陕西省西安市第一中学等校2023-2024学年高三下学期4月阶段性测试文科数学试题(原卷版+解析版)
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1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡.上的指定位置.
2.回答选择题时,选出每小题后,用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他标号.回答非选择题时,将写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数,则的虚部为( )
A. 2B. 1C. -1D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数四则运算法则化简复数,即可得到虚部.
【详解】,所以虚部为1.
故选:B.
2. 已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的混合运算,结合常用数集的定义即可得解.
【详解】因为,,所以,
又,所以.
故选:D
3. 某地气象部门统计了当地2024年3月前8天每天的最高气温(单位:),数据如下:
则这8天的气温数据的极差为( )
A. 10B. 12C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据最大温度与最小温度的差即可求.
【详解】这8天的气温的最大值为21,最小值为8,所以极差为13,
故选:C
4. 已知非零向量满足,若,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算可得,即可根据不等式得,进而可判断必要性,举反例即可求解不充分性.
【详解】,
由于,所以,
故能得到,
但不一定能得到,比如,满足,但无法得到,
故“”是“”的必要不充分条件,
故选:B
5. 执行如图所示的程序框图,则输出的( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据流程图模拟执行程序即得.
【详解】,
输入,进入循环:
,进入循环:
,进入循环;
,进入循环;
,进入循环;
,结束循环,
所以输出的.
故选:A.
6. 社火,又称“演社火”,是指在传统节日里扮演的各种杂戏,属于民间的一种自演自娱活动,也是国家级非物质文化遗产的代表性项目.某地举行社火活动,现有小明和小华等5名小朋友报名,从中任选2名小朋友参加,则小明和小华恰有1人被选中的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助列举法将所有可能结果与符合要求的结果列举出来即可得.
【详解】设小明和小华为,其余3人为,
任选2人的所有可能的结果为,
,共有10种,
设“小明和小华恰有1人被选中”为事件E,
则E包含的基本事件有共6种,
故.
故选:C.
7. 已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二倍角公式可得,即可由求解.
【详解】由可得,
解得,或(舍去)
故,故,
故选:A
8. 如图,在底面为等边三角形的直三棱柱中,分别为棱的中点,为棱上的动点,且线段的长度最小值为,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据即可求解最小值时,即可求解,利用平移可得为其补角即为异面直线与所成角,由余弦定理即可求解.
【详解】由于三棱柱为直三棱柱,所以底面, 底面,所以,
故,
故当时,此时最小,线段的长度最小值,
由于线段的最小值为,故此时,为中点,故,
连接,则,故为其补角即为异面直线与所成角,
,
,
故异面直线与所成角的余弦值为
故选:A
9. 已知椭圆的离心率,上顶点的坐标为,右顶点为为上横坐标为1的点,直线与轴交于点为坐标原点,则( )
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意,求得椭圆的方程为,不妨设且,求得,得出直线的方程,求得的坐标,即可求解.
【详解】由题意知,椭圆的离心率,可得,即,
又由椭圆的上顶点的坐标为,可得,
因为,可得,所以椭圆的方程为,
又因为点为上横坐标为1的点,不妨设且,
将点代入椭圆的方程,可得,可得,即,
因为点为椭圆的右顶点,可得,所以,
则直线的方程为,令,可得,即,
所以.
故选:D.
10. 已知函数的图象与函数的图象重合,则在下列哪个区间上单调递增( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数相等得到,再化简得出的值和的解析式,最后求出的单调增区间即可.
【详解】由题意可知,,所以,即,
又因为,所以,
所以,解得,即.
令,
解得,
所以的单调递增区间为
所以在上单调递增.
故选:B.
