上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题原卷版docx、上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
满分：150分 完成时间：120分钟 命题人：高一数学命题组
一、填空题：（本大题满分 54分，其中1-6题每小题4分，7-12题每小题5分）
1. 点到直线的距离是________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用点到直线距离公式可求答案.
【详解】点到直线的距离.
故答案为：2.
2. 使直线与直线平行，求__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用直线的一般式方程及两直线平行的条件即可求解；
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得．
故答案为：.
3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】求导得，从而可得切线的斜率，用点斜式写出切线方程再化简即可.
【详解】解：因为，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率，
所以切线方程为：，
即或.
故答案为：
4. 已知抛物线C:经过点，则此抛物线的准线方程是_________.
【答案】
【解析】
【分析】将点代入中，求得，从而得到抛物线的准线方程.
【详解】因为抛物线C:经过点，所以，解得，
所以抛物线方程为，故抛物线的焦点在轴的负半轴，所以抛物线的准线方程为.
故答案为：.
5. 已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用通项公式即可得出．
【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．
∵含有x2的系数是54，∴r＝2．
∴54，可得6，∴6，n∈N*．
解得n＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6. 已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是____________________.
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，解得、，即可得解.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
依题意可得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
7. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为___________
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆锥的性质求出底面半径与母线长，再利用圆锥的侧面积计算公式即可得出．
【详解】轴截面是边长为4等边三角形，
所以圆锥底面半径，
圆锥母线．
圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的求解，熟练掌握圆锥的性质及圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．
8. 已知，，则方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意可得，分析所以可能的情况与满足条件的情况即可.
【详解】由题意，所有可能的情况有种，
其中满足与的情况数量相等，都有种，
故方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是.
故答案为：
9. 若则__________
【答案】
【解析】
【分析】根据导函数的定义可得答案.
【详解】令，
因为
.
所以.
故答案为：.
10. 若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】作出简图，结合图象可求答案.
【详解】因为，所以，；
其图象是以为圆心，2为半径的下半个圆弧，

当直线与圆弧相切时，恰有一个公共点，此时由可求，（舍去）；
当直线过图中点时，由可得，
当直线过图中点时，由可得，
所以直线截距位于和3之间时也符合题意，
综上可得实数b的取值范围是.
故答案为：
11. 已知二次曲线的方程为： ，当m，n为正整数，且时存在两条曲线，其交点P与点满足，则__________
【答案】
【解析】
【分析】可先得为椭圆，为双曲线，结合图象几何性质得到，，然后根据椭圆、双曲线的定义及列出方程组，即可求解.
【详解】由题意可知满足且m，n为正整数的曲线如下：
，，为椭圆，
，，，为双曲线，
结合图形的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点，
故，，
因为，所以，
设，，则根据椭圆、双曲线的定义及可得

可得代入③
解得，
所以存在这样的，且或或.
故答案为：8
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用两类曲线的定义建立等量关系式，结合勾股定理，从而得出结果.
12. 高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率__．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.
【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为
设,
由到直线的距离为1，得，解之得或（舍）
则，
又设直线PN的方程为
由到直线PN的距离为1，得，整理得，
则，又，故
则直线PN的方程为，
故，
由，解得，故椭圆的离心率.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，根据直线与圆相切的关系得到直线的斜率，从而求出与，解出即可斜率.
二、选择题（本大题满分 18分，13-14 每小题4分；15-16 每小题5分）
13. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 外切C. 外离D. 内含
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可.
【详解】的圆心为，半径为1，
的圆心为，半径为1，
可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切.
故选：B
14. 已知函数及其导数，若存在使得则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1） ；（2） ；（3） ；（4）；
其中没有“巧值点”的函数是（ ）
A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可.
【详解】对于，，不存在“巧值点”；
对于，，令可得或，有“巧值点”；
对于，，令，
因为与的图象有一个公共点，所以有解，有“巧值点”；
对于，，令，可知是的一个解，有“巧值点”.
故选：A
15. 定义点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值.已知曲线C：，那么平面内到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等的点的轨迹是（ ）
A. 双曲线一支B. 一个椭圆
C. 一条线段D. 一条射线
【答案】D
【解析】
【分析】曲线C的方程为，设所求动点为，根据到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等可得答案.
【详解】曲线C的方程为，设所求动点为，
因为到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等，
所以，整理得，
因为点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值，
所以点的轨迹方程是.
故答案为：D.
16. 已知曲线，对于命题：（1）垂直于x轴的直线与曲线C有且只有一个交点;（2）若点 为曲线C上任意两点，则有下列判断正确的是（ ）
A. （1）和（2）均为真命题B. （1）和（2）均为假命题
C. （1）为真命题，（2）为假命题D. （1）为假命题，（2）为真命题
【答案】A
【解析】
【分析】先逐个象限判断方程轨迹，大致画出图象，结合图象分析.
【详解】设P是曲线上的点，
当时， ,
即 轨迹为双曲线的一部分，渐近线为 ；
当时， 等式不成立，故第二象限无轨迹；
当时，
即 ，轨迹为双曲线的一部分，渐近线为 ；
当时， ，即 轨迹为椭圆的一部分,
根据分析，可画出图象如图所示．

