50立体几何必刷解答题 （25道）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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专题强化五：立体几何必刷解答题1．（22-23高一下·河北邯郸·期中）如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.  (1)证明：平面ABED.(2)证明：平面平面BCFE.2．（22-23高一下·天津和平·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.3．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点. (1)求证：B，C，H，G四点共面；(2)求证：平面；(3)若底面边长为2，，求三棱锥的体积.4．（22-23高一下·北京平谷·期末）三棱锥中，面，、分别是、中点，过的一个平面交面于．(1)证明：；(2)证明：．5．如图，四边形是边长为的菱形，，四边形是矩形，，且平面平面．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求平面与平面的夹角的大小；6．（22-23高一下·湖南岳阳·期末）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.(1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；(2)求二面角的平面角的正切值.7．．如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.（1）求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.8．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，点，分别是，上的点，且，．(1)证明：平面；(2)若平面平面，，，求三棱锥的体积．9．（22-23高一下·江西宜春·期末）如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.  (1)求证：平面.(2)求二面角的余弦值；10．（22-23高一下·全国·期末）如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若.  (1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)求异面直线与间的距离.11．（22-23高一下·全国·期中）如图，在四棱锥中，平面，∥，，，，，.  (1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值.12．（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四面体，分别是的中点．  (1)求证：；(2)在上能否找到一点，使平面？请说明理由；(3)若，求证：平面平面．13．（22-23高一下·浙江金华·期中）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.  (1)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由；(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.14．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）已知四棱锥，底面为正方形，且边长为2，，，，F、M、N分别为PD、AD、BC的中点，E点在FM直线上运动.(1)求证：∥平面；(2)当E为FM的中点时，求证：平面.15．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图甲，在直角三角形ABC中，已知，D，E分别是AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点的位置，且平面平面DBCE，连接，得到如图乙所示的四棱锥，M为线段上一点．  (1)证明：平面DBCE；(2)过B，C，M三点的平面与线段相交于点N，直线EM与BC所成角的大小为，求三棱锥的体积．16．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，，分别为，的中点.  (1)求证：平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)求点到平面的距离.17．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，侧面为正方形．点为的中点，点为AB的中点，点为的中点，且．    (1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求三棱锥的体积．18．（22-23高一下·云南昆明·期中）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，M，N分别为BC，的中点，P为侧棱上的动点  (1)若P为线段的中点，求证：∥平面APM；(2)试判断直线与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值：若不能垂直，请说明理由19．（22-23高一下·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，，，，E是PA的中点，平面平面ABCD．  (1)证明：；(2)证明：平面平面PAC；(3)求直线CE与平面PBC所成的角的正弦值．20．（22-23高一下·天津滨海新·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点D是棱的中点．  (1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的大小；(3)求证：平面．21．（22-23高一下·北京平谷·期末）如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为4的菱形，，点为的交点．  (1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积；(3)试判断在棱上是否存在一点，使得平面平面?说明理由．22．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．  (1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)在线段上是否存在点，使得平面?请说明理由．23．（22-23高一下·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面．  (1)证明：平面平面；(2)设平面平面于直线l，证明：；(3)若，在线段BC上是否存在点F，使得平面，若存在点F，则a为何值时，直线EF与底面所成角为．24．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，且．（1）求证：平面；（2）设二面角为．若，求直线与平面所成角的正弦值.25．（22-23高一下·河北邢台·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，与均为正三角形，将，与向上折起，使得三点重合于点，得到三棱锥．  (1)证明：平面平面．(2)设为棱上一点，二面角为，求三棱锥的体积．专题强化五：立体几何必刷解答题1．（22-23高一下·河北邯郸·期中）如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.  (1)证明：平面ABED.(2)证明：平面平面BCFE.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三角形中位线的性质和直线与平面平行的判定定理即可证明.（2）先把面面平行问题转化为线面平行问题，再利用平面与平面平行的判断定理即可证明.【详解】（1）证明：如图，连接BG.∵M为BC的中点，N为GC的中点，∴.∵平面ABED，平面ABED，∴平面ABED.  （2）∵G，O分别为DE，DF的中点，∴.∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.∵且，∴四边形OFCH是平行四边形，∴.∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.又，∴平面平面BCFE2．（22-23高一下·天津和平·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而证明出结论；（3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值.【详解】（1）连接，，因为底面为平行四边形，为中点，故与相交于，因为为的中点，则，因为平面，平面，所以平面；（2）因为，由余弦定理得，即，解得，因为，所以⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为平面，，所以平面；（3）取的中点，连接，则，因为⊥平面，所以⊥平面，则为直线与平面所成角，其中，故，因为⊥，，由勾股定理得，故，由勾股定理得，所以.3．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点. (1)求证：B，C，H，G四点共面；(2)求证：平面；(3)若底面边长为2，，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1） 借助三角形的中位线，证明，可得B，C，H，G四点共面；（2） 证明，平面，（3）由，求三棱锥的体积.【详解】（1）∵G，H分别是，的中点，∴GH是的中位线，∴，又在三棱柱中， ，∴，∴B，C，H，G四点共面．（2）∵在三棱柱中，，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（3）由题意，知 ．4．（22-23高一下·北京平谷·期末）三棱锥中，面，、分别是、中点，过的一个平面交面于．(1)证明：；(2)证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直进而证明面面垂直；（2）先证明线面平行，再根据线面平行性质定理证明线线平行.【详解】（1）面,,,面,面,面,面（2）分别是中点，面面面面，面面5．如图，四边形是边长为的菱形，，四边形是矩形，，且平面平面．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求平面与平面的夹角的大小；【详解】（1）连接交于，连接，四边形是菱形，，平面平面，平面平面，平面，平面，即为与平面所成角．四边形为矩形，，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，在中，，，故与平面所成角的正弦值为．（2）解：取的中点，连接、，由（1）知，平面，四边形是菱形，四边形为矩形，，，，，即为二面角的平面角，在中，，，由余弦定理知，，，故二面角的大小为，则平面与平面的夹角为．6．（22-23高一下·湖南岳阳·期末）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.(1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；(2)求二面角的平面角的正切值.【答案】(1)存在，(2)2【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论；（2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解．【详解】（1）解：当F是AC的中点时，直线平面.证明如下：设的中点为N，连接EN，FN，因为，，且，，所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，所以存在点F，使平面，且.（2）解：在平面图形中，连接CE，则，，所以，如图所示，取BE中点O，连接，则，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以作于M，连接，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为二面角的平面角，在直角中，，，可得，故二面角的平面角的正切值为．7．．如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.（1）求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.【详解】（1）在棱柱中，面，面，面面，由线面平行的性质定理有，又，故；（2）证明：在底面中，，，.， ，又因为侧棱底面，则底面面，又，面过点作于，连接，则是二面角的平面角．，，则，故，，．设，则．，故，故．8．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，点，分别是，上的点，且，．(1)证明：平面；(2)若平面平面，，，求三棱锥的体积．（1）证明：如下图，取的中点，取上一点，使得，连接，，．因为，分别为，的中点，所以，．又，，所以，．因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）如下图，作交于点．又平面平面，且平面平面，所以平面．因为，，所以．又，所以四边形为矩形，所以，取的中点，连接，则，，所以，所以，所以．9．（22-23高一下·江西宜春·期末）如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.  (1)求证：平面.