27立体几何中的截面问题（六大题型）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）
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微专题11 立体几何中的截面问题【题型归纳目录】题型一：判断截面形状题型二：截面周长题型三：截面面积题型四：截面作图 题型五：截面切割几何体的体积问题题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题【方法技巧与总结】1、突破思维定式，灵活分析问题解答高中数学立体几何截面问题要突破思维定式，多视角地进行观察、分析、对比，深人地理解截面对原立体几何图形体积造成的影响，避免掉进出题人设计的陷阱之中．2、注重应用经验，快速破解问题解答高中数学立体几何截面问题时应注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题．3、借助几何模型，化陌生为熟悉在解答一些高中数学立体几何截面问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题效率．解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融人熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，达到事半功倍的解题效果．【典型例题】题型一：判断截面形状【典例1-1】（2024·高一·重庆渝中·期末）过正三棱柱底面一边和两底中心连线的中点作截面，则这个截面的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四边形【典例1-2】（2024·高一·福建·阶段练习）用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形题型二：截面周长【典例2-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 .【典例2-2】（2024·高三·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是 .【变式2-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ． 【变式2-2】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为 ． 题型三：截面面积【典例3-1】（2024·高一·广东清远·期末）在数学探究活动课中，小华进行了如下探究:如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为 . 【典例3-2】（2024·高一·江苏南京·期末）已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为 ．【变式3-1】（2024·山东潍坊·二模）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ． 【变式3-2】（2024·高二·江西九江·阶段练习）如图所示，在正方体中，点G在棱上，，E，F分别是棱，的中点，过E，F，G三点的截面将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面截得的上、下两部分面积比值为 ．【变式3-3】（2024·高一·山西晋城·期中）在棱长为6的正方体中，E是棱AB的中点，过作正方体的截面，则该截面的面积是 ．题型四：截面作图【典例4-1】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）如图①，在棱长为2的正方体木块中，是的中点. (1)要经过点将该木块锯开，使截面平行于平面，在该木块的表面应该怎样画线？请在图①中作图，写出画法，并证明.(2)求四棱锥的体积；【典例4-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，M为中点，过C，D，M的平面截四棱锥所得的截面为．若与棱交于点F，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置；【变式4-1】（2024·广西河池·模拟预测）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．(1)若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明．(2)求多面体的体积．题型五：截面切割几何体的体积问题【典例5-1】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体中，用截面截下一个三棱锥，则三棱锥的体积与剩余部分的体积之比为 .【典例5-2】（2024·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）在三棱柱中，底面，，点P是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为 .【变式5-1】（2024·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）如图，正方体中，E､F分别是棱､的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比 .题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题【典例6-1】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ） A． B． C． D．【典例6-2】（2024·高一·辽宁大连·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（ ）A． B．8 C． D．6【变式6-1】（2024·高一·河北唐山·期末）若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ）A．2 B． C． D．【变式6-2】（多选题）（2024·高三·重庆·阶段练习）已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）A．该圆锥的母线长为2B．该圆锥的体积为C．从点经过圆锥的侧面到达点的最短距离为D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为【过关测试】1．（2024·高一·全国·专题练习）如图，棱锥的高，截面平行于底面与截面交于点，且．若四边形的面积为36，则四边形的面积为（ ）A．12 B．16C．4 D．82．（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）截角四面体可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示为一个正四面体，作平行于各个面的截面截角得到一个所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（ ） A． B． C． D．3．（2024·海南·模拟预测）当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度、音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为（ ） A． B． C． D．4．（2024·高三·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）A． B． C． D．5．（2024·高三·福建泉州·期末）已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（ ）A． B． C． D．6．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）A． B． C． D．7．（2024·高二·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ．8．（2024·高二·上海·期末）已知直三棱柱中，，过点的平面分别交棱AB，AC于点D，E，若直线与平面所成角为，则截面三角形面积的最小值为 ．9．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图②.(1)设平面平面，证明：平面；(2)若是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.