2024年山西省晋中市和顺县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 春节期间我市昼夜温差很大，小明测得某天白天的最高温度是，夜晚最低温度是，则当天的昼夜温差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，直接用最高气温减去最低气温即可得到答案．
【详解】解：，
∴当天的昼夜温差是，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方，同底数幂相乘，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3. 如图，中，，，三角板按如图方式放置，点落在上，在同一直线上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了邻补角的性质，直角三角形的性质，由邻补角的性质可得，进而由直角三角形两锐角互余即可求解，掌握邻补角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
4. 我国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候、全天时为用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务，并且已经初步具备区域导航、定位和授时能力，定位精度为分米、厘米级别，测速精度米秒，授时精度纳秒（纳秒 秒）．将数据纳秒用科学记数法表示为（ ）
A. 秒B. 秒C. 秒D. 秒
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，先把纳秒转化为秒，求出结果，再根据科学记数法表示出结果即可，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
【详解】解：纳秒秒秒，
故选：．
5. 如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得，故A，C正确；
∴在的垂直平分线上，
∴，故D选项正确，
而不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
6. 鲁班锁也叫八卦锁、孔明锁，是中国古代传统的土木建筑固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具．如图1是拼装后的三通鲁班锁，如图2是拆解后的三通鲁班锁中的一块，则图2中木块的主视图是（ ）
A.
B.

C.
D.

【答案】A
【解析】
【分析】本题考查判断简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案，掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
【详解】观察可知，图2中木块的主视图如下：
，
故选：A．
7. 已知点 在反比例函数 的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出的值是解题的关键．
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴，
∴，
故选：D．
8. 《数书九章》是宋代数学家秦九韶编写的一部实用数学大全．数学课上同学们对“遥度圆城”问题进行了改编如下：如图，一座圆形城池有正东、正南、正西和正北四个门，北门外正北方向有一棵大树，假设某人从南门向东走里恰好可以看到这棵大树，此时转身向树的方向继续走里到达树下，则该城池的外围直径为（ ）

A. 里B. 里C. 里D. 里
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，由勾股定理可得里，由题意可得与圆相切，得到，即可得到，得到，设里，则里，求出圆的半径即可求解，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意可得，里，里，与圆相切，切点为，，