(2)求二面角的余弦值；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意可证明，，然后证明平面ADEF即可；（2）根据垂直关系可得就是二面角的平面角，进而可得结果.【详解】（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，  则，可得，连接AC，则，因为，可得，由，可得，且，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面ADEF，且平面，可得，且，，平面，可得平面，且平面，可得，又，可知就是二面角的平面角，在，可得，所以二面角的余弦值为.10．（22-23高一下·全国·期末）如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若.  (1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)求异面直线与间的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2(3)【分析】（1）要证平面平面关键是证平面只需证，，利用平面平面可证；（2）根据几何法求解为二面角的平面角，从而利用三角形的边角关系即可求；（3）将异面直线与间的距离转化为点到面的距离求解.【详解】（1）∵平面平面平面平面,平面，所以平面平面，∴，又，，平面，∴平面,又平面，∴平面平面（2）设中点为，连接，过作于，连接，由于,所以,平面平面平面平面,平面，所以平面平面，故,又平面，所以平面，由于平面,故，为二面角的平面角，∵，∴，由于，∴，又，∴∴二面角的平面角的正切值为2（3）过点作，且，连接，所以四边形为平行四边形,∵平面，∴异面直线与距离等于 到平面的距离为,由于,平面，所以,故在三角形中，，，故,进而，所以,,∵∴,∴    ,  11．（22-23高一下·全国·期中）如图，在四棱锥中，平面，∥，，，，，.  (1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由已知∥，故（或其补角）即为异面直线与所成的角，然后在中求解即可；（2）因为平面，所以，结合可证平面；（3）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，且为直线DF和平面PBC所成的角，然后在中求解即可.【详解】（1）因为∥，故（或其补角）即为异面直线AP与BC所成的角.因为平面，且平面，所以，在中，则，可得.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（2）由（1）可知：，又因为∥，所以，且，，平面所以平面.（3）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面所成的角等于AB与平面所成的角.因为平面，故PF为DF在平面上的射影，所以为直线DF和平面所成的角.由于∥，∥，则为平行四边形，可得，则，又因为，可得，在中，可得,在中，可得.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.  12．（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四面体，分别是的中点．  (1)求证：；(2)在上能否找到一点，使平面？请说明理由；(3)若，求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)能找到一点，使平面，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）取的中点，证明，，利用线面垂直判定定理证明结论；（2）猜测为的中点，证明，并结合线面平行判定定理证明结论；（3）先证明， ，结合线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明结论.【详解】（1）取的中点，连接在中，，同理而平面又平面；  （2）在上能找到一点，使平面，此时为的中点，证明如下：连接  是的中点，平面平面，平面，的中点即为所求．（3）是公共边，，从而由（1）可知：，即，，平面，∴ 平面，面，∴ 平面平面．13．（22-23高一下·浙江金华·期中）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.  (1)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由；(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.【答案】(1)当时，平面(2)【分析】（1）取的中点，连接、，利用面面垂直和线面垂直的性质可得出，延长、于点，连接，推导出为的中点，取为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面与平面所成的锐二面角为，求出的正切值即可.【详解】（1）解：取的中点，连接、，因为为等边三角形，为的中点，则，同理可得，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，又因为平面，所以，，则、、、四点共面，且，又因为，所以，，延长、交于点，连接，因为，则，则为的中点，当点为的中点时，即当时，由于为的中点，则，因为平面，平面，所以，平面.（2）解：连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，因为为等边三角形，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，则，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，所以，平面与平面所成的锐二面角为，因为，，因为平面，平面，所以，，所以，，即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.14．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）已知四棱锥，底面为正方形，且边长为2，，，，F、M、N分别为PD、AD、BC的中点，E点在FM直线上运动.(1)求证：∥平面；(2)当E为FM的中点时，求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意先证平面∥平面PAB，结合面面平行的性质可得∥平面；（2）取PA的中点Q，连接，利用余弦定理可得，可得，利用线面垂直可证平面，可得，即可得结果.【详解】（1）连接MN，因为M、N分别是AD、BC的中点，则∥，且平面，平面，所以∥平面，同理可得∥，且平面，平面，所以∥平面， 又因为，平面，所以平面∥平面PAB，且平面，所以∥平面.（2）取PA的中点Q，连接，在中，可知，由余弦定理可得，因为E为的中点，可知E、D、Q三点共线，且在中，，所以，由（1）可知：∥，∥，且，可得，且，平面，所以平面，由平面，可得，且，平面，所以平面.15．