2024年云南省文山州九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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（全卷三个大题，共27个小题，共8页； 满分100分，考试用时 120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷．答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”． 例如，粮库把运进30吨粮食记为“”，则运出30吨粮食记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量，粮库把运进记为正，则运出为负，由此即可得解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则运出30吨粮食记为吨，
故选：A．
2. 苏步青是我国著名的数学家、教育家，中国微分几何学派创始人，被誉为“东方国度上灿烂的数学明星”、 “东方第一几何学家”、 “数学之王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000 000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000 000用科学记数法表示为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：数据218000 000用科学记数法表示为，
故选：C．
3. 如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b．若∠1＝35°，则∠2＝（ ）
A. 35°B. 55°C. 125°D. 145°
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质和邻补角的定义可以求得∠2的度数，从而可以解答本题．
【详解】解：∵a∥b．∠1＝35°，
∴∠1＝∠3，
∴∠3＝35°，
∵∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝145°，
故选：D．
【点睛】此题考查平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等的运算能力．运用同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算法则进行逐一计算、辨别即可．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、不能合并，故错误，不合题意；
故选：B．
5. 如图所示的几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从物体正面看所得到的图形即可.
【详解】解：圆锥的主视图是等腰三角形，
故答案选：C.
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的图，掌握定义是关键.
6. 下列反比例函数的图象经过第二、四象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】主要考查反比例函数图象的性质：（1）时，图象是位于一、三象限．（2）时，图象是位于二、四象限．熟练掌握反比例函数图象的性质是解题关键． 根据反比例函数图象的性质对各选项逐一判断解答即可．
【详解】解：A．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
B．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
C．，反比例函数图象位于二、四象限，故该选项符合题意，
D．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
故选C．
7. 在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有高度的艺术价值．下列窗棂的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8. 当代数式有意义时，实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，则，
故选：．
9. 如图，△ABC中，，，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）
A. 2：3B. 2：5C. 4：9D. 4：25
【答案】D
【解析】
【分析】先证明可得从而可得答案.
【详解】解： ，
而，

故选D
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比”是解本题的关键.
10. 估算－1的值大约应在哪两个整数之间（ ）
A. 7至8B. 6至7C. 5至6D. 4至5
【答案】B
【解析】
【分析】利用估算估出，再估算－1，即可解答.
【详解】∵
∴
∴
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的估算，难度较低，熟练掌握二次根式估算的相关知识点是解题关键.
11. 某中学开展“眼光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一项），为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（ ）
A. 240B. 120C. 80D. 40
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：调查的总人数是：80÷40%=200（人），则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数是：200﹣80﹣30﹣50=40（人）．故选D．
考点：1．条形统计图；2．扇形统计图．
12. 一组按规律排列的多项式： …其中第10个式子是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数字类规律，解题的关键是把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律．把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，即可得到多项式的规律．
【详解】解：代数式的第一项依次为，
第二项依次为，
所以第10个多项式即时，可得其第一项为，第二项为，
故第10个式子，
故选：B．
13. 如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠D＝34°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 102°B. 112°C. 122°D. 132°
【答案】B
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可求得∠B的度数，再由等腰三角形的性质即可求解.
【详解】如下图，连接BC，
∵∠D＝34°，
∴由圆周角定理推论得：∠B＝∠D＝34°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B＝34°，
∴∠BOC＝180°∠B∠OCB＝112°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角及等腰三角形、三角形内角和的相关性质，熟练掌握相关知识是解决本题的关键.
14. 某厂前年的产值为50万元，今年上升到72万元，这两年的平均增长率是多少？若设每年的增长率为x，则有方程（ ）
A. 50（1+x）=72B. 50（1+x）+50（1+x）2=72
C. 50（1+x）2=72D. 50x2=72
【答案】C
【解析】
【分析】：由于设每年的增长率为x，那么去年的产值为50（1+x）万元，今年的产值为50（1+x）（1+x）万元，然后根据今年上升到72万元即可列出方程．
【详解】每年的增长率为x，
依题意得50（1+x）（1+x）=72，
即50（1+x）2=72．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用-．
15. 如图，在等边中， ， 平分，点 是边 的中点， 点 是线段 上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的应用，等边三角形的性质，垂线段最短，过作于点，连接，通过性质可得，当点三点共线时，有最小值，由三角函数即可求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，过作于点，连接，
∵在等边中，平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
当点三点共线时，有最小值，
∴，即的最小值为，
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 因式分解：2a2﹣8=_____．
【答案】2（a+2）（a－2）．
【解析】
【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）．
故答案为2（a+2）（a－2）．
考点：因式分解．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
17. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形是______边形
【答案】十
【解析】
【分析】设这是n边形，根据多边形内角和公式，列出方程求解即可．
【详解】解：设这是n边形，
，
解得：，
∴这个多边形是十边形，
故答案为：十．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握n边形内角．
18. 某学生数学课堂表现为90分、平时作业为90分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按、、的比例计入总评成绩，则该生数学总评成绩是__________分．
【答案】88
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数的计算，属于基本题型，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．根据加权平均数的计算方法解答即可．
【详解】解：该学生数学学科总评成绩分．
故答案为：88．
19. 如果某圆锥形纸帽的底面直径为，沿侧面剪开后所得扇形的半径为，则该圆锥纸帽的侧面积为_____． （结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的求法，首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得，底面周长为，
∴该圆锥纸帽的侧面积为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、乘方，根据二次根式的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、乘方的运算法则进行化简，再计算加减即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
【详解】解：
．
21. 如图，点E，F在BC上，，，，求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS证得结论即可．
【详解】，
，即，
与中，
，
．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
22. 义务献血利国利民，是每个健康公民光荣的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库．已知两个采血点到中心血库的路程分别为，经了解获得两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一：采血点运送车辆平均速度是采血点运送车辆的平均速度的1.2倍；
信息二： 两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时．
求两个采血点运送车辆的平均速度各是多少?