微专题11 立体几何中的截面问题【题型归纳目录】题型一：判断截面形状题型二：截面周长题型三：截面面积题型四：截面作图题型五：截面切割几何体的体积问题题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题【方法技巧与总结】1、突破思维定式，灵活分析问题解答高中数学立体几何截面问题要突破思维定式，多视角地进行观察、分析、对比，深人地理解截面对原立体几何图形体积造成的影响，避免掉进出题人设计的陷阱之中．2、注重应用经验，快速破解问题解答高中数学立体几何截面问题时应注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题．3、借助几何模型，化陌生为熟悉在解答一些高中数学立体几何截面问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题效率．解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融人熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，达到事半功倍的解题效果．【典型例题】题型一：判断截面形状【典例1-1】（2024·高一·重庆渝中·期末）过正三棱柱底面一边和两底中心连线的中点作截面，则这个截面的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四边形【答案】C【解析】如图，过和中点作截面，分别是中点，，直线是截面与平面的交线，在平面中延长与相交于点，由于，∴，而，因此在的延长线上，连接交于，连接交于，连接，四边形为截面．由正三棱柱的性质可得，，四边形是等腰梯形．故选：C．【典例1-2】（2024·高一·福建·阶段练习）用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形【答案】D【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】C【解析】如图，设，分别延长交于点，此时，连接交于，连接，设平面与平面的交线为，则，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，设，则，此时，故，连接，所以五边形为所求截面图形，故选：C．题型二：截面周长【典例2-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 .【答案】6【解析】作（实际上）交于，延长交延长线于．连接交于点，可证分别是的中点，同理取中点，连接，六边形即为截面，该六边形为正六边形，由正方体棱长为易得正六边形边长为1，周长为6.故答案为：6.【典例2-2】（2024·高三·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是 .【答案】【解析】如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，连接，易证，则五边形为所求截面.因为，所以，则，故该截面的周长是.故答案为：.【变式2-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ． 【答案】【解析】取中点，连接，,∵中点为，E是侧棱的中点，∴,,又在直角三角形中,∴,∵正方体中，∴四边形为平行四边形,∴∴,四点共面，即为正方体的截面.在直角三角形中,同理,则截面周长为.故答案为:.【变式2-2】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为 ． 【答案】/【解析】如图所示，延长交于点，延长交于点，连接交与点，连接交于点，分别连接，则过点的平面截正方体所得的截面为五边形，因为正方体的棱长，且为的中点，为的中点，可得，所以,在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以截面的周长为.故答案为：.题型三：截面面积【典例3-1】（2024·高一·广东清远·期末）在数学探究活动课中，小华进行了如下探究:如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为 . 【答案】/【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD，AB，AA1与平面A1BD所成的角是相等的，所以水平面平行于平面A1BD，又水平面恰好经过BB1的中点，则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积.故答案为：【典例3-2】（2024·高一·江苏南京·期末）已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为 ．【答案】【解析】取的中点为,连接,则,又,故,则梯形梯形即为截面四边形，由于,,所以梯形为等腰梯形，则高为,所以面积为，故答案为：【变式3-1】（2024·山东潍坊·二模）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ． 【答案】【解析】因为、分别为、的中点，则且，因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，所以，，设平面交棱于点，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，则，因为为的中点，所以，为的中点，设直线分别交、的延长线于点、，连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形，因为，则，所以，，因为，则，所以，，则为的中点，同理可知，为的中点，易知六边形是边长为的正六边形，所以，截面面积为.故答案为：.【变式3-2】（2024·高二·江西九江·阶段练习）如图所示，在正方体中，点G在棱上，，E，F分别是棱，的中点，过E，F，G三点的截面将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面截得的上、下两部分面积比值为 ．【答案】【解析】延长分别交，于P，Q两点，易知上半部分面积即为面积的两倍，设正方体棱长为1，即，又∵正方体的侧面积和为4，∴．故答案为：.【变式3-3】（2024·高一·山西晋城·期中）在棱长为6的正方体中，E是棱AB的中点，过作正方体的截面，则该截面的面积是 ．【答案】【解析】如图，在正方体中，E是棱AB的中点，过作正方体的截面为等腰梯形．画出平面图形，过点作,垂足为.因为，，，所以，所以截面的面积为.故答案为：题型四：截面作图【典例4-1】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）如图①，在棱长为2的正方体木块中，是的中点. (1)要经过点将该木块锯开，使截面平行于平面，在该木块的表面应该怎样画线？请在图①中作图，写出画法，并证明.(2)求四棱锥的体积；【解析】（1）取棱的中点，连接、、，则就是所求作的线，如图：在正方体中，连，是的中点，为的中点，则，且，于是得四边形是平行四边形，有，而平面，平面，因此平面，又，，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，于是有平面，而，平面，从而得平面平面，所以就是所求作的线.（2）在正方体中，连接，如图，且，则四边形为平行四边形，有，三棱锥的体积，所以四棱锥的体积.【典例4-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，M为中点，过C，D，M的平面截四棱锥所得的截面为．若与棱交于点F，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置；【解析】延长，连接交于F，连接，如图，四边形为截面.中，，由，则C为中点，B为中点，过M作交于N，则，，，，即，F为棱上靠近点B位置的三等分点.【变式4-1】（2024·广西河池·模拟预测）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．(1)若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明．(2)求多面体的体积．【解析】（1）延长，连接交于，连接，如图，四边形为截面.中，，由，则为中点，为中点．过作交于，则.,.，即．（2）.由题意及（1）可得，.则；又可得，点F到平面BEC距离为，则.则．题型五：截面切割几何体的体积问题【典例5-1】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体中，用截面截下一个三棱锥，则三棱锥的体积与剩余部分的体积之比为 .【答案】【解析】设，，，所以长方体体积三棱锥的体积，∴剩余部分的体积∴三棱锥的体积与剩余部分的体积之比为.故答案为：.