38利用传统方法解决二面角问题- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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重难点专题14 利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：三垂线法题型三：垂面法题型四：射影面积法题型五：补棱法【方法技巧与总结】二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二：三垂线法在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点，作于；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．【典型例题】题型一：定义法【典例1-1】（2024·高一·浙江金华·期中）如图，在三棱锥中，，D为的中点，平面，垂足O落在线段上.(1)证明：；(2)已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为.①求此三棱锥的体积；②求二面角的大小.【典例1-2】（2024·高二·全国·专题练习）四边形是正方形，平面，且．求：  (1)二面角的平面角的度数；(2)二面角的平面角的度数；(3)二面角的平面角的度数．【变式1-1】（2024·高三·甘肃·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．  (1)证明：与平面不垂直；(2)证明：平面平面；(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．题型二：三垂线法【典例2-1】（2024·高二·浙江金华·期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．  (1)求证：；(2)若平面交于点，求的值；(3)若二面角的大小为，求的长．【典例2-2】（2024·高二·上海普陀·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点．(1)求证：直线平面；(2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．【变式2-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．  题型三：垂面法【典例3-1】（2024·高二·四川成都·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.  (1)求点C到平面的距离.(2)求二面角的余弦值.【典例3-2】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）在三棱台中，，，且平面平面．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．题型四：射影面积法【典例4-1】（2024·四川宜宾·一模）如图所示，是正三角形，平面，，，，且F为的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.【典例4-2】（2024·高二·广东广州·期中）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．(1)求证：平面；(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【变式4-1】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．题型五：补棱法【典例5-1】（2024·山东淄博·高一统考期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点．(1)证明：直线平面；(2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．【典例5-2】（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.（i）证明：平面平面；（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.【变式5-1】（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是，的中点.（1）记平面与平面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并加以证明；（2）设，求二面角大小的取值范围.【过关测试】1．（2024·高一·辽宁丹东·期末）如图（1）所示，，，，如图（2）所示，把沿折起，使平面平面，为的中点，连接，，．  (1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．2．（2024·高一·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，．  (1)求证：；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由．3．（2024·高一·贵州安顺·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，是边上一点，且满足是正方形，.  (1)求证：平面平面；(2)已知：，二面角的平面角为.是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由.4．（2024·高一·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形.  (1)若点是的中点，证明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值.5．（2024·高一·云南玉溪·期末）如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，其中，平面平面ABC，点E，N分别是AB，BC的中点．  (1)证明：平面PAB；(2)求二面角的余弦值．6．