【答案】采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为，根据“ 两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时”列出分式方程，解方程并检验即可得出答案．
【详解】解：设采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为．
23. 在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，从袋子中随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x，然后放回；再摸出一个小球，把小球上的数字记为y．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）若把x作为一个两位数十位数字，把y作为这个两位数的个位数字，求这个两位数大于20的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）画出树状图，即可求解，
（2）根据数状图，可得出大于20的数的个数，以及两位数的个数，再根据概率公式即可求解，
【小问1详解】
解：画树状图如下：
则所有可能出现的结果为
【小问2详解】
解：把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字，
则共有9个不同的两位数，且大于20的数有6个，
则这个两位数大于20的概率为：，
24. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若且 求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，结合，可得四边形是矩形；
（2）先证明四边形是菱形，再利用三角函数，勾股定理计算即可．
【小问1详解】
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
∵平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵,
∴，
∵
∴，
解得(舍去)，
∴，
∴，
解得，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，正切函数的应用，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，正切函数，勾股定理是解题的关键．
25. 人间最美四月天，不负韶华不负己，春光明媚，让我们走进山清水秀的普者黑风景区，泛舟荷花之中，享受这静谧的休闲时光．普者黑景区先后被批准为国家级风景名胜区、国家4A 级旅游景区、国家湿地公园，吸引了省内外大量的游客前来观光旅游，特别是湖南卫视大型亲子秀节目《爸爸去哪儿》和电视剧《三生三世之十里桃花》在普者黑取景拍摄、播出，更是使普者黑蜚声国内外，很多游客慕名而来，助推普者黑的旅游发展进入快车道．普者黑景区为了支持旅游业的快速发展，研发了一款民族特色纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍．销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足如图所示函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定位多少元时，景区销售这种纪念品每天的获利最大?最大利润是多少?
【答案】（1）
（2）当销售单价55元每件时，每天获利最大，最大利润为1250元．
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数和二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键．
（1）根据图中的数据，利用待定系数法得关系式．
（2）根据总利润＝每件的利润×数量，再利用配方法求出最值．
【小问1详解】
解：设解析式为
根据图象可知，点在上
，
解得，
y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
解：设每天获利w元，
根据题意得，
，
当时，w取最大值为1250，
答：当销售单价55元每件时，每天获利最大，最大利润为1250元．
26. 已知二次函数 的图象经过、两点．
（1）求证：；
（2）若为整数，为正整数，当时，对应函数值有且只有个整数，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2），或，．
【解析】
【分析】（）将点和点代入解析式，化简得证结论；
（）将和分别代入解析式，然后将函数值作差列出方程，结合为整数和为正整数求和的值；
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【小问1详解】
证明：将、代入解析式，得：
，
化简得：；
【小问2详解】
由（）得：，
∴
∴，，为正整数，
∴
∴当时，随的增大而减小，当时，，
当时，，
∵当时，对应函数值有且只有个整数，
∴，
化简得：，
∵为整数，为正整数，
∴当时，；
当时，；
∴，或，．
27. 如图， 是 的直径， C、D在上， 且点 A 是 的中点，连接交于点E， 延长和相交于点 P， 过点A作交于点G．
（1）求证: 直线 是的切线；
（2）若， 求的值；
（3）过点 P作的切线，切点为Q， 若，求m与n之间的关系．
【答案】（1）见解析 （2）6
（3）
【解析】
【分析】题目主要考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据圆周角定理及三角形内角和定理得出，再由等弧所对的圆周角相等确定，由平行线的性质得出，利用等量代换即可证明；
（2）根据相似三角形的判定和性质得出，即可求解；
（3）过点P作⊙O的切线，连接，过点O作，交于点F，交于点H，利用圆周角定理及等量代换确定，再由相似三角形的判定和性质得出，根据平行线截线段成比例得出，然后代入即可得出结果．
小问1详解】
证明：∵是⊙O 的直径，
∴，
∴，
∵点 A 是 的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴直线 是⊙O 的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
【小问3详解】
过点P作⊙O的切线，连接，过点O作，交于点F，交于点H，如图所示：
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴代入得：，
∴．