·上海杨浦·期中）已知长方体.（1）求证：平面（2）若，，求和平面的距离.6．（2024·山西晋城·二模）如图，在底面是菱形的四棱柱中，，，，点在上.（1）证明：平面；（2）当为何值时，平面，并求出此时直线与平面之间的距离.微专题17 空间中的五种距离问题【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．【典型例题】题型一：点线距【典例1-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ）A． B． C． D． 【答案】C【解析】在上取点，使，连接、，过点作于点，由，故，又平面， 平面，故平面，由平面，平面，故，故，又，，、平面，故平面，故到平面的距离为，又在线段上，故点到直线距离的最小值为，由，故，则，故.故选：C.【典例1-2】（2024·高二·山东济南·期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P到直线AB距离的最小值即直线到直线的距离，又//，平面，平面，故//平面.又，故四边形为菱形，则//.平面，平面，故//平面.又，平面，故平面//平面.故直线到直线的距离为平面到平面的距离.则到平面的距离即为P到直线AB距离的最小值.设与交于，则易得为正四棱锥中心.则，，故为直角三角形，故.设到平面的距离为，则由，故，故，解得. 故选：B【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，取的中点F，连接，，∵，底面，∴四边形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面，∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离，过点作，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，过点M作交于点P，则，取，连接，则四边形是矩形．可得平面，在中，，得，∴点P到直线的距离的最小值为．故选：B．题型二：异面直线的距离【典例2-1】（2024·高一·全国·课后作业）边长为1的正方体中，直线和之间的距离为 .【答案】1【解析】如图所示，连接，因为平面，平面，所以，又，则直线和之间的距离为，又，即直线和之间的距离为1.故答案为：.【典例2-2】（2024·高三·全国·专题练习）单位正方体中，求与间的距离．【解析】如图所示，过作，即四边形为平行四边形，从而，又因为平面，平面，∴平面，则与间的距离就等于与平面间的距离，就等于点到平面的距离，考虑四面体，则，而，∴，因此．∴与间的距离为．【变式2-1】（2024·高二·广西桂林·期中）是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.  (1)求证：是和的公垂线；(2)求异面直线和之间的距离.【解析】（1）连接，如下图所示：易知与是全等的正三角形，又是的中点，所以；又是的中点，可得；同理可证又；所以是和的公垂线；（2）在等腰三角形中，易知，所以即异面直线和之间的距离为.题型三：点面距【典例3-1】（2024·四川自贡·一模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点.(1)判断直线与平面的位置关系；(2)若与平面所成角为，求到平面的距离.【解析】（1）设是的中点，连接，由于是的中点，所以，而，所以，所以四边形为平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）连接，由于平面，所以直线与平面所成角为，由于平面，所以，由于，所以，所以.由（1）得平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，，，对于三角形，，所以为钝角，所以，所以，，设到平面的距离为，由得，所以到平面的距离为. 【典例3-2】（2024·上海杨浦·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形.  (1)求证：平面平面；(2)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.【解析】（1）因为平面，平面，所以，因为底面是正方形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为四棱锥的体积为，所以，解得，又平面，所以，所以，,所以正三角形面积为，设点到平面的距离为，则由可得：，即，解得.即点到平面的距离为.【变式3-1】（2024·四川达州·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.【解析】（1）取中点为，连接，，，，，且，四边形为平行四边形，，四边形为矩形，，且，，，，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，平面平面；（2）设点到平面的距离为，由（1）知平面，且平面平面，，点为的中点，，平面，平面，，，且，，，，即，解得：，即点到平面的距离为.题型四：线面距【典例4-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，且.(1)求直三棱柱的表面积与体积；(2)求证：平面，并求出到平面的距离.【解析】（1）因为，所以，则直三棱柱的表面积为，其体积为.（2）证明：因为平面平面，所以平面.过点作，垂足为.由题意得，又，所以平面，又平面，则，所以，又,平面,平面,所以平面，在Rt中，,所以到平面的距离为.【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.  【解析】因为平面，不在平面内，所以平面，则到平面的距离即为点到平面的距离，设点到平面的距离为，因为，，平面,，四边形为菱形，所以，解得，即到平面的距离为.