（2024·高一·安徽芜湖·期末）如图，在三棱台中，，，，．  (1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值．7．（2024·高一·江西萍乡·期末）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，平面ABC，且点E在平面ABC内的射影落在∠ABC的平分线上．  (1)求证：平面ACD；(2)求二面角的正切值．8．（2024·高一·重庆江津·期末）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，，E，F分别是AB，CD的中点．(1)求证：平面平面；(2)当直线与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角的余弦值．9．（2024·高一·浙江湖州·阶段练习）已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.      (1)求证：平面；(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.10．（2024·高一·河南开封·期末）如图1，四边形是边长为2的正方形，将沿折叠，使点到达点的位置（如图2），且.  (1)求证：；(2)求二面角的大小.11．（2024·高一·贵州铜仁·期末）四棱锥中，底面为矩形，，，，.    (1)平面与平面的交线为，证明：；(2)，求二面角的余弦值.12．（2024·高一·福建福州·期末）如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到如图2所示的四棱锥．  (1)在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由；(2)在图2中求二面角的大小．13．（2024·高一·安徽合肥·期末）在多面体中，，，平面，，为的中点.  (1)求证：平面；(2)若，求二面角的平面角正弦值的大小.14．（2024·高一·福建福州·期末）如图，已知矩形，，M是AD的中点，现将沿着BM翻折至．  (1)若，求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值的最大值．重难点专题14 利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：三垂线法题型三：垂面法题型四：射影面积法题型五：补棱法【方法技巧与总结】二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二：三垂线法在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点，作于；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．【典型例题】题型一：定义法【典例1-1】（2024·高一·浙江金华·期中）如图，在三棱锥中，，D为的中点，平面，垂足O落在线段上.(1)证明：；(2)已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为.①求此三棱锥的体积；②求二面角的大小.【解析】（1）因为，为的中点，所以，又平面，则，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）①由平面，则直线与平面所成角为，则，由，为的中点，所以，则，所以，由平面，所以，所以；②在平面内作于，连接，由，又，平面，所以平面，所以，则为二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以，所以在三角形中，，所以，则，同理，而，所以，即二面角的大小为.【典例1-2】（2024·高二·全国·专题练习）四边形是正方形，平面，且．求：  (1)二面角的平面角的度数；(2)二面角的平面角的度数；(3)二面角的平面角的度数．【解析】（1）平面，平面，，又四边形为正方形，，平面，平面，又平面，平面平面，二面角的平面角的度数为；（2）平面，平面，平面，，．为二面角的平面角．又由题意可得，二面角的平面角的度数为；（3）平面，平面，平面，，．为二面角的平面角．又四边形为正方形，，即二面角的平面角的度数为.【变式1-1】（2024·高三·甘肃·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．  (1)证明：与平面不垂直；(2)证明：平面平面；(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．【解析】（1）若平面，则，由已知，得，这与矛盾，所以与平面不垂直．（2）取、的中点、，连接、、，由，，得，，为直角梯形的中位线，，又，平面，由平面，得，又且梯形两腰、必交，平面,又平面，平面平面,（3）由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角,作于，连，由于平面,平面,故,,平面,故平面平面,所以 故为二面角的平面角,即，由已知，得，又．，． ，故二面角的大小为．题型二：三垂线法【典例2-1】（2024·高二·浙江金华·期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．  (1)求证：；(2)若平面交于点，求的值；(3)若二面角的大小为，求的长．【解析】（1）四棱锥的底面是菱形，，又平面，平面，则平面，而平面平面，平面，所以.（2）由平面，平面，得平面平面，而，平面，于是平面，又平面，则，即三点共线，由平面，平面，则，如图，在中，过点作的垂线，垂足为，于是，设，由，得，，，从而，所以，即．（3）  过点作于点，连接， 由平面，平面，则，而平面，则平面，而平面，于是，则有为二面角的平面角，即，在菱形中，由，得，则，由（2）得，所以.【典例2-2】（2024·高二·上海普陀·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点．(1)求证：直线平面；(2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．