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内蒙古呼和浩特市2024届高三下学期二模考试 数学（理）含答案
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这是一份内蒙古呼和浩特市2024届高三下学期二模考试 数学（理）含答案，共10页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，已知，则，1024的所有正因数之和为，设，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．回答第Ⅰ卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4，考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，集合，且，则（ ）
A．0或1B．C．0或D．0
3．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知南方某个地区的居民身高大致服从正态分布，单位．若身高在的概率为0.6，则从该地区任选一人，其身高高于166的概率为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.35D．0.15
5．函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．0C．D．
7．已知向量满足，且，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．1024的所有正因数之和为（ ）
A．1023B．1024C．2047D．2048
9．如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度．得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
10．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．在中，角的对边分别为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题-第23题为选考题，考生根据需求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设，则______．
14．若的展开式中的系数为40，则实数______．
15．在平面直角坐标系内，若直线绕原点逆时针旋转后与圆有公共点，则实数的取值范围是______．
16．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如下图，羡除中，底面是正方形，平面和均为等边三角形，且，则该几何体外接球的体积为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共60分．
17．已知数列是首项为1的等差数列，是公比为3的等比数列，且．
（1）求和的通项公式；
（2）记为数列的前项和，，求的前项和．
18．对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）当时，求函数的不动点的个数．
19．如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．
（1）求证：平面平面；
（2）线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
20．某游戏公司设计了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
计算得到一些统计量的值为：，其中．
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的回归方程；
（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过，可获得3分并进入下一关，否则获得-1分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
21．已知分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两个不同的点与不重合．
（1）求椭圆的焦距和离心率；
（2）若点在以线段为直径的圆上，求的值；
（3）若，设为坐标原点，直线分别交轴于点，当且时，求的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为：（为参数），直线与曲线分别交于两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若成等比数列，求的值．
23．已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
关卡
1
2
3
4
5
6
平均过关时间（单位：秒）
50
78
124
121
137
352
高三二模理数 参考答案
一、选择题
二、填空题
13． 14．3 15． 16．
三、解答题
17．（1）
解得
（2）
18．（1）当时，
（当且仅当，即时取等号）．
在上单调递增
（2）当时，
由题知，即
设，则
，
在上有唯一零点
又
在有唯一零点
综上所述，有两个不动点
19．（1）为的中点，
又
又平面
又平面平面平面
（2）存在点，证明如下．
以为原点，为轴，为轴，过点且与平面垂直的射线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设，平面的法向量为，
则
解得或（舍）
，即点存在，且为的中点
20．（1），即
，即
（2）可取8，11，14，18
，
，
故“甲获得的积分”的分布列为：
故“甲获得的积分”的期望为：
21．（1）焦距，离心率
（2）令且
联立得：
由韦达定理得：
由题知
又当时，过右顶点，故舍去，所以
（3）由（2）可知：
（*）
代入（*）得：
22．（1）C：
（2）直线的标准参数方程为：（为参数）
代入曲线的直线坐标方程得：
由韦达定理得：
成等比数列
，即，解得：
23．（1）
①当时，
②当时，
③当时，
综上所述：
（2）由题知，即在上恒成立
，即，即在上恒成立．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
B
A
C
A
C
D
D
B
C
-
0
+
8
11
14
18
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．回答第Ⅰ卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4，考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，集合，且，则（ ）
A．0或1B．C．0或D．0
3．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知南方某个地区的居民身高大致服从正态分布，单位．若身高在的概率为0.6，则从该地区任选一人，其身高高于166的概率为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.35D．0.15
5．函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．0C．D．
7．已知向量满足，且，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．1024的所有正因数之和为（ ）
A．1023B．1024C．2047D．2048
9．如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度．得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
10．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．在中，角的对边分别为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题-第23题为选考题，考生根据需求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设，则______．
14．若的展开式中的系数为40，则实数______．
15．在平面直角坐标系内，若直线绕原点逆时针旋转后与圆有公共点，则实数的取值范围是______．
16．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如下图，羡除中，底面是正方形，平面和均为等边三角形，且，则该几何体外接球的体积为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共60分．
17．已知数列是首项为1的等差数列，是公比为3的等比数列，且．
（1）求和的通项公式；
（2）记为数列的前项和，，求的前项和．
18．对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）当时，求函数的不动点的个数．
19．如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．
（1）求证：平面平面；
（2）线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
20．某游戏公司设计了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
计算得到一些统计量的值为：，其中．
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的回归方程；
（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过，可获得3分并进入下一关，否则获得-1分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
21．已知分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两个不同的点与不重合．
（1）求椭圆的焦距和离心率；
（2）若点在以线段为直径的圆上，求的值；
（3）若，设为坐标原点，直线分别交轴于点，当且时，求的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为：（为参数），直线与曲线分别交于两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若成等比数列，求的值．
23．已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
关卡
1
2
3
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5
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平均过关时间（单位：秒）
50
78
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121
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352
高三二模理数 参考答案
一、选择题
二、填空题
13． 14．3 15． 16．
三、解答题
17．（1）
解得
（2）
18．（1）当时，
（当且仅当，即时取等号）．
在上单调递增
（2）当时，
由题知，即
设，则
，
在上有唯一零点
又
在有唯一零点
综上所述，有两个不动点
19．（1）为的中点，
又
又平面
又平面平面平面
（2）存在点，证明如下．
以为原点，为轴，为轴，过点且与平面垂直的射线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设，平面的法向量为，
则
解得或（舍）
，即点存在，且为的中点
20．（1），即
，即
（2）可取8，11，14，18
，
，
故“甲获得的积分”的分布列为：
故“甲获得的积分”的期望为：
21．（1）焦距，离心率
（2）令且
联立得：
由韦达定理得：
由题知
又当时，过右顶点，故舍去，所以
（3）由（2）可知：
（*）
代入（*）得：
22．（1）C：
（2）直线的标准参数方程为：（为参数）
代入曲线的直线坐标方程得：
由韦达定理得：
成等比数列
，即，解得：
23．（1）
①当时，
②当时，
③当时，
综上所述：
（2）由题知，即在上恒成立
，即，即在上恒成立．
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D
B
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C
A
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