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图甲，在直角三角形ABC中，已知，D，E分别是AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点的位置，且平面平面DBCE，连接，得到如图乙所示的四棱锥，M为线段上一点．  (1)证明：平面DBCE；(2)过B，C，M三点的平面与线段相交于点N，直线EM与BC所成角的大小为，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意可证，进而根据面面垂直的性质定理分析证明；（2）先证MN∥平面，可得，再证平面，进而结合锥体的体积公式运算求解.【详解】（1）因为DE分别是AB，AC的中点，则DE∥BC，且，则，即，又因为平面平面DBCE，平面平面，平面，所以平面BDEC．（2）如图所示：  因为BC∥DE，则直线EM与BC所成角为，且，可知，则M为的中点，因为BC∥DE，平面，平面，所以BC∥平面，又因为过B，C，M三点的平面与线段相交于点N，可得平面平面，平面BMNC，所以BC∥MN，所以N为的中点，又因为平面，平面，可得MN∥平面，所以，由（1）可知：平面BDEC，平面BDEC，则，且，平面，所以平面，可得三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为．16．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，，分别为，的中点.  (1)求证：平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面，从而得，再由各边长关系证明得为等边三角形，从而得，即可证明得平面；（2）取中点，证明平面，可得为直线与平面所成角，再利用解三角形计算正弦值；（3）将点到平面的距离转化为点到平面的距离，利用等体积法列式计算可求解.【详解】（1）过点作交于，∵四边形和是直角梯形，，，∴，，，，∴，，，又，平面，平面，∴平面，又平面，∴，在，，，∴，同理可得，在中，，，所以为等边三角形，∵为中点，∴，又，平面，平面，∴平面.  （2）取中点，连接，，，∵三角形为等边三角形，为中点，∴，又平面，平面，∴，又，平面，平面，∴平面，∴为直线与平面所成角，在中，，，∴，在等边三角形中，，∴，∴.所以直线与平面所成角的正弦值为.    （3）连接，设点到平面的距离为，由题意得点到平面的距离即点到平面的距离，∵，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又在等边三角形中，，∴，且平面，∵，∴，解得.所以点到平面的距离为  17．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，侧面为正方形．点为的中点，点为AB的中点，点为的中点，且．    (1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）连接，由中点可知即为边的中位线，利用线面平行的判定定理即可证明平面；（2）利用菱形性质和正方形特点，结合并根据线面垂直的判定定理即可证明平面；（3）由（2）中结论利用等体积法即可求得三棱锥的体积．【详解】（1）连接，如图所示：    因为为菱形，点为的中点，所以，又点为的中点，点为中点，所以，而平面，平面，所以平面.（2）由于侧面为菱形，，所以为等边三角形，，则.又，，所以平面，平面，可得；又为正方形，因此. 显然，因此又，所以平面.（3）易知的面积.由（2）可知，即为三棱锥的高，，所以.18．（22-23高一下·云南昆明·期中）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，M，N分别为BC，的中点，P为侧棱上的动点  (1)若P为线段的中点，求证：∥平面APM；(2)试判断直线与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值：若不能垂直，请说明理由【答案】(1)证明见解析(2)不能垂直，理由见解析【分析】（1）取中点D，连接，DN，DM，，根据三角形中位线定理和平行四边形的性质可证得∥平面APM，∥平面APM，再由面面平行的判定可得平面∥平面APM，再利用面面平行的性质可得结论；（2）假设平面APM，设，，然后由三角形相似可求出的值进行判断.【详解】（1）取中点D，连接，DN，DM，，  ∵D，M分别为，CB的中点，∴∥且，∴四边形为平行四边形，∴∥，又平面APM，AM⊂平面APM，∴∥平面APM，∵D，N分别为，的中点，∴∥，又P，M分别为，CB的中点，∴∥，∴∥，又平面APM，MP⊂平面APM，∴∥平面APM，∵，DN⊂平面，，∴平面∥平面APM，又平面，∴∥平面APM（2）假设平面APM，由PM⊂平面APM，得，设，，当时，，∴∽，∴，由已知得：，，，∴，解得：，∴假设错误，∴直线与平面APM不能垂直19．（22-23高一下·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，，，，E是PA的中点，平面平面ABCD．  (1)证明：；(2)证明：平面平面PAC；(3)求直线CE与平面PBC所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．【分析】（1）由勾股定理可证，结合面面垂直的性质定理证得平面PAB，从而知；（2）由，，可证平面PAC，再由面面垂直的判定定理，得证；（3）由（2）知，平面平面PAC，进而知∠PCE即为所求，再结合勾股定理与余弦定理，求得的值，即可得解．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，所以，，所以，即，因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB，又平面PAB，所以．（2）证明：由（1）知，，因为，，所以，即，又，AC、平面PAC，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PAC．（3）由（2）知，平面平面PAC，所以直线CE在平面PBC中的射影为直线PC，故∠PCE即为直线CE与平面PBC所成的角，由（2）知，平面PAC，因为平面PAC，所以，所以，由（1）知，平面PAB，因为平面PAB，所以，所以，在△PCE中，由余弦定理知，，所以，故直线CE与平面PBC所成的角的正弦值为．20．（22-23高一下·天津滨海新·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点D是棱的中点．  (1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的大小；(3)求证：平面．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析．【分析】（1）先证明平面平面，接着由，D是棱的中点，得，再利用平面与平面垂直的性质定理得平面；（2）取AC中点E，连接BE，DE，，通过构造平行四边形，得到，进而得到（或其补角）是异面直线与所成的角，解三角形可得； （3）可先证平面，平面，进而证得平面平面，又平面，则平面可证．