∴，里，
∴，
设里，则里，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴该城池的外围直径为里，
故选：．
9. 如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架，，，均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．根据抛物线在坐标系中的特殊位置，设抛物线解析式为，然后代入，求解即可．
【详解】∵米，米，
∴米，米，
∴
∴设抛物线解析式为
∴将，代入得
解得
∴．
故选：A．
10. 在矩形中， ，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，由折叠可得，，由矩形可得，，，，进而得到，，，即得到，得到，可得，再得到，，则，在中，由勾股定理可得，求出，由根据，，可得，得到，据此即可求出，推导出是解题的关键．
【详解】解：由折叠可得，，，
∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式运算运算，利用二次根式的运算法则直接计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
故答案为：．
12. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是______．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平均数和方差的计算，先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式计算出它们的方差即可求解，掌握方差的计算公式是解题的关键．
【详解】解：甲的平均数为，
乙的平均数为，
∴，
，
∴，
故答案为：．
13. 如图是某校为“五四”晚会搭建的“凹”字型舞台（图中阴影部分），相关数据如图所示，则这个舞台的面积为___________（用含a，b的代数式表示）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，掌握平方差公式是解题关键．用矩形的面积减去小正方形的面积列式，再化简即可．
【详解】解：这个舞台的面积为，
故答案为：．
14. 浮山至临汾高速公路（简称浮临高速）是山西省“县县通高速”最后的重点攻坚项目．浮临高速通车前从起点到终点的车程是千米，若浮临高速通车后，车程将缩短至千米，汽车的平均速度将提高到现在的 倍，用时将缩短分钟．若设浮临高速通车后汽车的平均速度为千米时，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，由题意可得，浮临高速通车前的速度为千米时，通车前需要的时间为小时，通车后需要的时间为小时，根据用时将缩短分钟即可列出方程，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
15. 如图，正方形内接于，点为 上一点，连接．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，连接，过点作于，由正方形可得，，进而得为的直径，即，又由圆周角定理可得，即可得为等腰直角三角形，可得，由此可得，即得，再由三角函数得，由勾股定理即可得到的长，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，过点作于，则，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算、有理数的混合运算等知识点，
（1）先根据有理数的乘方、负整数指数幂计算，然后再进行加减运算即可解答本题；
（2）根据分式的除法和减法运算法则计算即可解答本题；
熟练掌握各自的计算方法是解决此题的关键．
【详解】（1）
，
（2）
．
17. 如图，在中，是直线上的两点，且 ．连接．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，进而得到，即可得，由即得到，由此得到，即可得到，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴．
18. 年月日在第届三星杯世界围棋大师赛决赛中，山西籍棋手丁浩夺冠，成为中国首位“后”围棋世界冠军．某校围棋社团在下属的两个围棋班组织了全员围棋比赛．为了解这两个班的比赛情况，学生会从两个班中各随机抽取了名同学的成绩(满分为分，单位：分)，数据收集如下：
奋进班：；
飞跃班：；
【数据整理】将收集的数据整理成统计表（一）．
表（一）
【数据描述】将收集的结果绘制成扇形统计图及数据分析表（二）．
表（一）
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中组所占的圆心角的度数为 ，若奋进班和飞跃班各有学生名，估计两个班围棋成绩在组的学生总人数为 人．
（2）表（二）中 ， ，结合以上数据，从平均数、中位数、众数中选择一个角度，说明哪个班的成绩较好．
（3）为了更好地推广围棋活动，该校决定从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人参加市级围棋比赛，请用列表或画树状图的方法求正好选中甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1），；
（2），，从平均数看，飞跃班的平均分高于奋进班的平均分，所以飞跃班的成绩好；
（3）．
【解析】
【分析】（）用乘以组人数的占比即可得到扇形所占的圆心角的度数，用乘以组人数的占比可得到；
（）根据中位数、众数的定义即可求解，由平均数、中位数、众数选择一个即可说明哪个班的成绩较好；
（）画出树状图，根据树状图即可求解；
本题考查了频数分布表和扇形统计图，中位数，众数，平均数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图表是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由题意可得，，，
故答案为：，；
从平均数看，飞跃班的平均分高于奋进班的平均分，所以飞跃班的成绩好；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可得，共有中等结果，其中正好选中甲、乙两名同学的有中结果，
∴正好选中甲、乙两名同学的概率为．
19. 阳高县是山西省的“杏果之乡”，杏树种植历史悠久，当地的阳高大接杏畅销全国．某水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯进行销售．鲜果以5元/千克的成本价购进，并以7元/千克的价格出售．果脯以30元/千克的成本价购进，并以36元/千克的价格出售．请结合题意解答下列问题．
（1）该水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯共100千克，花费2000元，则购进鲜果和果脯各多少千克?
（2）该水果商店两天售完所有阳高大接杏的鲜果和果脯后，决定再购进共200千克的鲜果和果脯(所购进果脯不高于40千克)，则当该水果商店购进多少千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大?最大利润是多少?
【答案】（1）购进鲜果40千克，果脯60千克；
（2）当该水果商店购进160千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大，最大利润是560元．
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的实际应用，根据题意正确列方程组和函数解析式是解题的关键．
（1）设购进鲜果x千克，果脯y千克，根据鲜果和果脯共100千克，花费2000元，列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进鲜果m千克，则购进果脯千克，得到，再求出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：设购进鲜果x千克，果脯y千克，
解得
答：购进鲜果40千克，果脯60千克；
【小问2详解】
设购进鲜果m千克，则购进果脯千克，
则
由题意可得，
解得，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
答：当该水果商店购进160千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大，最大利润是560元．
20. 云冈石窟是我国世界文化遗产之一，位于山西省大同市西郊约17千米处，是中国著名的石窟群之一，其中第五窟三世佛的中央坐像（民间俗称“云冈大佛”），大耳垂肩，是云冈石窟的标志佛像．某校组织学生参观了云冈石窟，课题研究组的学生运用所学知识设计了一个求“云冈大佛”高度的实践活动，测量方案及数据如下：

（1）请你结合以上测量数据，帮助课题研究组的同学求出“云冈大佛”的高度．（结果精确到0.1米．参考数据： ）
（2）为了减小测量中产生的误差，请你提出一条合理的建议．（写出一条即可）
【答案】（1）“云冈大佛”的高度约为16.8米．
（2）可以采用精度更高的仪器测量的高度．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接并延长交于点，根据题意可得：，米，米，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
（2）根据题意提出一条合理的建议即可．
【小问1详解】
解：连接并延长交于点，

