2024遂宁高三下学期三诊考试数学（理）含答案

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一、选择题（12×5=60分）
13． 14．3 15． 16．
三、解答题（共70分）
17.解：（1）该产品指标值K的平均值：
分
（2）指标值K超过65的频率为分
20件产品中指标值超过65的件数为：件分
,,
所以，分布列为
分
分
18. 解：（1）证明： 所以分
所以，
因为，, 所以，分
因为，面PAD面ABCD，面ABCD，面PAD面ABCD=AD
所以，面PAD，所以，分
O
M
E
E
O
A
B
C
D
O
E
（2）由（1）知，
因为，又
所以，面分
法一：连接AC,取AC中点O,则,所以面ABCD
作 ,垂足为E,连接ME,则为二面角的平面角分
因为，， 所以，,
所以，，所以
又,所以,所以分
x
Z
法二：
在面ABCD内作,以AB、Ay、AP所在
直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系
易知面ABCD的法向量为分
因为，
所以，,设面MAD的法向量为
，所以，分
分
19．【详解】（1）由，得，直线分
，即分
由等差数列的公差为1，得分
分
（2）设分
则分
分
，
分
恒成立，且分
存在整数，使对任意正整数都成立，且的最小值为分
20．（1）分
所以，，又，切点
所以，切线方程为：分
（2）方程有2个不等实数根
函数有2个零点，
因为，所以
，分
令，得
①当时，，单调递增
，单调递减
，单调递增
所以，在处取到极大值，
在处取到极小值，
要使有2个零点，须
所以，分
②当时，，单调递增，所以至多一个零点，不合题意分
③当时，，单调递增
，单调递减
，单调递增
求得，在处取到极小值，
在处取到极大值，
要使有2个零点，须
所以，.（舍去）分
综上，的取值范围为，分
21．解：（1）由题意分
故，所以椭圆C的标准方程为分
（2）由题意得，直线的斜率存在,设，
则，两式相减得分
所以，因为中点坐标为在椭圆内部，所以分
故直线的方程为分
（3）因为直线不过坐标原点且不垂直于坐标轴，
所以．设点，所以,
由题意得，，相减得分
所以，
所以，
所以分
所以，
同理得，，又，
相乘得，，
因为，所以，
则的方程为，直线DE的方程为,
直线ON的方程为分
联立得，，
故分
又
分
当且仅当即时取等号，
又，即当且仅当时取等号，
所以，故的最大值为分
22．（1）由题意得，曲线，即，
曲线C的极坐标方程为分
直线l的极坐标方程为，
直线l的直角坐标方程为分
（2）设直线的参数方程为（t为参数），
代入中，化简得分
设M，N两点对应的参数分别为，，则，分
则分
23．【详解】（1）由题意可得，，
令分
当时，，
当时，，
当，
所以的最大值为分
关于的不等式有解等价于，
综上所述，实数的取值范围为分
（2）由（1）可知，的取值范围为，且为的最大值，所以，
则，即，
由柯西不等式可得分
当且仅当时，即时，等号成立分
又，
所以，即分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
B
A
C
C
D
B
A
C
D
D
X
0
1
2
P