由图可知，垂直于x轴的直线与曲线只有一个交点，故（1）正确；
由图可以看出，轨迹为递增函数，故斜率 恒成立，故（2）正确．
故选:A
【点睛】方法点睛：对方程的处理办法通过讨论的符号去绝对值号，得到各象限内不同的曲线.
三、解答题 （本大题共5题 ，满分 78分 ）
17. 已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设的前n项和为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解；
（2）求得数列的所有正数项，它们的和为的最大值.
【小问1详解】
因为数列是首项为23，公差为-4的等差数列，
所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
令，可得，所以数列的前6项为正，
所以数列前6项和为的最大值，最大值=.
18. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，E为BC的中点，PC与底面所成的角为

（1）求证: BD⊥PC;
（2）求点E到平面BDP的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线线垂直证明平面，进而可得结论；
（2）先求的长，再利用向量求解点面距.
【小问1详解】
因为底面是正方形，所以，
因为底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以.
【小问2详解】
连接，则即为PC与底面所成的角，
由题意，
因为，所以，
以为坐标原点，分别为轴的正方向，建系如图，

,；
；
设是平面的一个法向量，则,，
令，得，即，
点E到平面BDP的距离为.
19. 在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程；
（3）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程；
（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可；
（3）取圆关于轴对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解.
【小问1详解】
设圆心，，
由于，所以，所以，
即圆心的坐标为，则圆的方程为；
【小问2详解】
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切；
若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，
即，
因为直线和圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，平方得，
即，此时直线的方程为，即，
所以直线的方程为或；
【小问3详解】
取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径，
可知直线与圆相切，
若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意；
所以直线的斜率存在，设为，则，即，
则，整理得，解得或，
所以直线的方程为或.
20. 已知椭圆的左,右焦点分别为，下顶点为A，点M在直线上.
（1）若，线段AM 的中点在x轴上，求M 的坐标；
（2）若直线l与y轴交于B，直线AM 经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为 ，求b的值;
（3）若，直线 l与椭圆Γ没有公共点，在椭圆Γ上存在一点，，点P到l的距离为d，且，当a变化时，求d的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意及条件先得出椭圆方程，由AM的中点在x轴上先得出M纵坐标，再代入直线方程即可求得M；
（2）分类讨论中哪个内角余弦值为，分别解三角形求得对应值即可；
（3）根据点到直线的距离公式化简得出，再根据三角函数的有界性得到关于的不等式，解不等式求出的取值范围即可求得d的最小值.
【小问1详解】
由题意可得，
的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：A、M的纵坐标之和为0，
的纵坐标为，代入得：.
【小问2详解】
由直线方程可知，由直线方程可知，故有如下两种情况：
①若，则，，即，
.
②若，则，
，
.
即，
综上或.
【小问3详解】
设，则由题意得，
显然椭圆在直线的左下方，则，
即，
，
得，
整理可得，解得，
又，
从而.
即d的取值范围为.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．
21. 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K， P是曲线K上一点.
（1）当时，求曲线K的轨迹方程;
（2）已知过点A 且斜率为k的直线l与曲线K交于B，C 两点，若且直线与直线交于Q点.求证: 为定值：
（3）若且点 D，E在y轴上，的内切圆的方程为求面积的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析，为定值a
（3）8
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义即可判断动圆圆心轨迹形状，轨迹抛物线标准方程即可求曲线K的方程;
（2）联立l方程和曲线K的方程消去y，根据韦达定理求出，联立直线与曲线K方程求出P，联立方程和求出Q，从而可求，代入即可得结果；
（3）先求出曲线K的方程，点D，E在y轴上，设出D、E坐标，并求出，P点的横坐标即为的高，再求面积的最小值即可.
【小问1详解】
当时，点，
由题意可知圆心到距离等于到直线的距离，
由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹为抛物线，点为焦点，
则曲线K的轨迹方程为.
【小问2详解】
由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，
由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹为抛物线，点为焦点，
则曲线K的轨迹方程为.
设直线l的方程为，联立，化简得，
依题意，所以，
设，所以，，又，
所以，
因为，设直线的方程，联立，化简得，
所以，即，所以，
令，则，即，所以，
所以，故为定值a.
【小问3详解】
当时，点，
由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，
由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹为抛物线，点为焦点，
则曲线K的轨迹方程为.
设，直线的方程为，
依题意圆心到的距离为1，即，
化简得，
同理可得，
所以是方程的两根，
所以，依题意，则，
又，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
所以面积的最小值8.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．