【解析】（1）∵E，F分别是棱、的中点，∴在中，，∵平面，平面，∴直线平面；（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∴是直线与平面所成角，∵直线与平面所成角为，∴，∴，∵平面，，⊂平面，∴，，∵，，，平面，∴平面，∴是直线与平面所成角，∵直线与平面所成角为，∴，∴，，设，则，，，，∴为等腰直角三角形，，∵，，∴是二面角的平面角，∴二面角的大小为．【变式2-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．  【解析】假设存在满足条件的点，连结，过作为垂足，并延长与相交于，连结．因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以．所以为二面角的平面角的补角，即有．设，则．在中，，从而．在中，，解得．因此，存在符合题设条件的，且满足．题型三：垂面法【典例3-1】（2024·高二·四川成都·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.  (1)求点C到平面的距离.(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）由题设，面面，面，面面，所以面，面，故，即，所以，而，，中上的高，故，令点C到平面的距离为，又，且，到面的距离为正三角形的高，所以，可得，故点C到平面的距离为.（2）由，面面，面，面面，所以面，面，故，则，又，故为等腰三角形，则上的高为，令到的距离为，则，由（1）知：点C到平面的距离为，若锐二面角为，则，故，所以二面角的余弦值为.【典例3-2】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）在三棱台中，，，且平面平面．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，故，中点为，连接，，则，，，则，，，故四边形为矩形，，，，故，即，，平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）设，连接，平面，面，故，又因为，所以二面角的平面角为，，，平面，平面，所以，在中，，解得，从而，故二面角的正弦值为.题型四：射影面积法【典例4-1】（2024·四川宜宾·一模）如图所示，是正三角形，平面，，，，且F为的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.【解析】（1）证明：取AB中点M，连接MF、MC，则，且.又因为，所以，即四边形MFDC为平行四边形，所以；又有平面ABC，平面ABC，所以平面.（2）延长ED、AC相交于点N，连接BN，则BN为平面与平面的交线.，，则DC为的中位线，所以，即，所以.而，，，即.所以即为平面与平面所成二面角的平面角.，故平面与平面所成二面角的正弦值为.【典例4-2】（2024·高二·广东广州·期中）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．(1)求证：平面；(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【解析】（1）因为是底面的一条直径，是下底面圆周上异于的动点，所以，又因为是圆柱的一条母线，所以底面，而底面，所以，因为平面，平面，且，所以平面，又因为，所以平面平面；（2）如图所示，过作圆柱的母线，连接，因为底面//上底面，所以即求平面与平面所成锐二面角的大小，因为在底面的射影为，且为下底面的直径，所以为上底面的直径，因为是圆柱的母线，所以平面，又因为为上底面的直径，所以，而平面，所以为平面与平面所成的二面角的平面角，又因为在底面射影为，所以，，所以，又因为母线长为，所以，又因为平面，平面，所以，所以,所以，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【变式4-1】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．【解析】因为平面平面，所以，又，且，平面，所以平面，同理平面，所以在平面上的射影为．设平面与平面所成二面角为，所以，所以．故平面与平面所成二面角的大小为．题型五：补棱法【典例5-1】（2024·山东淄博·高一统考期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点．(1)证明：直线平面；(2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．【解析】（1）证明：取的中点，连接、、，在正方体中，且，、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，则且，又因为且，则且，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，因为且，故四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，则，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，平面.（2）延长、交与点，连接，则直线即为直线，因为且，为的中点，则，故点为的中点，为的中点，在中，，，，由余弦定理可得，则，，则，过点在平面内作直线，垂足为点，连接，，所以，，平面，平面，，，，、平面，平面，平面，，故二面角的平面角为，且，故点到直线的距离为，，因此，二面角的平面角的余弦值为.【典例5-2】（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.（i）证明：平面平面；（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.【解析】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又平面，所以，，；即，为直角三角形；若，由，平面，可得：平面；所以，即，为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；同理，可得或或，都能满足四个面都是直角三角形；故可填：或或或；（2）（i）证明：∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（ii）由题意知，在平面中，直线与直线相交.如图所示，设，连结，则即为.