【典例5-2】（2024·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）在三棱柱中，底面，，点P是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为 .【答案】或【解析】取的中点，连接，因为，所以，因为底面，底面，所以，又，所以平面，不妨设，则，，，，故上面一部分的体积为，则，所以两部分的体积比为或.故答案为：或.【变式5-1】（2024·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）如图，正方体中，E､F分别是棱､的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比 .【答案】【解析】设正方体的棱长为，体积为，则，因为E是棱的中点，所以，，..故答案为：题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题【典例6-1】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ） A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径，要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点，连接，则，所以，此时截面圆的半径，此时，截面面积的最小值.故选：C.【典例6-2】（2024·高一·辽宁大连·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（ ）A． B．8 C． D．6【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，则，解得，设圆锥的轴截面三角形顶角为，则，又因为，所以，，所以过圆锥顶点作轴截面，轴截面面积最大时即顶角为，所以最大值为.故选：B.【变式6-1】（2024·高一·河北唐山·期末）若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】依题意，设圆锥的母线长为l，则，设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则，因为，所以，则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为，故截面的面积为，当且仅当时，等号成立，故截面的面积的最大值为2.故选：A.【变式6-2】（多选题）（2024·高三·重庆·阶段练习）已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）A．该圆锥的母线长为2B．该圆锥的体积为C．从点经过圆锥的侧面到达点的最短距离为D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为【答案】AB【解析】对于A中，由圆锥的底面半径，可得底面圆周长为，又由其侧面展开图是圆心角为的扇形，设圆锥的母线长为，则，解得，所以A正确；对于B中，因为，且母线长为，所以该圆锥的高为，所以其体积为，所以B正确；对于C中，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，所以从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为，所以C不正确；对于D中，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，设其顶角为，则该三角形的面积为，当截面为轴截面时，，则，所以，当时，，所以D不正确.故选：AB.【过关测试】1．（2024·高一·全国·专题练习）如图，棱锥的高，截面平行于底面与截面交于点，且．若四边形的面积为36，则四边形的面积为（ ）A．12 B．16C．4 D．8【答案】C【解析】由题意可知，四边形与四边形相似，且，所以四边形的面积为．故选：C.2．（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）截角四面体可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示为一个正四面体，作平行于各个面的截面截角得到一个所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（ ） A． B． C． D．【答案】D【解析】棱长为的正四面体的底面正三角形外接圆半径，则该正四面体的高，棱长为的正四面体的体积为，由题意，大正四面体的体积为，小正四面体的体积为，则截角四面体的体积为.故选：D.3．（2024·海南·模拟预测）当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度、音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为（ ） A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆圆心为，为马赫锥的母线，由题意，而是锐角，所以，又，所以，该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为.故选：B.4．（2024·高三·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，在上取一点，使得，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以与相交于且为的中点，又在上，所以与相交于，且O平分，，所以四点四点共面且四边形为平行四边形，所以过三点的截面是平行四边形，，，，故截面面积为.故选：A.5．（2024·高三·福建泉州·期末）已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当过母线作截面，截面的周长最大时，此时截面为轴截面.设圆柱的底面半径为，则因为过母线作截面，截面的最大周长等于8，所以，解得.所以该圆柱的体积为.故选：B.6．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】在正方体中，平面平面，因为平面，平面，平面平面，则平面与平面的交线过点，且与直线平行，与直线相交，设交点为，如图所示，又因为平面，平面，即分别为，与平面所成的角，因为，则，且有，当与重合时，平面截该正方体所得的截面为四边形，此时，即为棱中点；当点由点向点移动过程中，逐渐减小，点由点向点方向移动；当点为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表而有交线，即可用成四边形；当点在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点，又点与不重合，此时，平面与该正方体的5个表面有交线，截面为五边形，如图所示．因此．当为棱上异于端点的动点，截面为四边形，点只能在线段（除点外）上，即，可得，则，所以线段的取值范围是，所以若平面截该正方体的截面为五边形，线段的取值范围是.故选：B．7．（2024·高二·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ．【答案】/【解析】圆锥的高为，因为，且为锐角，所以，所以，不妨设任意两条母线的夹角为，则截面面积，当且仅当时取等号，此时两条母线的夹角为，所以，故答案为：.8．（2024·高二·上海·期末）已知直三棱柱中，，过点的平面分别交棱AB，AC于点D，E，若直线与平面所成角为，则截面三角形面积的最小值为 ．【答案】【解析】因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，平面，所以，过点作交于点，连接，，，平面，所以平面，过点作交于点，因为平面，所以，平面，，所以平面，因为直线与平面所成角为，所以，在中，由，，可得，，设，在中，，由等面积法可知，因为平面，又由平面，所以，所以，因为，当且仅当时，等号成立，所以.故答案为：.9．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图②.(1)设平面平面，证明：平面；(2)若是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.【解析】（1）证明：如图，连接，因为分别为的中点，所以，所以分别为以为斜边的直角三角形，即，又，平面平面，所以平面，因为平面平面，所以平面.（2）如图，过作，连接并延长，交于点，连接，因为，所以为的中点，所以，连接，因为，所以，又平面平面，所以平面，连接，则是截面与平面所成二面角的平面角，即.在中，，所以，又在中，由余弦定理可得，所以在中，，所以，所以，所以因为，所以，即为中点.又是中点，所以是的重心，所以，所以，所以，又，所以，所以.