【详解】（1）∵侧面，均为正方形，∴，，，，∴，∴，又，平面∴平面，又∵平面，∴平面平面，∵，D是棱的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．（2）取AC中点E，连接BE，DE，，    在三棱柱中，，，,，∵D，E分别是，AC的中点，,，四边形是平行四边形，,，又，∴，，即四边形是平行四边形，∴，∴（或其补角）是异面直线与所成的角，∵，，∴，∵侧面为正方形，∴，由（1）知平面，且，∴平面，又平面，∴，又，∴，∴，由（1）得平面，且，∴平面，平面，∴，在中，，∴，即异面直线与所成的角为．（3）证明：在三棱柱中，，，∵D，E分别是，AC的中点，∴，，即四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，由（2）知，∵平面，平面，∴平面，∵，平面∴平面平面，∵平面，∴平面．21．（22-23高一下·北京平谷·期末）如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为4的菱形，，点为的交点．  (1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积；(3)试判断在棱上是否存在一点，使得平面平面?说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，理由见解析【分析】（1）取中点，连接，易证为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明；（2）由，利用线面平行的判定定理得到面，从而得到到面的距离为，再由菱形，求得，然后利用三棱锥的体积公式求解；（3）由三角形为等边三角形，点为棱的中点，，由面面，得到面，从而面，然后利用面面垂直的判定定理证明.【详解】（1）证明：取中点，连接．  菱形为中点，且，且，，为平行四边形，，面面，平面；（2）面面，面，到面的距离为，菱形对角线，，三棱锥的体积；（3）在棱上存在一点，使得平面平面，且点为棱的中点．证明：三角形为等边三角形，点为棱的中点，，面面，面面，面，面，又面，所以，又，面，面，面，平面，平面平面.22．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．  (1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)在线段上是否存在点，使得平面?请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在为中点，理由见解析【分析】（1）由题意，又因为平面平面，所以平面，即可得证；（2）由平面，所以，又，所以平面，得，又，从而平面，即可得结论；（3）存在为中点时，平面．取中点为，可得四边形为平行四边形，因此，即可证明．【详解】（1）因为为中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，因此．（2）由（1）知，平面，平面，所以．在矩形中，，又因为，平面,所以平面．平面，所以．又因为，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（3）存在为中点时，平面．证明：取中点为，连接，    因为为中点，，且．在矩形中，为中点，所以，且．所以，且，所以四边形为平行四边形，因此，又因为面面，所以面．23．（22-23高一下·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面．  (1)证明：平面平面；(2)设平面平面于直线l，证明：；(3)若，在线段BC上是否存在点F，使得平面，若存在点F，则a为何值时，直线EF与底面所成角为．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，【分析】（1） 由面面垂直的线面垂直的判定定理即可证明；          （2） 由线面平行的性质定理即可证明；        （3）由线面平行的判定定理得出点F在BC的处，再证得平面，所以即为EF与底面所成角，求解即可得出答案.【详解】（1）∵底面，平面，∴         又底面为正方形，∴                            而，平面， ∴平面，                            又∵平面PBD，∴平面平面.（2）在正方形中，，平面，平面，∴平面 ，∵平面，平面平面，∴.（3）存在点F在BC的处，使得平面．在线段PA上取点K，使连接KE，KB，EF．∵中，，即，∴，且，在正方形中，F在BC的处，∴，且，∴，且，∴为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，在AD的处取点M，连接．中，点E，M分别为的处，∴，且∵平面，∴平面，∴EF在平面上的射影MF，∴即为EF与底面所成角，                          在中，，若，∴  24．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，且．（1）求证：平面；（2）设二面角为．若，求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接，交于，因为，，所以，，因为，所以∽，，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解：取中点，连接、，因为为正三角形，所以，，因为为直角梯形，，，，所以四边形为矩形，所以，因为，所以平面，所以平面平面，因为，所以平面，所以，，所以，设，由余弦定理得，于是，整理得，解得或（舍去），取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，所以平面，即线段的长为点到平面的距离，因为，平面，平面，所以平面，所以的长也是点到平面的距离，而，，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.25．（22-23高一下·河北邢台·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，与均为正三角形，将，与向上折起，使得三点重合于点，得到三棱锥．  (1)证明：平面平面．(2)设为棱上一点，二面角为，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，，得平面，从而可证平面平面；（2）分别求出三棱锥，的体积，然后相减，即可得到本题答案.【详解】（1）证明：取的中点，连接，，则，依题意可得，，，所以，所以，又，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：如图，作交于，作于，连接，  因为平面，所以平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，所以，则是二面角的平面角，则，因此是等腰直角三角形，设，则，得，由，得，得，，，故．