【变式4-1】（2024·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.  (1)求直线与平面所成的角的正切值；(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.【解析】（1）因为平面，连接，则即为直线与平面所成的角，又，，，为中点，可得，，所以，即直线与平面所成的角的正切值为.（2）由题知，平面，平面，，平面，所以平面平面.因为平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以就是直线到平面的距离，又为中点，则，即直线到平面的距离为.题型五：面面距【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离．【解析】（1）证明：因为、分别为、的中点，则．又因为平面，平面，所以平面．因为，，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以，平面．又因为，所以平面平面．（2）连接分别交、于点、，则为的中点，且，因为平面，平面，，又因为，，平面，因为平面平面，所以，平面，所以线段的长度等于平面与平面之间的距离，因为、分别为、的中点，则且，且有，则，因为正方体的棱长为，所以，即平面与平面之间的距离为．【典例5-2】（2024·高二·天津河北·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面与平面的距离.【解析】（1）证明：在直三棱柱中，为的中点，，，故，因为，所以，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；（2）证明：取的中点，连接，则为的中点，因为，，分别为，，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因为，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；（3）设，因为平面，平面平面，所以平面，所以即为平面与平面的距离，因为平面，所以，，所以，即平面与平面的距离为.【变式5-1】（2024·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面EGF与平面的距离．【解析】（1）在直三棱柱中, ，交线为，而，，，，根据已知条件可得，为的中点，，，结合勾股定理可得，，所以平面.（2）如图所示，取的中点，连接，，，为的中点，而为的中点，为的中位线，，又，且，，，，， F、G分别是、的中点，是的中位线，，在直三棱柱中，，，，，又，平面平面.（3）由平面平面，EF与相交于H，又 平面，平面，两平面之间的距离即为H到平面的距离，即， ， ∽，，，故平面EGF与平面的距离为.【过关测试】1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【解析】（1）设是的中点，连接，，由于是的中点,所以，,由于，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面；（2）设到平面的距离为，因为平面，平面，所以，由于，，所以四边形是平行四边形，由于，所以，由于平面，所以平面，又平面，所以，由，得，即，所以点到平面的距离为．2．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点是棱的中点，点为与交点.  (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【解析】（1）由题意，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，若 是 的交点，又 为正方形，则 为 的中点， 在 中， , 又 面 面 ，∥平面 （2）由题意，四边形均为正方形，，，点是棱的中点，∴，是等腰直角三角形，,, 而 , 则 , 又 , .由 ，则 ，又 ，若 到平面 的距离为 ，, 可得 3．（2024·高一·新疆省直辖县级单位·期末）如图，在正方体中，.  (1)求证：∥平面；(2)求点到面的距离.【解析】（1）∵∥, 平面，平面，∴∥平面（2）连接,设点到面的距离为，由已知可得,由正方体的性质可知平面,则,∵，∴，解得，即点到面的距离为.4．（2024·上海·三模）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；（1）求的值；（2）求直线到平面的距离.【解析】（1）∵，∴就是异面直线与所成的角，即，又连接，∵，则，∴为等边三角形，∵，，∴，∴，∴；（2）易知平面，此时有直线上的任意一点到平面的距离等于点到平面的距离，设其为，连接，又∵，，∴平面，并且，∵的面积，并且的面积，∵，∴，∴，∴直线到平面的距离为．5．（2024·高二·上海杨浦·期中）已知长方体.（1）求证：平面（2）若，，求和平面的距离.【解析】(1)在长方体中，  又平面所以平面(2)由(1) 平面，则直线上任意一点到平面的距离都相等,所以只需求直线上任意一点到平面的距离,在长方体中, 平面且平面，则平面平面过点作交于, 则平面,即为直线和平面间的距离在中，，,则.由等面积法得： 所以和平面的距离.6．（2024·山西晋城·二模）如图，在底面是菱形的四棱柱中，，，，点在上.（1）证明：平面；（2）当为何值时，平面，并求出此时直线与平面之间的距离.【解析】（1）证明：因为底面为菱形，，所以，由知，由知，又因为，所以平面．（2）当时，平面．证明如下：连结交于，当时，即点为的中点时，连结，则，平面，平面，所以平面，所以直线与平面之间的距离等于点到平面的距离．因为点为的中点，可转化为到平面的距离，，设的中点为，连结，则，所以平面，且，可求得，所以，又，，，，所以（表示点到平面的距离），，所以直线与平面之间的距离为．