11. 一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化,其桶底采用上大下小的漏斗状设计,底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形(圆心和半径与圆形铁片一致)作为圆锥的侧面,制作成一个圆锥形无盖漏斗(接缝处忽略不计).若该漏斗的容积为,则圆形铁片的面积最小值为( )
A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π
【答案】D
【解析】
【分析】设出圆锥的高h,将圆锥的底面圆半径用h表示,通过圆锥的高线,母线和母线在底面的射影组成直角三角形,建立圆形铁片半径的函数解析式,利用求导求其最小值即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为R.
当圆形铁片面积最小时,即最小,因为该漏斗的容积,
解得,则,().
设,,则,
令,可得,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增.
故当时,取得最小值9,此时圆形铁片的面积的最小值为.
故选:D
12. 已知点在抛物线上,设的焦点为,线段的中点在的准线上的射影为,且,则向量的夹角的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据梯形中位线可得,进而由抛物线定义可得,即可由余弦定理,结合基本不等式求解.
【详解】过分别作,
则是梯形的中位线,故,
由于,
所以,
故,
,
当且仅当时取等号,
故,故的夹角最大值为,
故选:C
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13. 设等差数列的前项和为,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合等差数列的通项与前项和公式列出方程组求解即可.
【详解】设公差为,
由,
得,解得.
故答案为:.
14. 设实数满足约束条件,则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】在平面直角坐标系内,画出不等式组的表示的平面区域,然后平移直线,找到当直线在纵轴上的截距最大时所经过的点,把该点的坐标代入目标函数中即可.
【详解】在平面直角坐标系内,画出不等式组的表示的平面区域,如下图所示:
平移直线,当直线经过点:时,直线在纵轴上的截距最大,
此时最小,解得点的坐标为,所以的最小值为,
故答案为:.
15. 已知直线与均与相切,点在上,则的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行以及之间的距离可得半径,根据为切点,联立直线方程可得另一个切点,即可求解圆心为.
【详解】由于直线与平行,且均与相切,
两直线之间的距离为圆的直径,即,
又在上,所以为切点,
故过且与垂直的直线方程为,
联立,
所以与相切于点,
故圆心为与的中点,即圆心为,
故圆的方程为,
故答案为:
16. 对任意的实数x,记函数(表示m,n中的较小者).若方程恰有5个不同的实根,则实数t的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意,设,即或恰有5个不同的实根,画出的图像,由图像可得结果.
【详解】因为,所以或恰有5个不同的实根.
设,即或恰有5个不同的实根.
设,,,的大致图象如图:
所以的图像如下图:可知有3个不同的零点,
所以方程需有2个不同的实根,所以或,所以或.
故答案为:.
【点睛】方法点睛:涉及给定函数零点(或方程根)个数求参数范围问题,可以通过分离参数,等价转化为直线与函数图象交点个数,通过数形结合解答.
三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17. 2024年3月,某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求,每个学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本,现随机调查男、女生各100人,发现选择《三国演义》的有110人,其中女生占.
(1)补充完整下述2×2列联表,现按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人,求这18人中男生和女生的人数;
(2)判断能否有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关.
参考公式:,其中.
参考数据:
【答案】(1)表格见解析,6;12;
(2)有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关.
【解析】
【分析】(1)分别计算出男女生选择《红楼梦》和《三国演义》的人数不全列联表,根据分层抽样即可得出抽取的18人中男生和女生的人数;
(2)计算出,查询表格即可得出结论
【小问1详解】
由题意,
随机调查男、女生各100人,发现选择《三国演义》的有110人,其中女生占,
∴女生选择《三国演义》的人数:,
男生选择《三国演义》的人数:,
女生选择《红楼梦》的人数:,
男生选择《红楼梦》的人数:,
列联表补充如下:
按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人,
∴男生人数为,
女生人数为.
【小问2详解】
由题意及(1)得,
,
∴有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关.
18. 设等比数列的前项和为,已知.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据等比数列基本量的计算可得,,即可求解公比得解,
(2)利用错位相减法求和即可求解.
【小问1详解】
由以及可得,
又,故,
因此公比,
故
【小问2详解】
,
则,
,
两式相减可得,
,
,
.