由题意得：，米，米，
设米，
米，
在中，，
（米），
在中，，
米，
，
解得：，
米，
（米），
“云冈大佛”的高度约为16.8米．
【小问2详解】
可以采用精度更高仪器测量的高度．
21. 阅读与思考
下面是小宇撰写的数学小论文(部分)，请仔细阅读并完成相应的任务．
求两类特殊系数一元二次方程的解
通过学习我们知道一元二次方程 ，a，b，c为常数)，当 时，其求根公式为
观察求根公式可知，一元二次方程的根与系数有着密切的关系．我们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系．分析如下：
第一类，当时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢?我们用两种方法进行了分析：
方法一：
，．
该方程有实数根．
．
方程 可变形为．
或．
当时，一元二次方程的两个实数根为
方法二，用求根公式法求解：
……
第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根．
…………
任务：
（1）小论文中，将方程变形为 ，然后求出方程的根，这种解方程的方法是 ．
A．配方法 B．公式法 C．因式分解法
（2）请参照小论文中的求解方法，用方法一将第二类方程的求解过程补充完整．
（3）请结合小宇的小论文，直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点．
【答案】（1）C （2）见详解
（3）（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合因式分解的定义，一个多项式变形为几个整式的乘积的形式，故，变形为即为因式分解；
（2）模仿题干的过程，即可作答．
（3）借助（1）（2）的结论，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意
则
故这种解方程的方法是因式分解法，
故选：C
【小问2详解】
解：依题意，
，
．
该方程有实数根．
．
方程可变形为．
或．
当时，一元二次方程的两个实数根为
【小问3详解】
解：结合（1）（2）的结论，得出要使一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点．
则，
即（答案不唯一）．
22. 综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片，其中 ，，．如图，三角形纸片与三角形纸片重合，然后将纸片绕点顺时针旋转（旋转角不超过），与交于点，与交于点．
操作与计算
（）如图，当时，求的长．
深度思考
（）“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图，当 时，试猜想与的数量关系，并说明理由．
拓展探究
（）“智慧”小组进一步研究．如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，连接．当 时，直接写出四边形的面积．
【答案】（）；（），理由见解析；（）．
【解析】
【分析】（）利用勾股定理求出，利用三角形面积求出，可得，由得到，即可求解；
（）．连接，由，，可得，即得，，进而得，即可求证；
（）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形，可得，，得到，即可得，
得到，由可得，由，，得到，推导出，进而得到，可得，，，由得到，得到，求出，再利用勾股定理求得，即可求解．
【详解】（）解：如图，
当，有，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（）解：，理由如下：
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，平行公理的推理，余角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23. 综合与探究
如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为点．连接，将 沿轴向右平移 个单位长度，得到 ．
（1）求抛物线的函数表达式与顶点的坐标．
（2）如图，连接，当 周长最短时，求的值．
（3）如图，设边与边交于点，连接，是否存在，使得与 的一边相等?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），顶点的坐标为；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，再把抛物线的函数表达式转化为顶点式即可得到顶点的坐标；
（）设点关于轴的对称点为点，连接，当在同一直线上时，的周长最短，由对称得到点的坐标为，设直线的函数表达式为，可得直线的函数表达式为，求得点的坐标为，即可求出的值；
（）如图，过点作轴于点，由，，可得，，，，进而得到，，，即可得，，，分三种情况：，，，利用解直角三角形和勾股定理解答即可求解．
小问1详解】
解：将点代入中得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，设点关于轴的对称点为点，连接，当在同一直线上时，的周长最短，
∵点的坐标为，
∴.点的坐标为，
设直线的函数表达式为， 将点、代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为，
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
∴；
【小问3详解】
解：存在，或．
如图，过点作轴于点，
∵，，
∴，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，，
分三种情况讨论：
当时，在中，
∵ ，
∴，
∴该情况不存在；
当时，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
当时，，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
在中 ，，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，轴对称最短线段问题，二次函数图象的平移，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握分类讨论思想解答是解题的关键．
分组
组
组
组
组
奋进班
飞跃班
班级
中位数/分
众数/分
平均数/分
奋进班
飞跃班
课题
测量“云冈大佛”的高度
测量目的
运用三角函数知识解决实际问题
测量工具
测角仪、皮尺等
测量示意图

说明：线段表示云冈大佛顶端到地面的高度，测角仪米，点A，B，C，D，M，N都在同一竖直平面内，点A，C，N在同一水平线上
测量步骤
①小明将测角仪固定在点A处测得大佛最高点M的仰角为；
②小明朝着大佛走了6.5米，将测角仪固定在点C处，再次测得大佛的最高点M的仰角为
……