∵平面，平面，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴，.∴即为二面角的一个平面角.在中，，，，∴，又，∴，∴，∴，∴二面角的大小为.【变式5-1】（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是，的中点.（1）记平面与平面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并加以证明；（2）设，求二面角大小的取值范围.【解析】（1），平面，平面，平面，又平面，平面与平面的交线为l，所以，而l平面，平面，所以l平面；（2）设直线l与圆O的另一个交点为D，连接DE，FB，如图：由（1）知，BDAC，而，所以，所以平面，所以，而，所以平面PBC，又FB平面PBC，所以，所以就是二面角的平面角，因为，点F是的中点，所以，故，注意到，所以，所以，因为，所以，所以二面角大小的取值范围为.【过关测试】1．（2024·高一·辽宁丹东·期末）如图（1）所示，，，，如图（2）所示，把沿折起，使平面平面，为的中点，连接，，．  (1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）分别取，的中点，，连接，，，因为为的中点，所以，因为平面，所以平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，所以是二面角的平面角，又，，，所以，，所以，在直角中，，，，所以，即二面角的正弦值为．2．（2024·高一·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，．  (1)求证：；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由．【解析】（1）证明：因为，，，，所以四边形是直角梯形，且，，故，即．又平面，平面，所以又，且PA，平面PAC，所以平面PAC，又平面PAC，所以（2）存在符合条件的点M，且M为PD的中点，证明如下，过点M作于点N，连接BN，因为平面，平面，所以，因为MN，平面PAD，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，则∠MBN为BM与平面所成的角．设，则，，，由得，解得或（舍去）所以M为PD的中点，过点N作于点G，连接MG，因为平面，平面，所以，又，平面MGN，故平面MGN，因为平面MGN，所以，所以∠MGN为二面角的平面角，在中，，所以，即当点M为PD的中点时，符合题意，且二面角的大小为．3．（2024·高一·贵州安顺·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，是边上一点，且满足是正方形，.  (1)求证：平面平面；(2)已知：，二面角的平面角为.是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由.【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以因为正方形，所以又平面，所以平面因为平面，所以平平面平面；（2）过作于，连接因为平面，平面，所以因为，平面，所以平面又平面，所以，则为二面角的平面角所以，则又因为正方形中，有，又，所以此时与重合因为，所以，则，所以，故故存在使得.4．（2024·高一·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形.  (1)若点是的中点，证明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值.【解析】（1）连接交于M，连接，因为底面是菱形，所以为的中点，又点是的中点，故为的中位线，故，而平面，平面，故平面；（2）设为的中点，连接，因为，故，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，而平面，故，底面是菱形，故，作交于N，则，且N为的中点，连接，因为平面，故平面，平面，故，则即为二面角的平面角，设，则，，则，则，由于为的中点，N为的中点，故，则，而平面，平面，故，则所以，即二面角的正弦值为.5．（2024·高一·云南玉溪·期末）如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，其中，平面平面ABC，点E，N分别是AB，BC的中点．  (1)证明：平面PAB；(2)求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：因为三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，所以，又点E，N分别是AB，BC的中点，故，故，又平面平面ABC，平面平面，平面，故平面PAB．（2）如图，取PB的中点为F，连接AF，CF，因为，所以，．又平面平面ABC，平面平面，，平面，故平面ABP，平面，故，，平面，故平面，平面，故，则即为所求的角，于是，，所以二面角的余弦值为．6．（2024·高一·安徽芜湖·期末）如图，在三棱台中，，，，．  (1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值．【解析】（1）取中点为，连接,∵，，所以,故,由三角形内角和可得,故，又∵,平面,为相交直线，∴平面，平面,∴又∵,即,平面,∴平面，AC在平面ABC内，∴平面平面（2）由（1）知直线与平面所成角为，∴，由于,∴设平面和平面的交线为，由于平面，平面，所以，过点作于G，又（1）知平面平面，且两平面的交线为，平面,∴平面，平面，所以，且,再过点作于，连接，平面，所以平面，平面,故，∵即为所求角,,∵7．（2024·高一·江西萍乡·期末）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，平面ABC，且点E在平面ABC内的射影落在∠ABC的平分线上．  (1)求证：平面ACD；(2)求二面角的正切值．【解析】（1）如图，取AC中点O，连接BO，DO，EO，∵为等边三角形，∴BO为∠ABC的平分线，设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上，连接EF，则EF⊥平面ABC，∵平面平面ABC，平面平面，平面ACD，，则平面ABC，∴，则DEBO为平面四边形，∵平面ABC，平面DEBO，平面平面，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，，∴平面ACD，∴平面ACD.