19. 如图,在圆台中,为轴截面,,,为下底面圆周上一点,为下底面圆内一点,垂直下底面圆于点,.
(1)求证:平面平面;
(2)若为等边三角形,求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【解析】
【分析】(1)依题意可得,即可得到平面,再由圆台的性质得到,即可得到平面,从而得证;
(2)由利用等体积法求出点到平面的距离.
【小问1详解】
因为,所以,
又平面,平面,所以平面.
因为垂直下底面圆于点,垂直下底面圆于点,所以,
又平面,平面,
故平面.
又,,平面,
所以平面平面.
【小问2详解】
在等腰梯形中,易知,所以.
所以.
易知,,所以.
设点到平面的距离为,
因为,所以,
所以,即点到平面的距离为.
20. 已知函数.
(1)求曲线在处切线方程;
(2)若,,,求a的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解析】
【分析】(1)由函数解析式求切点坐标,利用导数切点处切线的斜率,可求曲线在处的切线方程;
(2)问题转化为在上恒成立,通过构造函数,利用导数求最值的方法求解.
【小问1详解】
由题可知,则,又,
则在处的切点坐标为,切线斜率为,
所以曲线在处的切线方程为,即.
【小问2详解】
由题意,不等式即.
当时,有,又,所以.
下面证明:当时,在上恒成立.
令,则,
令,可得.
①当,即时,在上恒成立,则在上单调递增,
于是.
②当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
于是.
令,,则,所以在上单调递增,
于是,所以恒成立.
综上可知,a的取值范围是.
【点睛】方法点睛:
利用导数不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用,证明不等式,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.
21. 已知双曲线的左、右顶点分别是,直线与交于两点(不与重合),设直线的斜率分别为,且.
(1)判断直线是否过轴上的定点.若过,求出该定点;若不过,请说明理由.
(2)若分别在第一和第四象限内,证明:直线与的交点在定直线上.
【答案】(1)过定点.
(2)证明过程见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意设出直线的方程,联立直线与双曲线的方程,得出韦达定理的等式,再通过斜率之间的关系即可得出,即可得出定点坐标.
(2)根据题意得出两条直线方程,再联立化简得到关于的等式,从而得到定直线方程.
【小问1详解】
由题意可知,设直线的方程为.
由消去,可得,
则,,即,
.
因为
,
所以,
故直线的方程为,恒过点.
【小问2详解】
由题可知,直线的方程为,直线的方程为,
因为
所以,故点在定直线上.
(二)选考题:共10分请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22. 在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),直线的参数方程为,(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)设直线与圆的两个交点分别为,求的最大值.
【答案】(1)
(2)4
【解析】
【分析】(1)消去参数可得普通方程,再将代入方程即可求解;
(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程,再由的几何含义表达出,代入化简计算即可求出最大值.
【小问1详解】
消去参数,可得圆的普通方程为,
即.
将代入可得圆的极坐标方程为.
【小问2详解】
将直线的参数方程代入圆的普通方程可得,
所以.
易知直线过定点,设对应的参数分别为.
如图,可知,所以,
所以,
因为,所以,
所以当,即时,取得最大值,且最大值为4.
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23. 已知,函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若的最小值为2,证明:.
【答案】(1)
(2)证据见解析
【解析】
【分析】(1)分类讨论去掉绝对值,再解不等式;
(2)先根据绝对值的三角不等式求出函数的最小值,即可得出的关系,再根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可.
【小问1详解】
当时,,
当时,,解得,
当时,,解得,
当时,,无解,
综上所述,不等式的解集为;
【小问2详解】
,
当且仅当时取等号,
又因为的最小值为2,所以,
则,
故
,
当且仅当,即时取等号,
所以.
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
8
12
8
14
16
11
18
21
《红楼梦》
《三国演义》
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
《红楼梦》
《三国演义》
合计
男生
30
70
100
女生
60
40
100
合计
90
110
200
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