（2）∵，，，DO，平面BOD，∴平面BOD，∵平面BOD，∴，∴∠DOE为二面角的平面角，∵平面ABC，平面ABC，∴，∵，，∴四边形DEFO为矩形，∴，∴，，则，故二面角的正切值为．8．（2024·高一·重庆江津·期末）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，，E，F分别是AB，CD的中点．(1)求证：平面平面；(2)当直线与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角的余弦值．【解析】（1）（1），又，，又，平面平面，平面，又平面，平面平面．（2）为二面角的平面角．又因为，平面，平面，所以平面，所以点A到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，设，在中，由余弦定理可得，所以，在中，作，平面，平面，,，平面，平面，由等面积法可得：，设PA与平面PCD所成的角为，则，令，则，当且仅当时，即，等号成立，取最大值．所以：PA与平面PCD所成的角最大时，二面角的平面角的余弦值为．9．（2024·高一·浙江湖州·阶段练习）已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.      (1)求证：平面；(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.【解析】（1）因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以.取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面.（2）过点作，垂足为．如图所示，由（1）知，平面，因为平面，所以，，，平面，所以平面，所以为与平面所成角.由（1）知，平面，平面，所以,在中，因为，，所以，因为为的中点，所以，在中，，在中，，在中，，所以由同角三角函数的基本关系得.所以与平面所成角的正弦值为.（3）取的中点为，连接，因为为线段的中点，所以，由（1）知，平面，所以平面，平面.所以，过点作，垂足为，连接，，，平面，所以平面．平面，所以，所以为二面角的平面角.在中，，由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，所以，由（1）知，平面，平面．所以，在中，，由（2）知，，即，解得.因为平面，平面，所以，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值为.10．（2024·高一·河南开封·期末）如图1，四边形是边长为2的正方形，将沿折叠，使点到达点的位置（如图2），且.  (1)求证：；(2)求二面角的大小.【解析】（1）在图1中连接交于，则，所以在图2中，，因为为平面中的两条相交直线，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）可知，为二面角的平面角，在中，，由余弦定理，得，因为，所以，所以二面角的大小为.11．（2024·高一·贵州铜仁·期末）四棱锥中，底面为矩形，，，，.    (1)平面与平面的交线为，证明：；(2)，求二面角的余弦值.【解析】（1）由题意可得：∥，平面，平面，则∥平面，又因为平面，平面平面，所以.（2）分别过作的垂线，垂足分别为，在中，可得，可知为锐角，则，可得，因为，同理可得，过点作交于点，连接，则二面角的为，可知：∥，可得，所以，，在中，因为，可得，即，在中，，所以二面角的余弦值为.12．（2024·高一·福建福州·期末）如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到如图2所示的四棱锥．  (1)在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由；(2)在图2中求二面角的大小．【解析】（1）在上取点，使得，过作的平行线交于点，连接，，因为且，又且，所以且，故四边形为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面.（2）如图，记点在线段上射影为，过点作的垂线，垂足为，连接，因为，，，，平面，所以平面，又平面，所以，则为二面角的平面角，在矩形中如图，，，则，，，又，所以，可得，故，则，所以二面角的大小为．13．（2024·高一·安徽合肥·期末）在多面体中，，，平面，，为的中点.  (1)求证：平面；(2)若，求二面角的平面角正弦值的大小.【解析】（1）证明：取中点，连接，.因为是的中点，所以是的中位线，则，，所以，，则四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，故平面.（2）过点作垂直的延长线于点，因为平面，平面，所以，且，平面，，则平面，平面，，过作，垂足为，连接，平面，，则平面，所以，则是二面角的平面角.设，则，在中，，，所以.又因为，所以，则∴.14．（2024·高一·福建福州·期末）如图，已知矩形，，M是AD的中点，现将沿着BM翻折至．  (1)若，求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值的最大值．【解析】（1）由题意矩形中，，M是AD的中点，可知, ，设O为中点，连接，则，又，，故，又    ，O为中点，故，而，故，故，而平面，故平面，平面，故平面平面；（2）由（1）可知，将沿着BM翻折至平面平面时，二面角逐渐增大，当平面平面时，作，垂足为E，连接，因为O为中点，则E为中点，此时;由于平面，平面，故，平面，故平面，则为二面角的平面角，而,故；下面考虑翻折到越过平面平面时的位置后的情况：设Q为中点，连接，则四边形为正方形，连接，则O在上，则，平面，故平面，平面，故平面平面，平面平面，作，垂足为F，则平面，平面，故,，作，垂足为G，连接，平面，故平面，故为二面角的平面角，设，当时，二面角的正弦值为0；当时，，作，垂足为H，则四边形为矩形，则，故，故，由于，故，故，当且仅当，即时等号成立，即二面角的正切值的最大值为，此时二面角的正弦值的最大值，由于，故二面角的正弦值的最大值.